Stetigkeit für Parameter a,b < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 So 13.01.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Für [mm] a,b\in\IR, [/mm] sei die Funktion [mm] C_{a,b}: \IR \to \IR [/mm] gegeben durch, für alle [mm] x\in\IR, C_{a,b}:= \begin{cases} \bruch{a}{x-2}, & \mbox{für } x\le 0 \\ 2x-b, & \mbox{für }0 \le x < 2 \\ 6, \mbox{für } x \ge 2 \end{cases}
[/mm]
Für welche Werte a,b ist [mm] C_{a,b} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig? |
Ich habe um ehrlich zu sein keine Ahnung wie ich das angehen soll. Ich würde einfach zeigen dass die drei Funktionen in der geschweiften Klammer in den Intervallen stetig sind, nur ich wüsste nicht welche a,b ich da setzen soll, damit das dann stetig ist. Ich bräuchte vllt nen Ansatz.
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Hallo,
> Für [mm]a,b\in\IR,[/mm] sei die Funktion [mm]C_{a,b}: \IR \to \IR[/mm]
> gegeben durch, für alle [mm]x\in\IR, C_{a,b}:= \begin{cases} \bruch{a}{x-2}, & \mbox{für } x\le 0 \\
2x-b, & \mbox{für }0 \le x \le 2 \\
6, \mbox{für } x \ge 2 \end{cases}[/mm]
>
> Für welche Werte a,b ist [mm]C_{a,b}[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig?
> Ich habe um ehrlich zu sein keine Ahnung wie ich das
> angehen soll. Ich würde einfach zeigen dass die drei
> Funktionen in der geschweiften Klammer in den Intervallen
> stetig sind, nur ich wüsste nicht welche a,b ich da setzen
> soll, damit das dann stetig ist. Ich bräuchte vllt nen
> Ansatz.
innerhalb der Intervalle musst du nichts tun. Die Terme sind entweder erkennbar stetig oder aus stetigen Funktionen zusammengesetzt.
Was du untersuchen musst, sind die Grenzen zwischen den Intervallen, also die Stellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=2. [/mm] Hier offenbart sich zunächst einmal ein Fehler in der Aufgabenstellung, so wie du sie eingetippt hast. Da müsste jeweils von einer Seite her die strikte Ordnungsrelation bei der Angabe der Intervalle stehen. Sonst hätte die Funktion an einer Stelle zwei unterschiedliche Definitionen, und das kann schon per definitionem nicht sein.
Was eigentlich zu zeigen ist, ist dann schnell erklärt: für die fraglichen Stellen ist jeweils einer der Terme zuständig. Mit ihm berechnest du den Funktionswert. Nun muss gezeigt werden, dass der Term, der für das angrenzende Intervall zuständig ist, beim Übergang von x auf die Grenzstelle den betreffenden Funktionswert als Grenzwert besitzt. Bzw. in dieser Aufgabe müssen eben die Parameter so gewählt werden, dass dies der Fall ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 13.01.2013 | | Autor: | Zero_112 |
Also so?:
[mm] C_{a,b}(0) [/mm] = [mm] -\bruch{a}{2} [/mm]
Lasse ich nun 2x-b gegen die Grenzstelle, also x=0 gehen, dann passiert folgendes: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] 2x-b = -b ...Also ist b = a/2
[mm] C_{a,b}(2) [/mm] = 4-b
Grenzwert von 6 (gegen x=2) ist 6 ...also muss b=-2 gelten , da 4-(-2) =6
Demnach ist a = -4
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 So 13.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
richtig
gruss leduart
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