Stetigkeit in normierten Vektorräumen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 15.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Fage zur Stetigkeit in normierten Vektorräumen:
Die folgende Beh. ist gegeben:
Sei a<b, x aus [a,b],C[a,b] der VR der stetigen Funktionen versehen mit der Maximumsnorm.
Die Abbildung C[a,b] [mm]\to\IR[/mm], f wird abgebildet auf f(x) ist stetig.
Leider weiss ich nicht so richtig, wei da ran gehen soll.
Spielt es denn ausserdem eine Rolle, ob das ein x aus [a,b] ist, oder ob beipielsweise die Abbildung so abändere, dass f stets auf f(a) ab´gebildet wird?
Viele Grüsse!
Wuzrelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 15.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Es ist egal, welches $ x [mm] \in [/mm] [a,b]$ du wählst.
Wähle irgendein festes $x [mm] \in [/mm] [a,b]$. Dann ist die Abbildung:
[mm]T_x : \begin{array}{ccc} (C([a,b]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) & \to & \IR\\[5pt]
f & \mapsto & T_x(f):=f(x) \end{array}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
stetig, wobei $\IR$ mit er üblichen euklidischen Geometrie versehen ist.
Hattet ihr in der Vorlesungs schon die Aussage, dass für lineare Abbildungen (und eine solche haben wir hier) die Stetigkeit äquivalent zur Stetigkeit in $0$ ist?
Ich nutze das jetzt mal aus. Zu zeigen ist also: Für alle $\varepsilon>0$ gibt es ein $\delta > 0$ , so dass für alle $f \in C([a,b})$ mit $\Vert f \Vert_{\infty} < \delta$ die Beziehung
$|T_x(f)| = |f(x)| < \varepsilon$
gilt.
Nun gilt aber doch:
$|T_x(f)| = |f(x)| \le \sup\limits_{x \in [a,b]} | f(x)| = \Vert f \Vert_{\infty}$.
Wie kann ich also bei vorgegebenem $\varepsilon>0 $ das $\delta$ wählen?
Poste mal einen Lösungsvorschlag und schreibe mir, ob alles klar ist (bzw. frage, wenn was nicht klar ist).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Di 15.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Einen Lösungsvorschlag habe ich noch nicht!
Aber:
> Es ist egal, welches [mm]x \in [a,b][/mm] du wählst.
>
> Wähle irgendein festes [mm]x \in [a,b][/mm]. Dann ist die
> Abbildung:
>
[mm]T_x : \begin{array}{ccc} (C([a,b]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) & \to & \IR\\[5pt]
> f & \mapsto & T_x(f):=f(x) \end{array}[/mm]
>
>
> stetig, wobei [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit er üblichen euklidischen Geometrie
> versehen ist.
Ich glaube, ich habe mich zu undeutlich ausgedrückt.
Ich wollte eigentlich wissen, ob es einen Unterschied zu folgendem gibt, wobei a wiederrum die Inervallgrenze ist:
f & \mapsto & T_x(f):=f(a) \end{array}[/mm]
Auf unserem Übungszettel tauchen nämlich beide MC-Afgabe auf, aber ich vermute einen HAken dabei,weiss aber noch nicht wo?
> Hattet ihr in der Vorlesungs schon die Aussage, dass für
> lineare Abbildungen (und eine solche haben wir hier) die
> Stetigkeit äquivalent zur Stetigkeit in [mm]0[/mm] ist?
Nein, das hatten wir nicht!
Gibt es denn da auch eine andere Möglichkeit an die Sache heranzutreten?
Mir fällt es irgendwie aber auch schwer, mir Stetigkeit für einen VR vorzustellen!
In ANA1 ist das ja alles schon einmal behandelt worden und ich bin sehr gut damit zurecht gekommen, aber die VR sind mir nicht ganz geheuer!
Von den Def. ändert sich im Grossen und GAnzen nicht viel:
Vielleicht könntet ihr mir helfen ein besseres Gefühl für diese VR zu bekommen?
Danke für die schnellen und immer guten Antworten!
Gruss,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Nein, ich hatte dich schon richtig verstanden und mein Beitrag beantwortet deine Frage ja auch.
Wenn ich die Stetigkeit von [mm] $T_x$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ zeigen kann, dann kann ich natürlich insbesondere die Stetigkeit von
[mm] $T_a [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} (C([a,b]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) & \to & (\IR,|\cdot |) \\[5pt] f & \mapsto & f(a) \end{array}$
[/mm]
zeigen, klar.
Aber vielleicht liegt da auch ein Missverständnis vor: Könntest du uns die ganze Aufgabenstellung, mit allen Teilaufgaben, Hinweisen etc. absolut wörtlich mal hier aufschreiben oder, besser noch, einen Link zu der Aufgabe setzen?
Danke.
Dann werden sich die Schwierigkeiten schon lösen lassen, da habe ich wenig Zweifel.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Okay, die Aufgabenstellungen sind geklärt und du hast sie doch richtig verstanden!
So, da ich aber Deinen Hinwis nicht benutzen kann/darf, muss ich anders argumentieren.
Evt. so:
Ich wähle also ein x aus[a,b] und habe damit die Funktion definiert, also f wir abebildet auf f(x),das kann ja auch f(a) sein, da das Intervall bageschlossen ist!
ICh kenne für die Stetigkeit nur die Definition, die da lautet:
Sein (V,||.||),(V´,||.||´) normierte VR, M Teilmenge von V, a aus M und f die Abbildung von M nach V´.
F heisst stetig in a, wenn zu jedem [mm]\epsilon[/mm]>0
ein [mm]\delta[/mm]>0 ex. , so dass für alle x aus M mit ||x-a||<[mm]\delta[/mm] gilt:
||f(x)-f(a)||´< [mm]\epsilon[/mm].
Das brauch ich ja nur zu übertragen.
Aber das fällt mir schwer.
Ich versuch´s mal:
(V,||.||) = (C([a,b]),maxnorm) = M
Also sind die a´s aus M setige Funktionen auf [a,b].
f wäre ja dann die Abbildung von C([a,b]) in die rellen Zahlen,
also (V´,||.||`) = ([mm]\IR[/mm],||.||), wobei ich eine Norm wählen kann, da auf VR, die die reellen Zahlen betreffen, alle Normen äquivalent sind,also .zb. den Betrag!
Jetzt kommt mein erstes Problem:
für alle x aus M mit ||x-a||<[mm]\delta[/mm]
d.h.: für alle f aus M mit ||f- ?||. a ist auch aus M, müsste also dann auch eine Funktion sein, oder?
Wie würde dann denn auch dei letzte Bedngung lauten?
Wie Du merkst,fällt mir das Thema nicht besonders leicht.
Vielleicht hilft mir ja eine genaue Erklärung weiter!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo [mm] $\sqrt{\pi}$!
[/mm]
Du hast das schon sehr gut erkannt!
Wir wollen zeigen, dass für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ die Abbildung
[mm] $T_x [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} (C([a,b]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) & \to & (\IR, \vert \cdot \vert) \\[5pt] f & \mapsto & T_x(f):=f(x) \end{array}$
[/mm]
in einem beliebigen "Punkt" [mm] $f_0 \in [/mm] C([a,b])$ stetig ist.
Zu zeigen ist also:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit
[mm] $\Vert [/mm] f - [mm] f_0 \Vert_{\infty} [/mm] < [mm] \delta \quad \Rightarrow \quad \vert T_x(f) [/mm] - [mm] T_x(f_0) \vert [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Nun gilt aber: [mm] $T_x(f)=f(x)$. [/mm] Zu zeigen ist also:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit
[mm] $\Vert [/mm] f - [mm] f_0 \Vert_{\infty} [/mm] < [mm] \delta \quad \Rightarrow \quad \vert [/mm] f(x) - [mm] f_0(x) \vert [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Nun gilt aber doch:
[mm] $\Vert [/mm] f - [mm] f_0 \Vert_{\infty} [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \in [a,b]} |(f-f_0)(x)| [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x) [mm] -f_0(x)| \ge [/mm] |f(x) - [mm] f_0(x)|$.
[/mm]
Das dürfte klar sein, oder?
So, nun sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebige gewählt und es soll aus [mm] $\Vert [/mm] f - [mm] f_0 \Vert_{\infty} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] die Ungleichung
$|f(x) - [mm] f_0(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
folgen, andererseits gilt:
$|f(x) - [mm] f_0(x)| \le \Vert [/mm] f - [mm] f_0 \Vert_{\infty}$.
[/mm]
Wie könnten wir also [mm] $\delta>0$ [/mm] einfach wählen?
Richtig, wir wählen [mm] $\delta:=\varepsilon$. [/mm] Dann folgt aus [mm] $\Vert [/mm] f - [mm] f_0 \Vert_{\infty}< \delta$ [/mm] sofort:
[mm] $|T_x(f) [/mm] - [mm] T_x(f_0)| [/mm] = |f(x) - [mm] f_0(x)| \le \Vert [/mm] f - [mm] f_0 \Vert_{\infty} [/mm] < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Jetzt alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Vielen Dank für Deine sher gute Antwort, jetzt ist mir so einige klar geworden.
Ich habe vor laueter Bäumen den Wald nicht mehr gesehen.
Also,
wenn ich mich in einem VR über Funktionen mit bestimmten Eigenschaften bewege, kann ich Stetigkeit in einem Punkt als Stetigkeit in einer Funktion [mm] f_0 [/mm] auffassen und so tun, als wenn es wirklich ein Punkt wäre.
Natürlich ist das nicht wörtlich zu verstehen.
Nochmals Danke!
Gruss,
Wurzelpi!
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