Stetigkeit in top. Räumen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X, Y topologische Räume und
f: X [mm] \to [/mm] Y
eine Abbildung.
Zeige: f ist genau dann stetig, wenn die Urbilder aller abgeschlossenen Teilmengen abgeschlossen sind. |
Hi ihr!
Ich stehe im Moment einfach völlig auf dem Schlauch. Die einzige passende Definition, die wir hatten, ist, dass Stetigkeit in topologischen Räumen äquivalent zu "die Urbilder aller offenen Mengen sind wieder offen" ist. Aber wie folgere ich daraus unmittelbar, dass die Urbilder aller abg. Mengen abgeschlossen sind? Im Skript steht mal wieder nur, es sei "leicht zu sehen", dass die beiden Definitionen äquivalent sind.
z.B. sei V eine abgeschlossene Menge in Y. Y ohne V ist somit offen. Daher ist auch das Urbild hiervon offen, und somit ist [mm] X\f^{-1}(Y\V) [/mm] abgeschlossen. Aber ist das unbedingt das Urbild von V? Ich habe ja nicht die Bedingung, dass f bijektiv oder so ist.
Danke schon mal demjenigen, der mir vom Schlauch runterhilft 
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien X, Y topologische Räume und
> f: X [mm]\to[/mm] Y
> eine Abbildung.
>
> Zeige: f ist genau dann stetig, wenn die Urbilder aller
> abgeschlossenen Teilmengen abgeschlossen sind.
> Hi ihr!
>
> Ich stehe im Moment einfach völlig auf dem Schlauch. Die
> einzige passende Definition, die wir hatten, ist, dass
> Stetigkeit in topologischen Räumen äquivalent zu "die
> Urbilder aller offenen Mengen sind wieder offen" ist. Aber
> wie folgere ich daraus unmittelbar, dass die Urbilder aller
> abg. Mengen abgeschlossen sind? Im Skript steht mal wieder
> nur, es sei "leicht zu sehen", dass die beiden Definitionen
> äquivalent sind.
>
> z.B. sei V eine abgeschlossene Menge in Y. Y ohne V ist
> somit offen. Daher ist auch das Urbild hiervon offen, und
> somit ist [mm]X\f^{-1}(Y\V)[/mm] abgeschlossen. Aber ist das
> unbedingt das Urbild von V? Ich habe ja nicht die
> Bedingung, dass f bijektiv oder so ist.
Das ist schonmal der richige Ansatz. Jetzt überlege dir, wie die Urbilder von V und dem Komplement [mm] $\overline{V} [/mm] = [mm] Y\backslash [/mm] V$ zusammenhängen:
[mm] f^{-1}(V) = \{x\in X \mid f(x) \in V \} = \{x\in X \mid f(x) \not\in \overline{V} \} [/mm]
Da [mm] $\overline{V}$ [/mm] offen ist, weisst du, dass f stetig ist, wenn [mm] $f^{-1}(\overline{V})$ [/mm] offen ist. Es ist
[mm] f^{-1}(\overline{V}) = \{x\in X \mid f(x) \in \overline{V} \} [/mm]
Kannst du daraus schließen, dass [mm] $f^{-1}(V)$ [/mm] das Komplement von [mm] $f^{-1}(\overline{V}) [/mm] $ ist ?
Viele Grüße
Rainer
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Gerade da liegt so ein bisschen mein Verständnisproblem. Ich glaube aber schon, weil f(x) für alle x entweder in V liegt oder eben nicht. D.h. x [mm] \in f^{-1}(V) \gdw [/mm] x [mm] \not\in f^{-1}(\overline{V}) [/mm] und umgekehrt.
Also wäre die Begründung: [mm] \overline{V} [/mm] ist offen [mm] \Rightarrow f^{-1}(\overline{V}) [/mm] ist per Definition offen, da f stetig ist [mm] \Rightarrow \{x | x \not\in f^{-1}(\overline{V}) \} [/mm] ist abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] V ist abgeschlossen, da [mm] f^{-1}(V)= \{x | x \not\in f^{-1}(\overline{V}) \}. [/mm]
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mo 20.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gerade da liegt so ein bisschen mein Verständnisproblem.
> Ich glaube aber schon, weil f(x) für alle x entweder in V
> liegt oder eben nicht. D.h.[mm] x \in f^{-1}(V) \gdw x \not\in f^{-1}(\overline{V})[/mm]
> und umgekehrt.
Richtig. Es ist etwas einfacher zu verstehen, wenn f surjektiv ist. Denn dann hast du zwei disjunkte Mengen in X und in Y:
[mm] f (f^{-1}(V) ) =V [/mm] und [mm] f (f^{-1}(\overline{V}) ) = \overline{V} [/mm]
Wenn f nicht surjektiv ist, dann kann es Punkte in Y und damit in V geben, die keine Bildpunkte von f sind. Aber das ändert nichts an der Aufteilung.
> Also wäre die Begründung: [mm]\overline{V}[/mm] ist offen
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(\overline{V})[/mm] ist per Definition offen,
> da f stetig ist [mm]\Rightarrow \{x | x \not\in f^{-1}(\overline{V}) \}[/mm]
> ist abgeschlossen [mm]\Rightarrow[/mm] V ist abgeschlossen, da
> [mm]f^{-1}(V)= \{x | x \not\in f^{-1}(\overline{V}) \}.[/mm]
Die Schlusskette stimmt nicht ganz. Zunächst einmal: [mm] $\overline{V}$ [/mm] offen $gdw$ V abgeschlossen.
Dann schließt du richtig:
V ist abgeschlossen
[mm]\gdw \overline{V}[/mm] ist offen
[mm]\Rightarrow f^{-1}(\overline{V})[/mm] ist per Definition offen, da f stetig ist
[mm]\Rightarrow f^{-1}(V)= \{x | x \not\in f^{-1}(\overline{V}) \}[/mm] ist abgeschlossen.
Also: f stetig [mm] $\implies$ [/mm] das Urbild von V ist abgeschlossen.
Nun musst du noch die andere Richtung zeigen, dass also f stetig ist, wenn das Urbild aller abgeschlossenen Mengen abgeschlossen ist. Dafür musst du nur deine Folgerungen ein bischen umstellen, indem du zeigst, dass dann das Urbild aller offenen Mengen offen ist, und daher f stetig.
Viele Grüße
Rainer
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