Stetigkeit mit Parameter < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 22.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
| Aufgabe | a)
Für welche Parameter a[mm]\ge2\wurzel{3}[/mm] ist die durch
f(x)= 1+2 [mm]\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}[/mm] für [mm]0\le x \le 2 \wurzel{3}[/mm]
und
f(x)= 3-2 [mm]\wurzel{1-\bruch{(x-4\wurzel{3})²}{a²}}[/mm] für 2[mm]\wurzel{3}
definierte Funktion f: [0, [mm]4\wurzel{3}[/mm]][mm]\rightarrow\IR[/mm] stetig? Im folgenden betrachten wir f nur für dieses a.
b) Ist f differenzierbar in x= [mm]2\wurzel{3}[/mm]? |
Hallo,
folgendes hab ich gemacht
[mm]\lim_{x \to 0 }1+2 \wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}[/mm] = geht gegen 3 für alle a
[mm]\lim_{x \to 2 \wurzel {3}}1+2 \wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}[/mm] = geht gegen 3 für a gegen unendlich und gegen 1 für a= [mm]2\wurzel{3} [/mm]
[mm]\lim_{x \to 2 \wurzel{3}}3-2 \wurzel{1-\bruch{(x-4\wurzel{3})²}{a²}}[/mm] = geht gegen 1 für a gegen unendlich und gegen 3 für a= [mm]2\wurzel{3} [/mm]
[mm]\lim_{x \to 4 \wurzel{3}}3-2 \wurzel{1-\bruch{(x-4\wurzel{3})²}{a²}}[/mm] = geht gegen 0 für alle a
So aber welches a nehm ich jetzt. Im endeffekt gelten ja alle a[mm]\ge2\wurzel{3}[/mm] oder? Und ist die Stetigkeit damit schon nachgewiesen?
Differnzierbarkeit müsste ich die beiden Funktionen ableiten und gegen den Grenzwert x gehen lassen?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe
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Hallo tomtomgo!
Du musst hier exakt dieses $a_$ berechnen, indem Du die beiden Grenzwerte [mm] $\limes_{x\rightarrow2\wurzel{3}\uparrow}f_a(x)$ [/mm] und [mm] $\limes_{x\rightarrow2\wurzel{3}\downarrow}f_a(x)$ [/mm] ermittelst und gleichsetzt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Do 22.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Ja gut, den Grenzwert berechne ich hier ja, indem ich für [mm]x=2 \wurzel{3}[/mm] einsetze. Dann Gleichsetzen, aber jetzt kommt 0 heraus und das a kürzt sich raus.
Mach ich bei der Grenzwertberechnung was falsch?
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Hallo tomtomgo!
Dann scheinst Du wirklich etwas falsch zu machen ... also bitte vorrechnen!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 22.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Gut, mein Ergebniss vorher war wohl etwas voreilig.
Mein Ergebniss nun ist [mm]a= \wurzel {24}[/mm]
Damit ist f stetig für [mm]a= \wurzel {24}[/mm] oder?
Differnzierbarkeit beweis ich nun durch Ableitung der beiden Funktionen (einsetzen von a natürlich) und dann gegen den Grenzwert x gehen lassen oder?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
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Hallo tomtomgo!
Hm, ich erhalte hier jedoch $a \ = \ 4$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:50 Do 22.01.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
da kommt kein fester Wert für a raus, kann auch gar nicht, sondern ein Zahlenbereich.
So ist die Funktion für a=1000 und a=10000 durchaus auch stetig (warum sollte sie auch nicht).
Zur Frage:
Du musst nur aufpassen, dass der Wert unter der Wurzel nicht negativ wird, dann ist die Funktion als Verkettung stetiger Funktionen auf jeden Fall stetig.
Gruß,
Gono.
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Hallo Gono!
Durch die Einschränkung $a \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 2\wurzel{3}$ [/mm] sowie den entsprechenden definierten Intervallen für $x_$ kann die Wurzel (bzw. der Term darunter) gar nicht negativ werden.
Und warum hier an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] 2\wurzel{3}$ [/mm] für unterschiedliche $a_$ Stetigkeit erzielt werden kann, erschließt sich mir gerade überhaupt nicht.
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:59 Do 22.01.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ah, natürlich hast du recht, Verzeihung.
Ich hab beim Lesen 2 Funktionen vermutet, die er beide auf Stetigkeit überprüfen soll für a und nicht gesehen, dass es eine Funktion ist, die dann natürlich in Abhängigkeit von a stetig ist oder eben nicht.
Entschuldige nochmals.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich kann Roadrunner nur bestätigen:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow2\wurzel{3}\uparrow}f_a(x) [/mm] $ =$ [mm] \limes_{x\rightarrow2\wurzel{3}\downarrow}f_a(x) [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] a=4.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Do 22.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Ok. Nach nochmaligem Nachrechnen, bin ich jetzt auch auf a=4 gekommen.
Vielen Dank an alle für die Hilfe.
Grüße
Thomas
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