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Hallo,
ich habe grundlegende Probleme bei der Anwendung der Epsilon-Delta Definition (Stetigkeit). Als konkretes Beispiel dient folgende Aufgabe:
Es sei f(x) = [mm] \frac{x^2-1}{x^2+1}. [/mm] Für x [mm] \to [/mm] 2 gilt: f(x) [mm] \to \frac{3}{5}. [/mm] Wie groß muss [mm] \delta [/mm] sein, damit aus |x-2| < [mm] \delta [/mm] folgt: [mm] |f(x)-\frac{3}{5}| [/mm] < 0.1 = [mm] \varepsilon
[/mm]
Zunächst: Möchte ich wissen, ob eine Funktion f in einem bestimmten Punkt [mm] x_0 [/mm] stetig ist, kann ich ja dieses ganz "abstrakte" Epsilon-Delta Kalkül benutzen.
Ich muss also zeigen, dass es ein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0 gibt, sodass aus [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] folgt, dass [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0)
Dieses [mm] \delta [/mm] (welches von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen darf) kann ich ja relativ "frei" wählen, da ich ja nur dessen Existenz nachweisen muss. Nun zu der Aufgabe:
Ich setze in: [mm] |f(x)-\frac{3}{5}| [/mm] < 0.1 = [mm] \varepsilon [/mm] erstmal die Abbildungsvorschrift von f ein:
[mm] |\frac{x^2-1}{x^2+1}-\frac{3}{5}| [/mm] < 0.1 = [mm] \varepsilon
[/mm]
Nun müsste ich das ja nach x auflösen und das Ergebnis in |x-2| < [mm] \delta [/mm] einsetzen und das dann nach [mm] \delta [/mm] auflösen und fertig wäre ich. Oder?
1. Ist das richtig?
2. Ich habe Probleme [mm] |\frac{x^2-1}{x^2+1}-\frac{3}{5}| [/mm] < 0.1 = [mm] \varepsilon [/mm] nach x aufzulösen. Ich stehe total auf dem Schlauch :(
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Hallo abi2007LK,
das ist ne elende Frickelei 
Genau für solche Fälle gibt's ja die Sätze, wann verkettete Funktonen stetig sind...
Aber gut, ich hab's mal so versucht - aber ohne Gewähr
Was du schreibst, ist alles sehr vernünftig, das Problem ist halt die Abschätzung des Betrages $|f(x)-f(2)|$
Da musst du irgendwie $|x-2|$ reinbringen.
Vllt. klappt das so:
[mm] $|f(x)-f(2)|=\left|\frac{x^2-1}{x^2+1}-\frac{3}{5}\right|=\left|\frac{5(x^2-1)-3(x^2+1)}{5(x^2+1)}\right|=\left|\frac{2x^2-8}{5(x^2+1)}\right|=\frac{2}{5}\left|\frac{x^2-4}{x^2+1}\right|=\frac{2}{5}\cdot{}|x-2|\cdot{}|x+2|\cdot{}\frac{1}{x^2+1}$
[/mm]
Es ist ja [mm] $x^2+1$ [/mm] stets [mm] $\ge [/mm] 1$, also kann man den Betrag weglassen.
Außerdem ist dann [mm] $\frac{1}{x^2+1}\le [/mm] 1$, das kann man also durch 1 nach oben abschätzen, dh.
[mm] $\frac{2}{5}\cdot{}|x-2|\cdot{}|x+2|\cdot{}\frac{1}{x^2+1}\le\frac{2}{5}\cdot{}|x-2|\cdot{}|x+2|\cdot{}1=\frac{2}{5}\cdot{}|x-2|\cdot{}|x+2|=\frac{2}{5}\cdot{}|x-2|\cdot{}|x\red{-2+2}+2|=\frac{2}{5}\cdot{}|x-2|\cdot{}|x-2+4|$
[/mm]
[mm] $\le\frac{2}{5}\cdot{}|x-2|\cdot{}\left(|x-2|+4\right)$ [/mm] nach der Dreiecksungleichung
Machen wir das nun direkt allgemein: das soll kleiner sein als [mm] $\varepsilon$ [/mm] für [mm] $|x-2|<\delta$
[/mm]
also [mm] $|x-2|\cdot{}\left(|x-2|+4\right)<\frac{5}{2}\varepsilon$
[/mm]
Wie kannst du nun ein [mm] $\delta$ [/mm] basteln, so dass diese Ungleichung für [mm] $|x-2|<\delta$ [/mm] gilt?
Tipp [mm] $\delta:=min\{1,???\}$
[/mm]
LG
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
danke erstmal für deine Mühe.
Ich hätte vielleicht noch erwähnen solle, dass mir die Lösung vorliegt. Laut Lösung ist [mm] \delta [/mm] < [mm] 2-\wurzel{3}
[/mm]
Auf dieses Ergebnis führt mich dein Ansatz ja leider nicht, obwohl es sehr logisch aussieht. Du hast einfach konsequent eingesetzt und umgeformt, was geht...
Mir ist schon klar, dass es Sätze zur Stetigkeit gibt. :) Ich wollte aber einfach mal wissen, wie die auf diese Lösung kommen... ich dem Buch sind noch mehr Aufgaben dieser Art, die ich größtenteils nicht lösen kann. Dies ist eine davon. Da muss es irgend einen Trick geben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Fehler ist, dass du das allgemein für x hinschreibst, es aber an der Stelle 2 machen willst.
setz also in deiner Gleichung statt x einfach [mm] 2+\delta [/mm] bzw [mm] 2-\delta [/mm] ein.
dann zieh die entstehenden Brüche (Hauptnenner) voneinander ab.
Übrig bleibt ein relativ einfacher Bruch mit [mm] \delta [/mm] und [mm] \delta^2
[/mm]
das kannst du lösen.
Aber man muss ja nicht das größte grade noch mögliche [mm] \delta [/mm] finden! das darf ruhig viel kleiner als nötig sien.
Wenn du also den besagten Bruch hast und er etwa für [mm] \delta=0,1 [/mm] oder [mm] \delta=0,01 [/mm] garantiert <0,1 ist musst du nicht weiter rechnen.
es ist eine verbreitete Ansicht (anscheinend auch in dem Buch das du verwendest) dass man ein möglichst großes [mm] \delta [/mm] wählen sollte. ist aber nicht so.
Wenn dein Buch [mm] \delta=1-\wurzel{3} [/mm] gefunden hat, und du nen Beweis mit [mm] \delta =10^{-5} [/mm] hättest wär der genausoviel wert.
Gruss leduart
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