Stetigkeit in (0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche die Funktion
$$f(x,y) := [mm] \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2} & \text{falls } (x,y)\neq(0,0)\\
0 & \text{sonst}\end{cases}
[/mm]
auf Stetigkeit in (0,0). |
Hi,
brauche Hilfe bei der Aufgabe. Zunächst habe ich versucht mittels einiger Folgen mich "auf verschiedenen Wegen" dem Punkt (0,0) zu nähern und mit Hilfe zwei verschiedener Grenzwerte so Stetigkeit auszuschließen.
Mit den Ansätzen [mm] $x=0,\; y=0,\; x=y^2$ [/mm] bin ich aber nicht weitergekommen (alle Grenzwerte waren 0). Die Vermutung liegt also Nahe das in (0,0) doch Stetigkeit vorliegt. Zum Nachweis dieser habe ich versucht mit Hilfe der Polarkoordiantendarstellung zu arbeiten. Dazu:
[mm]x=r*\cos(\varphi),\; y=r*sin(\varphi)[/mm].
[mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \;=\; \lim_{r\to 0} \frac{r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{\sqrt{r*\cos(\varphi)}+r^2*\sin^2(\varphi)}[/mm]
Und jetzt weiss ich leider nicht wie ich da weitermachen kann. Ein $r$ ausklammern und dann kürzen klappt zumindest nicht.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:28 Sa 04.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Untersuche die Funktion
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> [mm][/mm]f(x,y) := [mm]\begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2} & \text{falls } (x,y)\neq(0,0)\\
0 & \text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> auf Stetigkeit in (0,0).
> Hi,
>
> brauche Hilfe bei der Aufgabe. Zunächst habe ich versucht
> mittels einiger Folgen mich "auf verschiedenen Wegen" dem
> Punkt (0,0) zu nähern und mit Hilfe zwei verschiedener
> Grenzwerte so Stetigkeit auszuschließen.
>
> Mit den Ansätzen [mm]x=0,\; y=0,\; x=y^2[/mm] bin ich aber nicht
> weitergekommen (alle Grenzwerte waren 0). Die Vermutung
> liegt also Nahe das in (0,0) doch Stetigkeit vorliegt. Zum
> Nachweis dieser habe ich versucht mit Hilfe der
> Polarkoordiantendarstellung zu arbeiten. Dazu:
>
> [mm]x=r*\cos(\varphi),\; y=r*sin(\varphi)[/mm].
>
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \;=\; \lim_{r\to 0} \frac{r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{\sqrt{r*\cos(\varphi)}+r^2*\sin^2(\varphi)}[/mm]
>
> Und jetzt weiss ich leider nicht wie ich da weitermachen
> kann. Ein [mm]r[/mm] ausklammern und dann kürzen klappt zumindest
> nicht.
Warum nicht?
[mm] \frac{r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{\sqrt{r*\cos(\varphi)}+r^2*\sin^2(\varphi)}=\frac{\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{\sqrt{\bruch{\cos(\varphi)}{r^3}}+\sin^2(\varphi)}.
[/mm]
Der Zähler ist für jedes feste [mm] \phi [/mm] konstant, und der Nenner geht (falls [mm] cos\phi [/mm] nicht gerade Null ist) gegen unendlich. Also geht der Bruch gegen Null.
Du musst dir lediglich noch über den Fall cos [mm] \phi [/mm] =0 Gedanken machen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:36 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu abakus,
> Der Zähler ist für jedes feste [mm]\phi[/mm] konstant, und der
> Nenner geht (falls [mm]cos\phi[/mm] nicht gerade Null ist) gegen
> unendlich. Also geht der Bruch gegen Null.
Öhm.... hier hast du einen schwerwiegenden Argumentationsfehler drin.
Da der Bruch für alle Folgen gegen Null gehen muss, insbesondere auch für nichtkonstanten [mm] \varphi [/mm] !
Gab auch schonmal schöne Aufgaben hier im Matheforum, wo dein Ansatz zum falschen Ergebnis geführt hat, daher sollten sich die Leute sowas gar nicht angewöhnen.
edit: Mir fällt gerade auf: Selbst für nichtkonstantes [mm] \varphi [/mm] kann man deine Argumentation bringen, brauch dafür aber eine Abschätzung für [mm] \cos(\varphi), [/mm] das für kleine [mm] \varphi [/mm] glücklicherweise NICHT gegen 0 geht 
edit2: Achso, stimmt ja gar nicht..... geht trotzdem schief.
Schönes Wochenende,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 So 05.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo fuer |x|,1 ist [mm] x^2,\wurzel{x} [/mm] damit den Bruch abschaetzen, als ergebnis kommt [mm] f(x,y)>sin\phi*cos\Phi
[/mm]
gruss leduart
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