Stetigkeit, inkl. der hülle < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Azarazul |
| Aufgabe | Äquivalent zur Stetigkeit einer Funktion $ f:X [mm] \to [/mm] Y $ auf topologischen Räumen ist :
[mm] $$\forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] X: f [mm] \left( \overline{A} \right) \subset \overline{f \left( A \right)}$$ [/mm] |
Hallo,
diese Definition wurde in der Vorlesung (ohne Beweis) äquivalent zu unserer (urbilder offener mengen sind offen) gesetzt. Ich versuche sie zu beweisen, scheitere aber...
Ich vermute, dass man zunächst zeigen muss, dass
$$ [mm] \overline{ f\left( \overline{A}\right) }= \overline{f\left( A \right)} [/mm] $$
Kann mir jemand helfen, das zu zeigen ?
Vielen dank und viele Grüße,
aza
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Sa 03.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Äquivalent zur Stetigkeit einer Funktion [mm]f:X \to Y[/mm] auf
> topologischen Räumen ist :
> [mm]\forall A \subset X: f \left( \overline{A} \right) \subset \overline{f \left( A \right)}[/mm]
>
> Hallo,
>
> diese Definition wurde in der Vorlesung (ohne Beweis)
> äquivalent zu unserer (urbilder offener mengen sind offen)
> gesetzt. Ich versuche sie zu beweisen, scheitere aber...
>
> Ich vermute, dass man zunächst zeigen muss, dass
> [mm]\overline{ f\left( \overline{A}\right) }= \overline{f\left( A \right)}[/mm]
>
> Kann mir jemand helfen, das zu zeigen ?
Warum so kompliziert? Versuch doch lieber, die Aussage selber zu beweisen.
Dazu beachte: [mm] $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ [/mm] bedeutet, dass [mm] $\overline{A}$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $f^{-1}( \overline{f(A)} [/mm] )$ ist.
Nun ist [mm] $\overline{f(A)}$ [/mm] der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, welche $f(A)$ enthalten, schreiben wir mal [mm] $\overline{f(A)} [/mm] = [mm] \bigcap_{f(A) \subseteq B \atop B \text{ abgeschossen}} [/mm] B$. Damit ist [mm] $f^{-1}( \overline{f(A)} [/mm] ) = [mm] f^{-1}\Bigl( \bigcap_{f(A) \subseteq B \atop B \text{ abgeschossen}} [/mm] B [mm] \Bigr)$.
[/mm]
Kannst du das weiter umformen?
Beachte, dass [mm] $\overline{A}$ [/mm] der Schnitt aller abgeschlossenen Mengen ist, die $A$ enthalten, und dass $f$ stetig ist. Damit bist du ziemlich schnell am Ziel.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Azarazul |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja - das war der entscheidende Hinweis - ganz schön dumm, dass ich da nicht drauf gekommen bin, denn ich hatte schon mal stehen, dass
zu zeigen: $$ \overline{A} \subset f^{-1} \left(\overline{ f\left( A\right) } \right) $$
Dazu. Es ist:
$$ f^{-1} \left(\overline{ f\left( A\right)} \right) = f^{-1} \left( \bigcap_{ \text{B closed, }f(A) \subset B} B \right) = \bigcap_{ \text{B closed, } f(A) \subset B} f^{-1} \left( B \right)$$
Der Abschluss von A berechnet sich
$$ \overline{A} = \bigcap_{ \text{D closed, } A \subset D } D $$
Da nun stets $\forall D \exists B : D \subset f^{-1}(B) $ irgendwie gilt, folgt die Behauptung.
Und damit dann
$$ f\left ( \overline{A} \right) \subset \overline { f \left ( A \right ) } $$.
Denke, das passt (?). Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Sa 03.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Ja - das war der entscheidende Hinweis - ganz schön dumm,
> dass ich da nicht drauf gekommen bin, denn ich hatte schon
> mal stehen, dass
>
> zu zeigen: [mm]\overline{A} \subset f^{-1} \left(\overline{ f\left( A\right) } \right)[/mm]
>
> Dazu. Es ist:
> [mm]f^{-1} \left(\overline{ f\left( A\right)} \right) = f^{-1} \left( \bigcap_{ \text{B closed, }f(A) \subset B} B \right) = \bigcap_{ \text{B closed, } f(A) \subset B} f^{-1} \left( B \right)[/mm]
>
> Der Abschluss von A berechnet sich
> [mm]\overline{A} = \bigcap_{ \text{D closed, } A \subset D } D[/mm]
Soweit so gut.
> Da nun stets [mm]\forall D \exists B : D \subset f^{-1}(B)[/mm]
> irgendwie gilt, folgt die Behauptung.
Das ist fuer $B$ gleich dem ganzen Raum immer erfuellt. Das hilft dir aber nicht weiter.
> Und damit dann
> [mm]f\left ( \overline{A} \right) \subset \overline { f \left ( A \right ) } [/mm].
Hierfuer musst du noch etwas genauer argumentieren.
Ueberege dir, dass [mm] $f^{-1}( \overline{f(A)} [/mm] )$ der Schnitt von abgeschlossenen Mengen ist, die $A$ enthalten (aber nicht umbedingt von allen abgeschlossenen Mengen). In jeder solchen abgeschlossenen Menge ist [mm] $\overline{A}$ [/mm] enthalten.
LG Felix
|
|
|
|
