Stetigkeit mit Umgebung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 17.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | f: [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \to \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le -1 \\ \summe_{n=0}^{\infty}x^n, & \mbox{für } -1 < x \le 0 \\ x^2+1, & \mbox{für } 0 < x \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie mit Hilfe von Umgebungen, ob die Funktion f an den Stellen [mm] x_{1}=1, x_{2}=0, x_{3}=-1 [/mm] stetig ist. |
Mit Hilfe von Umgebungen zeige ich die Stetigkeit ja, indem ich z.B. für [mm] x_{1}=1 [/mm] zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow x_{1}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{1})
[/mm]
also: [mm] \limes_{x\rightarrow 1} x^2+1 [/mm] muss [mm] 1^2+1 [/mm] = 2 ergeben, was der Fall ist, somit ist f(x) an der Stelle [mm] x_{1} [/mm] stetig. Ist das soweit mathematisch korrekt ?
Für [mm] x_{2}=0 [/mm] wäre dann [mm] \limes_{x\rightarrow x_{2}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{2})
[/mm]
Also [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}0^n [/mm] = 0
Von welcher Seite lasse ich nun aber mein x gegen die 0 streben ? von der postiven oder der negativen ?
Ich würde es von -1 gegen 0 laufen lassen, bin mir aber nicht sicher ob das korrekt wäre ?
Jedenfalls wäre das Ergebnis nicht das gleiche wie für [mm] f(x_{2}) [/mm] was bedeuten würde das f(x) an der stelle [mm] x_{2} [/mm] hebbar unstetig wäre.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 18.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
Für x=-1 wäre es in beiden fällen sowieso 0 und somit hier ebenfalls stetig. Jetzt ist nurnoch die frage was für x=0 passiert und ob ich die stetigkeit wirklich mit "umgebungen" nachgewiesen habe?
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Hallo,
> Für x=-1 wäre es in beiden fällen sowieso 0 und somit
> hier ebenfalls stetig.
Wie kommst du denn darauf? Das ist doch auf (-1;0] eine geometrische Reihe, deren Wert strebt doch für [mm] x->-1^{+} [/mm] nicht gegen Null?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mi 18.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Wie kommst du denn darauf? Das ist doch auf (-1;0] eine
> geometrische Reihe, deren Wert strebt doch für [mm]x->-1^{+}[/mm]
> nicht gegen Null?
>
>
> Gruß, Diophant
>
>
Hallo,
für x=-1 ist meine Funktion als 0 definiert
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Hallo,
> Hallo,
> für x=-1 ist meine Funktion als 0 definiert
ja schon. Aber das heißt noch lange nicht, dass sie dort stetig ist. Betrachte
[mm]\limes_{x\rightarrow{-1}^{+}}f(x) [/mm]
Der ist nicht gleich 0, und damit ist die Sache an dieser Stelle erledigt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 18.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
> > Hallo,
> > für x=-1 ist meine Funktion als 0 definiert
>
> ja schon. Aber das heißt noch lange nicht, dass sie dort
> stetig ist. Betrachte
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow{-1}^{+}}f(x)[/mm]
>
> Der ist nicht gleich 0, und damit ist die Sache an dieser
> Stelle erledigt.
>
>
> Gruß, Diophant
Danke jetzt wurde mir einiges klarer.
Ich habe nun als Ergebnis:
An den Stellen x1=1 und x2=0 stetig und an x3=-1 unstetig (hebbar unstetig, da lim(f(x)) existiert, aber lim(f(x)) [mm] \not= [/mm] f(x3) )
Leider habe ich aber gerade feststellen müssen, dass ich es nicht mit Umgebungen gezeigt habe wie in der Aufgabe gewünscht. Nun stehe ich wieder absolut auf dem Schlauch. Wie zeige ich das denn mit einer Umgebung ?
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Hallo,
> Ich habe nun als Ergebnis:
> An den Stellen x1=1 und x2=0 stetig und an x3=-1 unstetig
> (hebbar unstetig, da lim(f(x)) existiert, aber lim(f(x))
> [mm]\not=[/mm] f(x3) )
Das ist, bis auf die Stetigkeit in [mm] x_1=1 [/mm] alles völlig falsch. Wieso soll die Unstetigkeit in [mm] x_3=-1 [/mm] hebbar sein??? Ebensowenig kann f in [mm] x_2=0 [/mm] stetig sein.
Wenn du etwas konkretere Rechnungen angeben würdest, könnte man besser nachvollziehen, wo deine Verständnisprobleme liegen.
>
> Leider habe ich aber gerade feststellen müssen, dass ich
> es nicht mit Umgebungen gezeigt habe wie in der Aufgabe
> gewünscht. Nun stehe ich wieder absolut auf dem Schlauch.
> Wie zeige ich das denn mit einer Umgebung ?
Ich weiß nicht, was du damit meinst. Ich vermute, es geht um die Anwendung des [mm] \epsilon-\delta-Kriteriums? [/mm] Das verwendet man eher zum Nachweis von Stetigkeit, nicht vom Gegenteil, dass wäre in meinen Augen völlig widersinnig. Denn man kann ja auch nicht einfach aus der Tatsache, dass man kein geeignetes [mm] \epsilon [/mm] findet, einfach schließen, dass eine Funktion unstetig ist: man könnte schließlich auch etwas übersehen haben. Man kann aber sicherlich sofort und ohne weitere Rechnung sagen, dass das [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] an einer Stelle, wo links- und rechtsseitiger Grenzwert unterschiedlich sind, mit Sicherheit nicht erfüllt sein kann.
Versuchen kannst du dich damit wie gesagt an der Stelle [mm] x_1=1, [/mm] wo f stetig ist (weshalb?)
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Do 19.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
Ohje, meine Neverending Story der Woche ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> Das ist, bis auf die Stetigkeit in [mm]x_3=1[/mm] alles völlig
> falsch. Wieso soll die Unstetigkeit in [mm]x_1=-1[/mm] hebbar
> sein??? Ebensowenig kann f in [mm]x_2=0[/mm] stetig sein.
>
> Wenn du etwas konkretere Rechnungen angeben würdest,
> könnte man besser nachvollziehen, wo deine
> Verständnisprobleme liegen.
>
Ok, dann will ich mal loslegen:
Für [mm] x_{1}=1:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} x^2+1 [/mm] = 2 und f(1)= [mm] 1^2+1 [/mm] = 2
Somit stetig
Für [mm] x_{2}=0:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] -> geo. Reihe -> [mm] \bruch{1}{1-x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-0} [/mm] = 1
[mm] f(x_{2})=\summe_{n=0}^{\infty} 0^n [/mm] = 1
Somit ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] = [mm] f(x_{2})
[/mm]
Daraus folgt, dass die Funktion an der Stelle [mm] x_{2}=0 [/mm] stetig ist.
Für [mm] x_{3}=-1:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -1} [/mm] f(x) (wieder die geo. Reihe) [mm] \bruch{1}{1-(-1)}=\bruch{1}{2}
[/mm]
f(-1) = [mm] -1^2+1 [/mm] = 2
Daraus folgt, dass die Funktion an der Stelle [mm] x_{3}=-1 [/mm] unstetig ist.
Da [mm] \limes_{x\rightarrow -1} [/mm] f(x) existiert, aber [mm] \limes_{x\rightarrow -1} [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(-1), ist die Funktion an der Stelle [mm] x_{3}=-1 [/mm] hebbar unstetig.
> >
> > Leider habe ich aber gerade feststellen müssen, dass ich
> > es nicht mit Umgebungen gezeigt habe wie in der Aufgabe
> > gewünscht. Nun stehe ich wieder absolut auf dem Schlauch.
> > Wie zeige ich das denn mit einer Umgebung ?
>
> Ich weiß nicht, was du damit meinst. Ich vermute, es geht
> um die Anwendung des [mm]\epsilon-\delta-Kriteriums?[/mm] Das
> verwendet man eher zum Nachweis von Stetigkeit, nicht vom
> Gegenteilm, dass wäre in meinen Augen völlig widersinnig.
> Denn man kann ja auch nicht einfach aus der Tatsache, dass
> man kein geeignetes [mm]\epsilon[/mm] findet, einfach schließen,
> dass eine Funktion unstetig ist: man könnte schließlich
> auch netwas übersehen haben. Man kann aber sicherlich
> sofort und ohne weitere Rechnung sagen, dass das
> [mm]\epsilon-\delta-Kriterium[/mm] an einer STelle, wo links- und
> rechtsseitiger Grenzwert unterschiedlich sind, mit
> Sicherheit nicht erfüllt sein kann.
>
Ich zitiere mal aus meinem Skript:
"Beschreibung der Stetigkeit durch Umgebungen
Die funktion f: M -> [mm] \IR [/mm] ist genau dann stetig im Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] M, wenn es zu jeder Umgebung U = [mm] U_{\epsilon}(f(x_{0}) [/mm] eine Umgebung [mm] V=U_{\delta}(x_{0}) [/mm] derart gibt, dass f(V [mm] \cap [/mm] M) [mm] \subseteq [/mm] U"
Leider kann ich mit diesem Satz momentan garnichts in Richtung Stetigkeit anfangen.
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Hallo,
zunächst muss ich mich für einen Fehler entschuldigen: in [mm] x_2=0 [/mm] ist f stetig, da hast du völlig Recht. Denn links- und rechtsseitiger Grenzwert sind hier gleich 1.
Mit der hebbaren Unstetigkeit hast du jedoch etwas falsch verstanden. Damit meint man das gleiche wie mit stetiger Fortsetzbarkeit. Es muss also schon von beiden Seiten her der gleiche Grenzwert sein, was bei dir an der Stelle x=-1 nicht gegeben ist. Ein Beispiel für eine hebbar unstetige Funktion wäre die Funktion g mit
[mm] g(x)=\bruch{x^2-4}{x+2}
[/mm]
Sie ist in x=-2 unstetig, kann dort aber mit dem Wert g*(-2)=-4 so ergänzt werden, dass die neu entstandene Funktion g* stetig ist.
> Ich zitiere mal aus meinem Skript:
>
> "Beschreibung der Stetigkeit durch Umgebungen
>
> Die funktion f: M -> [mm]\IR[/mm] ist genau dann stetig im Punkt
> [mm]x_{0} \in[/mm] M, wenn es zu jeder Umgebung U =
> [mm]U_{\epsilon}(f(x_{0})[/mm] eine Umgebung [mm]V=U_{\delta}(x_{0})[/mm]
> derart gibt, dass f(V [mm]\cap[/mm] M) [mm]\subseteq[/mm] U"
>
> Leider kann ich mit diesem Satz momentan garnichts in
> Richtung Stetigkeit anfangen.
>
Ich denke, dabei handelt es sich um eine kleine Umformulierung des [mm] \epsilon-\delta-Kriteriums. [/mm] Ist dir das vertraut?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Sa 21.04.2012 | | Autor: | MisterT |
Erledigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Do 19.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
oben ist mir ein Denkfehler unterlaufen:
An der Stelle [mm] x_2=0 [/mm] ist die Funktion f stetig!
Gruß, Diophant
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