Stetigkeit, glm Stetig, Beweis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mo 27.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Skriptum:
Theorem: Wenn f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig ist, dann f ist gleichmäßig stetig.(an [a,b])
Beweis: Indirekt: f ist nicht gleich,äßig stetig
[mm] \exists \epsilon>0 \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N, n >0 [mm] \exists x_n [/mm] , [mm] x_n' \in [/mm] [a,b]: | x- [mm] x_n' [/mm] | < 1/n und [mm] |f(x_n) [/mm] - [mm] f(x_n')| [/mm] >= [mm] \epsilon
[/mm]
Die Folge [mm] (x_n) [/mm] Ist beschränkt, Bolzano Weierstraß sagt dass es eine konvergente Teilfolge [mm] (x_n__k)_{k\in \IN} [/mm] gibt. Sei [mm] x_0 [/mm] := lim [mm] x_n__k \in [/mm] [a,b].
Since [mm] |x_n_k [/mm] - [mm] x_n'__k| [/mm] < [mm] 1/n_n__k [/mm] -> 0 (k -> [mm] \infty) [/mm] haben wir lim [mm] x_n'__k [/mm] = lim [mm] x_n__k [/mm] = [mm] x_0. [/mm] Dann die Stetigkeit von f an [mm] x_0:
[/mm]
0 < [mm] \epsilon [/mm] <= | [mm] f(x_n__k) [/mm] - [mm] f(x_n'__k) [/mm] | -> 0 (k -> [mm] \infty)
[/mm]
=> Widerspruch |
Hallo,
Ich hab den Teil aus dem englischen stichtwortartig übersetzt.
Ich verstehe folgendes nicht:
Warum gilt: [mm] |x_n_k [/mm] - [mm] x_n'__k| [/mm] < [mm] 1/n_n__k [/mm] -> 0 (k -> [mm] \infty)
[/mm]
Oder wird das vorrausgesetzt? Oder hat das was mit cauchyfolgen zu tun?
Wenn das die Definitionsmenge von f kein Intervall wäre, würde der Satz nicht gelten oder?Denn dann könnte man den Beweis auch nicht führen mit einer beschränkten Folge und Bolzano- Weierstraß-Theorem verwenden.
LG,
quasimo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 27.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das ist die Vors aus dem Widersprucsansatz spezialisiert auf [mm] n_k [/mm] statt n. mit hilfe von G.W.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mo 27.08.2012 | | Autor: | quasimo |
ah, danke
LG,
quasimo
|
|
|
|
