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Stetigkeit in \IR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Do 09.04.2015
Autor: blubblub

Aufgabe
Gibt es eine nicht ganz auf [mm] \IR [/mm] stetige Funktion?

Hallo,

wir diskutieren  gerade über die obere Frage und kommen auf die Antwort, dass es so eine Funktion gibt und zwar: eine alternierende Funktion. Jedoch fehlt uns ein konkretes Beispiel. Könnt ihr uns helfen??

lg blubblub :)

        
Bezug
Stetigkeit in \IR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Do 09.04.2015
Autor: UniversellesObjekt


> Gibt es eine nicht ganz auf [mm]\IR[/mm] stetige Funktion?
>  Hallo,
>  
> wir diskutieren  gerade über die obere Frage und kommen
> auf die Antwort, dass es so eine Funktion gibt und zwar:
> eine alternierende Funktion. Jedoch fehlt uns ein konkretes
> Beispiel. Könnt ihr uns helfen??
>
> lg blubblub :)  

Was ihr meint, ist wahrscheinlich eine auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] unstetige Funktion. Wie wäre es mit [mm] $f(x)=\begin{cases}1&x\in\IQ\\-1&x\notin\IQ\end{cases}$? [/mm] Ihr könnt ja mal versuchen, zu zeigen, dass diese nirgends stetig ist. Ihr benötigt dafür lediglich den Fakt, dass [mm] $\IQ$ [/mm] und auch [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegen, das heißt zwischen je zwei reellen Zahlen liegt mindestens eine rationale und eine irrationale Zahl.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit in \IR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Do 09.04.2015
Autor: blubblub

Danke für die schnelle Antwort :) Wir probieren es ;)

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit in \IR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:55 Do 09.04.2015
Autor: Marcel

Hallo UniOb,

> > Gibt es eine nicht ganz auf [mm]\IR[/mm] stetige Funktion?
>  >  Hallo,
>  >  
> > wir diskutieren  gerade über die obere Frage und kommen
> > auf die Antwort, dass es so eine Funktion gibt und zwar:
> > eine alternierende Funktion. Jedoch fehlt uns ein konkretes
> > Beispiel. Könnt ihr uns helfen??
> >
> > lg blubblub :)  
>
> Was ihr meint, ist wahrscheinlich eine auf ganz [mm]\IR[/mm]
> unstetige Funktion. Wie wäre es mit
> [mm]f(x)=\begin{cases}1&x\in\IQ\\-1&x\notin\IQ\end{cases}[/mm]? Ihr
> könnt ja mal versuchen, zu zeigen, dass diese nirgends
> stetig ist. Ihr benötigt dafür lediglich den Fakt, dass
> [mm]\IQ[/mm] und auch [mm]\IR\setminus\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

liegen,

das ist richtig, aber man kann auch teilweise konkret werden: Ist $r \in \IQ\,,$ so
konvergiert die Folge $(j_n)$ von irrationalen Zahlen mit

    $j_n:=r+\sqrt{2}/n$

sicherlich gegen $r\,.$ (Man sollte kurz $j_n \notin \IQ$ begründen!)

Für irrationales $r\,$ ($\in \IR \setminus \IQ$) arbeitet man dann am Besten mit
der Dichtheit von $\IQ$ in $\IR$ - aus dieser folgt die Existenz einer
rationalen Folge $(q_n)$ mit $q_n \to r$.

Wem das nicht so ganz klar ist: Sei $\epsilon_1=1\,.$

    1.) Wähle $j_1 \in (r,r+\epsilon_1) \cap \IQ\,.$

[Setze in den folgenden Schritten für $n=2,3,\ldots$

    $\epsilon_n:=\min\{j_{\red{n-1}}-r,\,1/n}\}$.]

    2.) Wähle $j_2 \in (r,r+\epsilon_2) \cap \IQ$ (beachte: es ist $0 < \epsilon_2 \le 1/2$ und $0 < \epsilon_2 \le j_1-r$)

    3.) Wähle $j_3 \in (r,r+\epsilon_3) \cap \IQ$ (beachte: es ist $0 < \epsilon_3 \le 1/3$ und $0 < \epsilon_2 \le j_2-r$)
    .
    .
    .

( Edit 13.00 Uhr: Ich hoffe, nun sind alle Verschreiber und *Vergesser*
korrigiert! :-) )

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit in \IR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Do 09.04.2015
Autor: blubblub

Danke :)

Bezug
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