Stetigkeit mit delta-epsilon < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Do 01.04.2010 | | Autor: | mrs.t |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition
a, f(x)= [mm] \wurzel{x^2+2} - \wurzel {x^2+1}[/mm] ist stetig
b, g(x) = xsin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 ist und x =0 stetig ergänzbar |
Hallo,
mein erster Beitrag hier :) und ich hoffe Ihr könnt mir helfen. Also, ich habe das Lösung zu den Aufgaben zwar schon hier, aber ich versteh nicht ganz wie man auf das Ergebnis kommt.
Aufgabe a;
Das hier ist noch klar:
[mm] \left| f(x)- f(x_o)\right| [/mm] = [mm] \left| \wurzel{x^2+2} - \wurzel {x^2+1} + \wurzel{x^2_0 +1} - \wurzel {x^2_0 +2} \right|
[/mm]
mit der Dreiecksungleichung folgt ja:
[mm] \left| f(x)- f(x_o)\right| \le \left|f(x)\right| [/mm] - [mm] \left|f (x_0)\right|
[/mm]
so und jetzt steht hier auf meinem Übungszettel diese weitere Vorgehensweise (warum?)
[mm] \left| f(x)- f(x_o)\right| \le \bruch{x^2 - x_0^2}{\wurzel{x^2+2}+ \wurzel{x_0^2+2}} [/mm] + [mm] \bruch{x^2 - x_0^2}{\wurzel{x^2+1}+ \wurzel{x_0^2+1}}
[/mm]
und weiter (das ist wieder klar)
[mm] \left| f(x)- f(x_o)\right| \le 2\left| x - x_0\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
=> [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
ich hänge eben hier nur an dieser Umformung... (denke ich zumindest ;) )
Aufgabe B;
Hier habe ich nur die Frage wie man auf das [mm] \varepsilon
[/mm]
kommt.
Dies ist verständlich
[mm] \left| g(x)- 0 \right| [/mm] = [mm] \left| x \right|\left|sin \bruch{1}{x}\right| [/mm]
so, hier folgt dann (warum?)
[mm] \left| g(x)- 0 \right| [/mm] < [mm] \left| x \right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
=> dann, [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon)
[/mm]
warum verschwindet sin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ? Ich weiß zwar, dass sin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 <1 ist, aber spielt das hier eine Rolle?
Und warum ist dann x = [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon)
[/mm]
und nicht xsin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon)
[/mm]
Schonmal vielen Dank für die Hilfe, schreibe blad Klausur und wär für schnelle Anwort dankbar :)
und
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Do 01.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum ersten: immer wenn man Differenzen von Wurzeln abschätzen will, versuch man die Differenz mit der Summe zu erweitern, weil man dann oft sehr viel leichter abschätzen kann.
Daer Nenner ist dann positiv und man kann ihn leich verkleinern oder vergrößern, die differnz im Zähler ist ohne Wurzeln viel leichter zu beherrschen.
Es ist ein gewisser "Trick" den man sich merken sollte.
zum zweiten.
du hast recht, man hat verkleinert, indem man [mm] |sin(1/x)|\le1 [/mm] verwendet hat.
du willst ja ein [mm] \delta [/mm] mit [mm] |x-0|<\delta, [/mm] wenn |g(x)-g(0)|<|epsilon
und mit der stetigen Ergänzung g(0)=0 hast du das erreicht, wenn [mm] \delta0Epsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Do 01.04.2010 | | Autor: | mrs.t |
vielen dank für die schnelle antwort
der "trick" erklärt so einiges :) und die zweite aufgabe ist nun auch logisch
:)
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Du ich pauke grade auch die Stetigkeitssache und rechne alles was ich hier finde mal selbst durch. Du schätzt ja hier etwa so ab:
[mm] \left| x^2-x_0^2 \right| [/mm] + [mm] \left| x^2-x_0^2 \right| \le 2\delta
[/mm]
Ich glaube das ist so nicht richtig.
Müssten das nicht [mm] 4\delta [/mm] sein, da [mm] \left| x^2-x_0^2 \right| [/mm] + [mm] \left| x^2-x_0^2 \right| [/mm] = [mm] \left| x-x_0 \right|*\left| x+x_0 \right| [/mm] + [mm] \left| x-x_0 \right|*\left| x+x_0 \right| \le 2\delta [/mm] + [mm] 2\delta [/mm] = [mm] 4\delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] ?
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