Stetigkeit mit Folgenkriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Leute,
kann man Stetigkeit mit dem Folgenkriterium nachweisen?
Also mit der Definition:
Eine Funktion ist in [mm] x_{0} [/mm] genau dann stetig, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=f(x_{0}) [/mm] ist (wenn [mm] x_{n} [/mm] gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert).
In einem Tutorium-Buch habe ich nun gelesen, dass man mit diesem Kriterium nur Unstetigkeit beweisen kann.
Denn um Stetigkeit damit zu beweisen, müsste man ALLE Folgen, die gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergieren untersuchen, und das sind in der Regel unendlich viele.
Stimmt das? Wenn nicht, kann mir jemand ein einfaches Beispiel verlinken?
Hab nämlich auch irgendwo gelesen, dass das sehr wohl funktioniert und bin leicht verwirrt...
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Do 03.01.2013 | | Autor: | ullim |
> Hey Leute,
>
> kann man Stetigkeit mit dem Folgenkriterium nachweisen?
> Also mit der Definition:
> Eine Funktion ist in [mm]x_{0}[/mm] genau dann stetig, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=f(x_{0})[/mm] ist (wenn
> [mm]x_{n}[/mm] gegen [mm]x_{0}[/mm] konvergiert).
Die richtige Definiton ist ![[]](/images/popup.gif) hier
> In einem Tutorium-Buch habe ich nun gelesen, dass man mit
> diesem Kriterium nur Unstetigkeit beweisen kann.
Wenn Du eine Folger findest, s.d. die Definiton oben nicht erfüllt ist, dann ist die Funktion unstetig.
> Denn um Stetigkeit damit zu beweisen, müsste man ALLE
> Folgen, die gegen [mm]x_{0}[/mm] konvergieren untersuchen, und das
> sind in der Regel unendlich viele.
Ja, deshalb nimmst Du eine beliebige Folge. Wenn die Definition oben dann erfüllt ist, hast Du es ja für alle Folgen gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 03.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Und wie läuft das dann?
Bsp, ich will zeigen, dass [mm] f(x)=x^{2} [/mm] stetig für x=2 ist.
Sei [mm] a_{n} [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] =2.
Und weiter?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = f(2)
Das kann ich doch nicht einfach hinschreiben, denn das will ich ja beweisen ?_?
Gruß
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Hallo Paivren,
> Und wie läuft das dann?
>
> Bsp, ich will zeigen, dass [mm]f(x)=x^{2}[/mm] stetig für x=2 ist.
>
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
> =2.
>
> Und weiter?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})[/mm] = f(2)
> Das kann ich doch nicht einfach hinschreiben, denn das
> will ich ja beweisen ?_?
Dann schaue dir gem. Grenzwertdefinition doch [mm] $|f(a_n)-f(2)|=|a_n^2-4|$ [/mm] mal an und nutze, dass [mm] $a_n\longrightarrow [/mm] 2$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ...
>
> Gruß
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 03.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Dann steht in dem Betrag doch aber Null?
[mm] f(a_{n}) [/mm] konvergiert genau dann gegen f(2)=4, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt, sodass
[mm] \vmat{f(a_{n}) - f(2) } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > N.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
[mm] \vmat{f(a_{n}) - f(2) } [/mm] = [mm] \vmat{a_{n}^{2} - 4 }...
[/mm]
keine Ahnung, wies weiter geht =(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Do 03.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Also dass in dem Betrag 0 rauskommen würde, wäre ja nicht das Problem... aber ich versteh nicht, warum man da einfach den Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] benutzen kann...
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Hallo nochmal,
> Dann steht in dem Betrag doch aber Null?
Nein, der Betrag soll gefälligst für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 0 konvergieren.
Wir sind doch in der Richtung: [mm] $(a_n\longrightarrow [/mm] 2) \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] (f(a_n)\longrightarrow [/mm] f(2))$ mit [mm] $f(x)=x^2$
[/mm]
>
> [mm]f(a_{n})[/mm] konvergiert genau dann gegen f(2)=4, wenn es zu
> jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein N [mm]\in \IN[/mm] gibt, sodass
> [mm]\vmat{f(a_{n}) - f(2) }[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n > N.
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0.
> [mm]\vmat{f(a_{n}) - f(2) }[/mm] = [mm]\vmat{a_{n}^{2} - 4 }...[/mm]
>
>
> keine Ahnung, wies weiter geht =(
Nutze die 3. binomische Formel, die Dreiecksungleichung und das Wissen, dass [mm] $a_n\longrightarrow [/mm] 2$, also [mm] $a_n-2\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Also sry, auch bei deiner Schritt-für-Schritt-Erklärung raff ichs noch nicht wirklich :D
[mm] \vmat{ (a_{n})^{2}-4 } [/mm] = [mm] \vmat{ (a_{n}+2)(a_{n}-2)}
[/mm]
[mm] =\vmat{ ( a_{n}+2)} \vmat{ ( a_{n}-2)}
[/mm]
[mm] \le (\vmat{a_{n}} [/mm] + 2) [mm] (\vmat{a_{n}}-2)
[/mm]
Und nun?
Wenn ich jetzt für [mm] a_{n} [/mm] den Grenzwert für [mm] n-->\infty [/mm] einsetze, wird das Produkt zu Null. das heißt, dass die Konvergenz praktisch gezeigt ist.
Aber WARUM darf ich für [mm] a_{n} [/mm] einfach den Grenzwert einsetzen? Ich kann doch aus [mm] f(a_{n}) [/mm] nicht einfach f(2) machen.
Hoffe man versteht mich irgendwo.
Auf jeden Fall schon mal vielen Dank für Deine Hilfe!
Gruß und gute Nacht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich finde die hier vorgeschlagene Vorgehensweise umständlich (man
braucht hier weder binomische Formeln noch [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$-Vorgehensweisen,
wenn man denn die "Rechenregeln für konvergente Folgen" kennt - und
wenn man sie kennt, sollte man sie auch verwenden). Ich schlage mal
folgendes vor:
Wir betrachten [mm] $f\colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] und zeigen direkt, dass
gilt:
Ist [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, so gilt für jede Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] mit
[mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] dass auch [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] folgt.
Beweis:
Sei also [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Seien [mm] $x_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,.$
[/mm]
Was ist denn eigentlich zu zeigen? Zu zeigen ist, weil wir ja [mm] $f(x_n)={x_n}^2$ [/mm]
und [mm] $f(x_0)={x_0}^2$ [/mm] wissen:
[mm] $${x_n}^2=x_n*x_n \to {x_0}^2=x_0*x_0\,.$$
[/mm]
(Wir haben dabei die Voraussetzung, dass [mm] $x_n \to x_0$!)
[/mm]
Das folgt aber direkt aus Satz 5.5 2 - schreib' Dir das mal
meinetwegen total penibel entsprechend hin, damit ich sehe, ob Dir klar
ist, was ich damit meine.
(Also etwa: Wir setzen [mm] $a_n:=x_n$ [/mm] und [mm] $b_n:=...$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm]
dann ist [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $a=x_0\,$ [/mm] und ...)
P.S. Machen wir mal ein anderes Beispiel: Wir betrachten $g(x):=3x+7$
als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] und behaupten, dass [mm] $g\,$ [/mm] stetig ist.
Beweis:
Sei [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest und seien [mm] $x_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,.$
[/mm]
Aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] folgt [mm] $3x_n \to 3x_0:$ [/mm] Dazu verwende Satz 5.5 2
mit
[mm] $$\tilde{a}_n:=3 \to 3=\tilde{a}$$ [/mm]
und
[mm] $$\tilde{b}_n:=x_n \to x_0=\tilde{b}\,;$$
[/mm]
d.h. [mm] ${({\tilde{a}}_n)}_n$ [/mm] bzw. [mm] $\tilde{{a}}$ [/mm] spielt die Rolle von [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] bzw. [mm] $a\,$ [/mm] im genannten Satz,
und [mm] ${({\tilde{b}}_n)}_n$ [/mm] bzw. [mm] $\tilde{{b}}$ [/mm] spielt die Rolle von [mm] ${(b_n)}_n$ [/mm] bzw. [mm] $b\,$ [/mm] im genannten Satz.
Nun setze
[mm] $$\tilde{\tilde{a}}_n:=3x_n \to \tilde{\tilde{a}}=3x_0$$ [/mm]
und
[mm] $$\tilde{\tilde{b}}_n:=7 \to 7=\tilde{\tilde{b}}\,,$$ [/mm]
und nun wende Satz 5.5 1. an; d.h. [mm] ${(\tilde{\tilde{a}}_n)}_n$ [/mm] bzw. [mm] $\tilde{\tilde{a}}$ [/mm] spielt die Rolle von
[mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] bzw. [mm] $a\,$ [/mm] im genannten Satz, und [mm] ${(\tilde{\tilde{b}}_n)}_n$ [/mm] bzw. [mm] $\tilde{\tilde{b}}$ [/mm] spielt die Rolle von [mm] ${(b_n)}_n$ [/mm]
bzw. [mm] $b\,$ [/mm] im genannten Satz.
(Später schreibst Du einfach den Beweis etwa nur noch so:
Aus $3 [mm] \to [/mm] 3$ und [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] folgt [mm] $3*x_n \to 3*x_0$ [/mm] wegen Satz 5.5 2..
Nun wissen wir [mm] $3x_n \to 3x_0\,,$ [/mm] und weil $7 [mm] \to [/mm] 7$ gilt, folgt aus Satz
5.5 1. dann [mm] $3x_n+7 \to 3x_0+7\,,$ [/mm] also folgt aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] sodann
[mm] $g(x_n) \to g(x_0)\,.$
[/mm]
"Sehr viel später" (oder auch doch schon sehr bald) wirst Du einfach nur
schreiben: Es ist (wegen Satz 5.5) klar, dass aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] sofort
[mm] $3x_n+7 \to 3x_0+7$ [/mm] folgt...)
P.S. Mithilfe des genannten Satzes kann man leicht zeigen:
Sind - für festes $N [mm] \in \IN_0$ [/mm] - die Zahlen [mm] $a_0,\;\ldots,\;a_N$ [/mm] irgendwelche
festen reellen Zahlen, und ist [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] eine Folge mit [mm] $x_n \to x_0\,,$
[/mm]
so folgt
[mm] $$\sum_{k=0}^N a_k {x_n}^k \to \sum_{k=0}^N a_k {x_0}^k \text{ bei }\blue{\mathb{n}}\to \infty\,.$$
[/mm]
Was besagt dies nun, wenn man an "Polynomfunktionen" (von [mm] $\IR \to \IR$) [/mm]
denkt? (Später wirst Du entsprechendes auch für Polynmfunktionen [mm] $\IC \to \IC$
[/mm]
hinschreiben, wobei die [mm] $a_0,\;\ldots,\;a_N$ [/mm] dann auch allgemeiner alle
[mm] $\in \IC$ [/mm] sind!)
P.P.S. Dass
[mm] $$x_n \to 2\;\; \Rightarrow\;\; x_n^2 \to [/mm] 4$$
gilt, folgt natürlich auch direkt aus dem genannten Satz; und wenn das mit
obigen [mm] $x_0$ [/mm] erstmal doch zu allgemein wirkt: Hier der Kurzbeweis dazu:
Aus [mm] $x_n \to [/mm] 2$ folgt
[mm] $$x_n^2=x_n*x_n \to 2*2=4\,.$$
[/mm]
Übrigens, was Schachuzipus wohl sagen wollte (auch das schreibe ich mal
wieder ein wenig allgemeiner hin):
Aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] folgt
[mm] $$|f(x_n)-f(x_0)|=\ldots=|x_n-x_0|*|x_n+x_0|\,,$$
[/mm]
und nun sollte man aber wenigstens begründen, dass bzw. warum
[mm] ${\,(\,|x_n+x_0\,|\,)}_n$ [/mm] eine (nach oben) beschränkte Folge ist, um damit
und der Voraussetzung [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] dann [mm] $|f(x_n)-f(x_0)| \to [/mm] 0$ folgern zu können.
(Natürlich kann man das auch anders machen, aber im Endeffekt wird das
nur auf eine Abschätzung hinauslaufen, die irgendwie nur analoges zu dem
hier gesagten beinhaltet...)
(Die gleichen Überlegungen kannst Du meinetwegen auch mal speziell für
[mm] $x_0=2$ [/mm] selbst hinschreiben!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, Marcel!
Da ich momentan noch mit anderen Zetteln beschäftigt bin, kann ich mir sie erst die Tage durchlesen, hoffe, ich kapiers dann.
Gruß
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