Stetigkeit f(x,y)=xy < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion $f: [mm] \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, [/mm] f(x,y)=xy$ ist stetig. Bestimmen Sie explizit zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit
[mm] $\parallel [/mm] (x,y)-(1,2) [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta \Longrightarrow \vert [/mm] f(x,y)-f(1,2) [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
an und für sich scheint die Aufgabe nicht so schwer zu sein - allerdings tue ich mich gerade damit ein wenig schwer.
Eingesetzt in die [mm] $\varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] $ - Definition gilt:
[mm] $\parallel [/mm] (x,y)-(1,2) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}< \delta$ [/mm] ist und
[mm] $\vert [/mm] f(x,y)-f(1,2) [mm] \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] xy - 2 [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
Finde nun zu einem gegebenen [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta$.
[/mm]
Aber wie mache ich das nun?
Muss ich $xy-2$ irgendwie auseinander ziehen und somit [mm] $\delta$ [/mm] abschätzen?
Irgendwie steh ich auf dem Schlauch.
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!
friedldudl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 So 16.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Funktion [mm]f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, f(x,y)=xy[/mm]
> ist stetig. Bestimmen Sie explizit zu [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein
> [mm]\delta > 0[/mm] mit
> [mm]\parallel (x,y)-(1,2) \parallel < \delta \Longrightarrow \vert f(x,y)-f(1,2) \vert < \varepsilon[/mm].
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
>
> an und für sich scheint die Aufgabe nicht so schwer zu
> sein - allerdings tue ich mich gerade damit ein wenig
> schwer.
> Eingesetzt in die [mm]\varepsilon - \delta[/mm] - Definition gilt:
> [mm]\parallel (x,y)-(1,2) \parallel = sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}< \delta[/mm]
> ist und
> [mm]\vert f(x,y)-f(1,2) \vert = \vert xy - 2 \vert < \varepsilon[/mm]
> ist.
> Finde nun zu einem gegebenen [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm].
> Aber wie mache ich das nun?
Schreibe erstmal $x = 1 + h$ und $y = 2 + k$. Dann ist $|f(x, y) - f(1, 2)| = |2 h + k + h k| [mm] \le [/mm] 2 |h| + |k| + |h k|$ und [mm] $\| [/mm] (x ,y) - (1, 2) [mm] \| [/mm] = [mm] \sqrt{|h|^2 + |k|^2} \ge \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] (|h| + |k|)$.
Wenn du also $h, k$ waehlst mit $|h| + |k| < [mm] \sqrt{2} \delta$, [/mm] dann muss $2 |h| + |k| + |h k| < [mm] \varepsilon$ [/mm] sein. Daraus folgt dann, dass fuer alle $h, k$ mit [mm] $\| [/mm] (x, y) - (1, 2) [mm] \| \le \delta$ [/mm] gilt $|f(x, y) - f(1, 2)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
Damit ist das ganze schonmal etwas einfacher 
Ohne Einschraenkung sei $|h| = a [mm] \ge [/mm] 0$ und $|k| = b [mm] \ge [/mm] 0$. Du musst also nur noch mit positiven Zahlen $a, b$ arbeiten, und du musst [mm] $\delta'$ [/mm] finden (in Abhaengigkeit von [mm] $\varepsilon$) [/mm] so dass aus $a + b < [mm] \delta'$ [/mm] folgt $2 a + b + a b < [mm] \varepsilon$. [/mm] (Das [mm] $\delta$ [/mm] bekommst du dann aus [mm] $\delta'$, [/mm] indem du mit dem passenden Faktor multiplizierst.)
Kommst du damit weiter?
LG Felix
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