Stetigkeit normierter Vektorra < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mi 27.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f:X\rightarrow [/mm] V$ eine stetige Abbildung von einem metrischen Raum $X$ in einen normierten Vektorraum V. Man zeige, dass dann auch [mm] $||f||:X\rightarrow \IR$ [/mm] stetig ist. |
Hallo,
Es ist zu zeigen dass die Abbildung [mm] $||.||:V\rightarrow \IR$ [/mm] stetig ist, weil die Komposition von stetigen Abbildungen (X mit $||f||$ auf [mm] $\IR$ [/mm] = X mit $f$ auf $V$= V mit $||.||$ auf [mm] $\IR$) [/mm] selber wieder stetig ist.
Stetigkeitsnachweis: Es ist ein Punkt $p [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\epsilon \in \IR_{>0}$ [/mm] beliebig. Mit [mm] $\delta [/mm] := [mm] \epsilon$ [/mm] muss für $v [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $||p-v||<\delta$ [/mm] gelten, dass:
$| ||p||- ||v|| | [mm] \le [/mm] ||p-v|| < [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon$
[/mm]
Nun eine Fallunterscheidung:
(1): $||p||-||v|| [mm] \ge [/mm] 0$: dann ist es OK.
(2): $||p||-||v||<0 : | ||p||-||v|| = ||v|| - ||p|| [mm] \le [/mm] ||v-p|| = ||p-v||$
Reicht das? Was kann man besser macheN?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Do 28.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:X\rightarrow V[/mm] eine stetige Abbildung von einem
> metrischen Raum [mm]X[/mm] in einen normierten Vektorraum V. Man
> zeige, dass dann auch [mm]||f||:X\rightarrow \IR[/mm] stetig ist.
> Hallo,
>
> Es ist zu zeigen dass die Abbildung [mm]||.||:V\rightarrow \IR[/mm]
> stetig ist, weil die Komposition von stetigen Abbildungen
> (X mit [mm]||f||[/mm] auf [mm]\IR[/mm] = X mit [mm]f[/mm] auf [mm]V[/mm]= V mit [mm]||.||[/mm] auf [mm]\IR[/mm])
> selber wieder stetig ist.
>
> Stetigkeitsnachweis: Es ist ein Punkt [mm]p \in V[/mm] und [mm]\epsilon \in \IR_{>0}[/mm]
> beliebig. Mit [mm]\delta := \epsilon[/mm] muss für [mm]v \in V[/mm] mit
> [mm]||p-v||<\delta[/mm] gelten, dass:
>
> [mm]| ||p||- ||v|| | \le ||p-v|| < \delta = \epsilon[/mm]
>
> Nun eine Fallunterscheidung:
>
> (1): [mm]||p||-||v|| \ge 0[/mm]: dann ist es OK.
>
> (2): [mm]||p||-||v||<0 : | ||p||-||v|| = ||v|| - ||p|| \le ||v-p|| = ||p-v||[/mm]
>
>
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> Reicht das?
Nein, nie und nimmer ! In Deinen obigen Betrachtungen kommt nirgendwo die Abbildung f vor. Gibt Dir das nicht zu denken ??
> Was kann man besser macheN?
Alles.
Wir setzen zunächst $g:=||f||$. Und nehmen uns x, [mm] x_0 \in [/mm] X her:
(*) [mm] $|g(x)-g(x_0)| [/mm] = | ~||f(x)||- [mm] ||f(x_0)|| [/mm] ~| [mm] \le ||f(x)-f(x_0)||$
[/mm]
(das [mm] "\le" [/mm] kommt von der umgekehrten Dreiecksungleichung)
So, nun zeige mal mit (*), dass g in [mm] x_0 [/mm] stetig ist.
FRED
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> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 28.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> zeige Stetigkeit!
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0, [mm] \delta [/mm] := [mm] \epsilon [/mm] , [mm] ||f(x)-f(x_{0})||<\delta \forall \delta$: [/mm]
[mm] $|g(x)-g(x_{0})\le ||f(x)-f(x_{0})<\delta [/mm] = [mm] \epsilon$
[/mm]
Richtig?
> FRED
Danke!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Fr 29.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> > zeige Stetigkeit!
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> [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0, \delta := \epsilon , ||f(x)-f(x_{0})||<\delta \forall \delta[/mm]:
>
> [mm]|g(x)-g(x_{0})\le ||f(x)-f(x_{0})<\delta = \epsilon[/mm]
>
>
> Richtig?
Nein. Zunächst: ich hab schon viele Fragen von Dir gesehen (und viele davon beantwortet) und typische kushkush- Lösungsversuche, so dass ich sagen muß:
Du bist schlampig und keinen Millimeter lernfähig !!
So bringst Du es in der Mathematik nicht weit, auch nicht auf den Weihnachtsinseln.
Zum letzten mal zeige ich Dir, wie man eine Lösung sauber und korrekt formuliert:
Sei [mm] x_0 \in [/mm] V und [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Weil f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit:
[mm] $||f(x)-f(x_0)|| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] V mit [mm] $|x-x_0|< \delta$.
[/mm]
Mit obiger Ungl. (*) folgt dann:
[mm] $|g(x)-g(x_0)|< \varepsilon$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] V mit [mm] $|x-x_0|< \delta$.
[/mm]
Damit ist g in [mm] x_0 [/mm] stetig.
FRED
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> > FRED
> Danke!!
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> Gruss
> kushkush
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