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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f: [0,2] [mm] \to \IR [/mm] welche durch
[mm] f(x)=\begin{cases} (x^{2}-1)/(x-1) & \mbox{für x} \not= \mbox{ 1} \\ 0 & \mbox{für x} = \mbox{ 1} \end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Stellen x, an welchen die Funktion stetig ist, und die Stellen, an denen die Funktion nicht stetig ist.
b) Ist es möglich, die Funktion f an ihren Unstetigkeitsstellen so abzuändern, dass Sie stetig ist? Wenn ja, wie müsste
man die Funktion f an diesen Stellen de finieren? |
Hallo zusammen,
leider sieht es bei dem Thema Stetigkeit und allgemein dem Modul Analysis nicht gut um mich. Ich hoffe meine Überlegungen sind wenigstens Ansatzweise richtig:
Im ersten Schritt muss ich Delta definieren. Ich "bastele" mir also eine Funktion g(x), um die Rechnung zu vereinfachen:
g(x)= $ [mm] \bruch{x^{2}-1}{x-1} [/mm] $ für 2 [mm] \ge [/mm] x > 0
und suche ein passendes Delta:
|g(x)-g(a)| = |x+1-(a+1)| = |x+1-a-1| = |x-a| = |-(a-x)|
mit der Abschätzung |x-a| < [mm] \delta [/mm] folgt
- [mm] \delta [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Kann ich nun sagen, dass die Funktion g(x) stetig ist?
Über Tipps zum Beweis, wie man erklären kann, dass f(x) bei x=0 nicht stetig ist oder andere Tipps & Verbesserungsvorschläge, würde ich mich sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo BredoBundo und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Betrachten Sie die Funktion f: [0,2] [mm]\to \IR[/mm] welche durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} (x^{2}-1)/(x-1) & \mbox{für x} \not= \mbox{ 1} \\
0 & \mbox{für x} = \mbox{ 1} \end{cases}[/mm]
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> a) Bestimmen Sie die Stellen x, an welchen die Funktion
> stetig ist, und die Stellen, an denen die Funktion nicht
> stetig ist.
> b) Ist es möglich, die Funktion f an ihren
> Unstetigkeitsstellen so abzuändern, dass Sie stetig ist?
> Wenn ja, wie müsste
> man die Funktion f an diesen Stellen de finieren?
> Hallo zusammen,
>
> leider sieht es bei dem Thema Stetigkeit und allgemein dem
> Modul Analysis nicht gut um mich. Ich hoffe meine
> Überlegungen sind wenigstens Ansatzweise richtig:
>
> Im ersten Schritt muss ich Delta definieren. Ich "bastele"
> mir also eine Funktion g(x), um die Rechnung zu
> vereinfachen:
>
> g(x)= [mm]\bruch{x^{2}-1}{x-1}[/mm] für 2 [mm]\ge[/mm] x > 0
>
> und suche ein passendes Delta:
>
> |g(x)-g(a)| = |x+1-(a+1)| = |x+1-a-1| = |x-a| = |-(a-x)|
>
> mit der Abschätzung |x-a| < [mm]\delta[/mm] folgt
>
> - [mm]\delta[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Kann ich nun sagen, dass die Funktion g(x) stetig ist?
> Über Tipps zum Beweis, wie man erklären kann, dass f(x)
> bei x=0 nicht stetig ist oder andere Tipps &
> Verbesserungsvorschläge, würde ich mich sehr freuen!
Naja, du brauchst das [mm]\varepsilon/\delta[/mm]-Kriterium nicht.
Zunächst mal ist [mm]f[/mm] als Zusammensetzung von Polynomen (die stetig sind) überall stetig, wo es definiert ist, also nicht stetig in [mm]x=1[/mm]
Es ist aber doch für [mm]x\neq 1[/mm] [mm]f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1[/mm]
Und das strebt für [mm]x\to 1[/mm] doch gegen 2
Also kannst du mit der Definition [mm]f(1):=2[/mm] stetig ergänzen ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mi 21.11.2012 | | Autor: | BredoBundo |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Damit ist ja sogar schon der Aufgabenteil b) geklärt, super! :)
Gruß BredoBundo
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