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Stetigkeit nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 13.12.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
f(x) = [mm] \wurzel[3]{2x^2-x^3} [/mm]

zu prüfen: Stetigkeit


Hallo,

bei der gegebenen Funktion sollen wir unter anderem auch den Definitionsbereich angeben.

Dementsprechend hat die Funktion bei mir diese Signatur:
f: [mm] (-\infty, [/mm] 2] -> [mm] \IR [/mm]

Jetzt soll ich noch die Stetigkeit beweisen. Ich habe die Funktion plotten lassen und die sieht stetig aus. Grafik reicht für einen Beweis natürlich nicht aus.

Ich weiß, wie man prüft, ob eine Funktion an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig ist, oder nicht. Hier ist das Problem, dass ich das allgemein beweisen soll, also nicht für einen bestimmten Punkt [mm] x_0. [/mm] Ich habe nachgedacht und argumentiert, dass Polynome IMMER stetig sind. Das Problem ist hier nur die Wurzel. Deshalb zieht mein Argument mit den Polynomen nicht.

Wie kann ich das hier angehen? Bitte die zwei weiteren Fragen beachten. Vielen Dank im Voraus.


Zusatzfrage: Wenn eine Funktion an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] nicht stetig ist, dann ist die Funktion insgesamt nicht stetig, stimmt doch oder?

Weitere Frage: Wenn eine Funktion an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig ist, heißt es noch lange nicht, dass die Funktion insgesamt stetig ist, oder?

        
Bezug
Stetigkeit nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Di 13.12.2016
Autor: X3nion

Hallo pc_doctor,

zunächst einmal deine 2 Fragen zum Schluss:

1) wenn eine Funktion in einem Punkt nicht stetig ist, dann ist sie insgesamt unstetig. (Denn eine Funktion heißt stetig genau dann wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist)

2) Wenn eine Funktion in einem Punkt stetig ist, heißt das noch lange nicht, dass sie in jedem Punkt stetig ist.
Betrachte z.B. die Funktion

f(x) :=  -1 für x < 0
            x für x [mm] \ge [/mm] 0

offensichtlich ist f(x) z.B. im Punkt x=2 stetig, aber nicht im Punkt x =0.


Schreiten wir nun zur Tat:

Du liegst ganz richtig damit, dass jedes Polynom überall stetig ist (denn jedes Polynom lässt sich aus der Identität f(x) = [mm] id_{x} [/mm] und der konstanten Funktion g(x) = 1 durch hintereinanderführen von Operatoren (f*g, [mm] \lambda [/mm] * f bzw. [mm] \lambda [/mm] * g mit [mm] \lambda \in \IR, [/mm] f+g) erzeugen.
Da f und g überall stetig sind, ist auch jedes Polynom überall stetig, da durch die Operatoren die Stetigkeit in jedem Punkt beibehalten wird).

Nun musst du zeigen, wo die 3-te Wurzel überall stetig ist.

Daraus kannst du dann mithilfe des Verkettungssatzes schließen, wo die gegebene Funktion stetig ist!


VG X3nion

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Stetigkeit nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Di 13.12.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,

danke für die aufschlussreichen Antworten.

Ich sollte dann wohl das Epsilon Delta Kriterium anwenden, um zu zeigen, dass [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] stetig ist.

Muss ich dann bei dem Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] nehmen oder [mm] (-\infty, [/mm] 2]  ? Ersteres oder, wenn ich es für [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] beweise, gilt der Beweis ja auch für [mm] (-\infty, [/mm] 2].

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Bezug
Stetigkeit nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Di 13.12.2016
Autor: sinnlos123

Der Definitionsbereich ist per Definition einer Funktion, die Menge $M$, in der jedes Element [mm] $m\in [/mm] M$ genau ein Bild besitzt, namentlich $f(m)$ in diesem Fall. (wichtig, $f(m)$ ist eindeutig)

Das heißt insbesondere, das wenn z.B. [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] auftaucht, 0 nicht zum Definitionsbereich gehört.

Überlege nun, wann die Funktion kein eindeutiges Bild hat, oder sowas wie [mm] $\frac{1}{0}$. [/mm]

Hattest du schon komplexe Zahlen?

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Stetigkeit nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Mi 14.12.2016
Autor: fred97

Machen wirs mit Folgen: sei [mm] x_0 \le [/mm] 2 und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in $( - [mm] \infty,2]$ [/mm] mit [mm] x_n \to x_0. [/mm]

Wir setzen [mm] y_n:=2x_n^2-x_n^3. [/mm] Dann haben wir: [mm] y_n \to y_0:=2x_0^2-x_0^3. [/mm]

Es folgt: [mm] f(x_n)=\wurzel[3]{y_n} \to \wurzel[3]{y_0}=f(x_0). [/mm]

Damit ist f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig. Da [mm] x_0 [/mm] beliebig war in  $( - [mm] \infty,2]$ [/mm] , ist f auf  $( - [mm] \infty,2]$ [/mm] stetig.

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Stetigkeit nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Mi 14.12.2016
Autor: Chris84


> Machen wirs mit Folgen: sei [mm]x_0 \le[/mm] 2 und [mm](x_n)[/mm] eine Folge
> in [mm]( - \infty,2][/mm] mit [mm]x_n \to x_0.[/mm]
>  
> Wir setzen [mm]y_n:=2x_n^2-x_n^3.[/mm] Dann haben wir: [mm]y_n \to y_0:=2x_0^2-x_0^3.[/mm]
>  
> Es folgt: [mm]f(x_n)=\wurzel[3]{y_n} \to \wurzel[3]{y_0}=f(x_0).[/mm]
>  
> Damit ist f an der Stelle [mm]x_0[/mm] stetig. Da [mm]x_0[/mm] beliebig war
> in  [mm]( - \infty,2][/mm] , ist f auf  [mm]( - \infty,2][/mm] stetig.

Huhu FRED,
dazu habe ich eine Frage. Ich bin da nicht so ganz firm.

Warum darf man den Grenzwert in die Wurzel reinziehen? Ist das nicht gerade eine Folgerung aus der Stetigkeit (die wir ja beweisen wollen)???

Oder habe ich da irgendeinen Grenzwertsatz uebersehen? :)

Gruss,
Chris

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Stetigkeit nachweisen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:31 Mi 14.12.2016
Autor: pc_doctor

Hallo, ich habe ebenfalls noch eine Frage:

Normalerweose benutzt man das Folgenkriterium, um zu beweisen, dass eine Funktion nicht stetig ist. Denn die Stetigkeit einer Funktion muss ja für ALLE Folgen gelten. Also eine Funkion ist stetig, wenn für jede erdenkliche Folge an x-Werten, die sich [mm] x_0 [/mm] nähert, auch deren Funktionswerte gegen den Funktionswert von [mm] f(x_0) [/mm] streben.

der Trick: Es muss für jede Folge gelten. Es reicht für den Beweis der Stetigkeeit also nicht, nur eine Folge zu nehmen.

Ich habe noch nicht verstanden, warum die Funktion jetzt anhand des Folgenkriteriums stetig sein soll. Irgendwie funktioniert das doch immer, oder? Auch wenn die Funktion gar nicht stetig ist. Ich habe das leider noch nicht verstanden.

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Stetigkeit nachweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Mi 14.12.2016
Autor: X3nion


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Stetigkeit nachweisen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Fr 16.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Bezug
Stetigkeit nachweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Mi 14.12.2016
Autor: pc_doctor

Hey Chris,

das habe ich mich auch gefragt und das hier gefunden:


[]Klick mich

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Stetigkeit nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mi 14.12.2016
Autor: schachuzipus

Hallo Chris,

> > Machen wirs mit Folgen: sei [mm]x_0 \le[/mm] 2 und [mm](x_n)[/mm] eine Folge
> > in [mm]( - \infty,2][/mm] mit [mm]x_n \to x_0.[/mm]
> >
> > Wir setzen [mm]y_n:=2x_n^2-x_n^3.[/mm] Dann haben wir: [mm]y_n \to y_0:=2x_0^2-x_0^3.[/mm]

>

> >
> > Es folgt: [mm]f(x_n)=\wurzel[3]{y_n} \to \wurzel[3]{y_0}=f(x_0).[/mm]

>

> >
> > Damit ist f an der Stelle [mm]x_0[/mm] stetig. Da [mm]x_0[/mm] beliebig war
> > in [mm]( - \infty,2][/mm] , ist f auf [mm]( - \infty,2][/mm] stetig.

>

> Huhu FRED,
> dazu habe ich eine Frage. Ich bin da nicht so ganz firm.

>

> Warum darf man den Grenzwert in die Wurzel reinziehen? Ist
> das nicht gerade eine Folgerung aus der Stetigkeit (die wir
> ja beweisen wollen)???

>

> Oder habe ich da irgendeinen Grenzwertsatz uebersehen?

Nein, hast du nicht; Fred hat die Stetigkeit der Funktion [mm]g(x)=\sqrt[3]{x}[/mm] benutzt (und die der ganzrationalen Funktionen). Das kann man hier sicher machen.

Falls nicht, kannst du dir schnell überlegen, dass [mm]g[/mm] stetig ist.

Gib dir [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vor und konstruiere dir dein [mm]\delta[/mm]

Schätze dazu [mm]|g(x)-g(x_0)|[/mm] geschickt ab; es soll letztlich kleiner sein als dein vorgelegtes [mm]\varepsilon[/mm]

Das kriegst du hin ...

>

> Gruss,
> Chris

LG

schachuzipus

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Stetigkeit nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mi 14.12.2016
Autor: fred97

Hallo Chris,

üblicherweise (?) macht man das in einem Analysis I - Kurs so:

1. bevor man überhaupt von Stetigkeit, etc .... redet zeigt man (zu Fuß !) im Kapitel über konvergente Folgen das:

Ist [mm] (x_n) [/mm] eine Folge  in [0, [mm] \infty) [/mm] mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] und ist p [mm] \in \IN, [/mm] so gilt

  [mm] $\wurzel[p]{x_n} \to \wurzel[p]{x_0}$. [/mm]

2. Mit 1. ausgestattet hat man dann im Kapitel über Stetigkeit ratzfatz das:

  die Funktion [mm] $f(x)=\wurzel[p]{x}$ [/mm] ist auf  [0, [mm] \infty) [/mm] stetig.

Ich mache das in meinen Vorlesungen jedenfalls so. Andere machen das anders ....

Bezug
                                
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Stetigkeit nachweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Mi 14.12.2016
Autor: Chris84


> Hallo Chris,
>  
> üblicherweise (?) macht man das in einem Analysis I - Kurs
> so:
>  
> 1. bevor man überhaupt von Stetigkeit, etc .... redet
> zeigt man (zu Fuß !) im Kapitel über konvergente Folgen
> das:
>  
> Ist [mm](x_n)[/mm] eine Folge  in [0, [mm]\infty)[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm] und
> ist p [mm]\in \IN,[/mm] so gilt
>  
> [mm]\wurzel[p]{x_n} \to \wurzel[p]{x_0}[/mm].
>  
> 2. Mit 1. ausgestattet hat man dann im Kapitel über
> Stetigkeit ratzfatz das:
>  
> die Funktion [mm]f(x)=\wurzel[p]{x}[/mm] ist auf  [0, [mm]\infty)[/mm]
> stetig.
>  
> Ich mache das in meinen Vorlesungen jedenfalls so. Andere
> machen das anders ....

Hallo FRED, hallo Schachuzipus,
danke fuer die Erlaeuterungen :)

Gruss,
Chris

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Stetigkeit nachweisen: Tipp zu 3-te Wurzel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mi 14.12.2016
Autor: X3nion

Hallo!

Den Satz über die Stetigkeit und strenger Monotonie der Umkehrfunktion einer stetigen und streng monotonen Funktion sollte bekannt ein.

Er lautet wie folgt (im Forster): Sei D [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall und
bezeichne f: D [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine stetige, streng monoton wachsende oder fallende Funktion. Dann bildet f das Intervall D bijektiv auf das Intervall D' := f(D) ab, und die Umkehrfunktion

[mm] f^{-1}: [/mm] D' [mm] \rightarrow \IR [/mm] ist ebenfalls stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend).


Nun denn: betrachten wir die Funktion

f: [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^{k} [/mm] für ungerade k.

Dann ist f streng monoton und bijektiv, und insbesondere stetig auf ganz [mm] \IR. [/mm] (da [mm] x^{k} [/mm] ein Polynom ist) Folglich kann die k-te Wurzel

[mm] f^{-1} \IR \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel[k]{x} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert werden und ist auch überall stetig.

Insbesondere ist dann auch die Funktion f: [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel[3]{x} [/mm] überall stetig.


Viele Grüße,
X3nion

P.S. Möge man mich bitte korrigieren, wenn ich falsch liege :-)


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Stetigkeit nachweisen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:39 Mi 14.12.2016
Autor: sinnlos123

warum ist hier die Konvention, nur die reelle Wurzel zu betrachten?

Was passiert wenn wir als Zielmenge [mm] \mathbb{C} [/mm] nehmen?

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Stetigkeit nachweisen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Fr 16.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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