Stetigkeit per Epsilon Delta < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Mi 08.04.2009 | | Autor: | rammy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also ich möchte hier die stetigkeit zeigen, per epsilon delta kriteriums:
also die def. lautet ja:
für alle epsilon > 0 existiert ein delta > 0 mit: |x-x0|< delta und
|f(x)-f(x0)|< epsilon.
ich komme hier nun so weit, da ich in den vorlesungen noch nie ein bsp. in so einer art gelöst zu gesicht bekommen habe,
hoffe es kann mir weiterhelfen.
danke im voraus. rammy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f(x) = 1/x
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> also ich möchte hier die stetigkeit zeigen, per epsilon
> delta kriteriums:
>
> also die def. lautet ja:
> für alle epsilon > 0 existiert ein delta > 0 mit: |x-x0|<
> delta und
> |f(x)-f(x0)|< epsilon.
wobei [mm] $x_0$ [/mm] beliebig, aber fest sei!
> ich komme hier nun so weit, da ich in den vorlesungen noch
> nie ein bsp. in so einer art gelöst zu gesicht bekommen
> habe,
> hoffe es kann mir weiterhelfen.
Sei [mm] $x_0 \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] beliebig, aber fest und sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gegeben.
(zu zeigen ist: Dann existiert ein [mm] $\delta=\delta(\epsilon,\,x_0) [/mm] > 0$ [mm] ($\leftarrow$ das $\delta$ darf sowohl von $\epsilon$ als auch $x_0$ abhängen!), so dass für alle $x \in \IR \setminus \{0\}$ mit $|x-x_0| < \delta$ auch $|f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ gilt.)
Wir lassen $\delta > 0$ zunächst noch undefiniert. Für $x \in \IR \setminus \{0\}$ mit $|x-x_0| < \delta$ gilt
$$(\star)\;\;\;|f(x)-f(x_0)|=\Big|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\Big|=\Big|\frac{x_0-x}{x*x_0}\Big| < \frac{\delta}{|x*x_0|}=\frac{\delta}{|x|*|x_0|}\,.$$
Jetzt geb' ich Dir mal einen Tipp:
Du kannst nun o.E. $\delta \le \frac{|x_0|}{2}$ annehmen. Dann gilt mit der Dreiecksungleichung
$$|x_0|-|x| \le |x_0-x|=|x-x_0| < \delta \le \frac{|x_0|}{2}\,,$$
also
$$|x| > \frac{|x_0|}{2}\;\;\text{ für alle }x \in \IR \setminus \{0\}\text{ mit }|x-x_0| < \delta \le \frac{|x_0|}{2}\,.$$
Z.B. diese Überlegungen stellt man zunächst an, und jetzt überlege Dir mal, wie man damit $(\star)$ nochmal weiter nach oben abschätzen kann. Dann bekommst Du eine Idee, wie Du, wenn Du $\delta:=\min \{|x_0|/2,\;?\}$
(wobei Du '$\;?\;$' noch genauer anzugeben hast; es darf sowohl von $x_0$ als auch $\epsilon$ abhängen, aber es ist zudem beachten, dass $\min \{|x_0|/2,\;?\} > 0$ gelten muss)
so definieren kannst, dass dieses so definierte $\delta > 0$ dann $|f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ für alle $x \in \IR \setminus \{0\}$ mit $|x-x_0| < \delta$ liefert.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 Do 09.04.2009 | | Autor: | rammy |
hm hm! das verstehe ich alles leider nicht! vielleicht habe ich das beispiel auch gleich mal blöd gewählt.
ich habe versucht ein anderes zu bearbeiten
Sei f(x)=ax+b mit a aus [mm] |R\{0} [/mm] u. b aus |R und sei Epsilon > 0.
Dann gilt:
|x-x0|<Delta => |f(x)-f(x0)|<Epsilon
|f(x)-f(x0)|=|ax+b-ax0-b|=a |x-x0|. Sei Delta = 1/|a| Epsilon
==> a|x-x0|<a Delta = Epsilon
stimmt das bzw. mach ich den totalen blödsinn da?
und ich versuch gleich das mit f(x)=1/x
also:
Sei Epsilon >0. Dann gilt |x-x0|<Delta, dann |1/x-1/x0|<Epsilon
|1/x-1/x0|=|x0-x/x*x0|....
und weiter weiß ich nicht, was ich noch da machen muss.
ich bin schon am verzweifeln!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Do 09.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit ax+b ist richtig, ausser dass du |a| rausziehen musst, nicht a.
jetzt geh nochmal langsam marcels post durch, und versuch zu sagen, wo du nicht weiter kommst.
Die Stetigkeit ist fuer 1/x schwerere zu zeigen als fuer dein einfaches Beispiel. man muss bei 1/x das [mm] \delta [/mm] abhaengig von der Stelle waehlen, an der man die Stetigkeit beweisen will.
Dann kann man auch fuer [mm] \delta [/mm] 2 Bedingungen haben. man sagt 1. es soll kleiner als [mm] x_0/2 [/mm] sein, dann noch zusaetzlich abhaengig von [mm] \epsilon.
[/mm]
(wegen 1. ist ja auch 1/x bei x=0 nicht stetig.)
Versuchs noch mal. Fast allen fallen Stetigkeitsbeweise anfangs sehr schwer. fast jeder neue verlangt ein bissel anderes rangehen, aber es uebt sich und nach den ersten 100  ist der Rest dann kinderleicht
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Do 09.04.2009 | | Autor: | rammy |
zunächst einmal danke für die aufbauenden worte :)
also mein problem ist ein verständnis problem ganz am anfang und zwar:
und zwar verstehe ich den post ab dem folgenden teil nicht mehr:
marcel schreibt:
|x0-x / x*x0| < Delta / |x*x0|= .... (diese umformung ist mir klar), doch wie er zu dem delta kommt und wieso er das delta kleinergleich |x0|/2 wählt ist mir auch nicht klar.
hoffe auch eure unterstützung :)
lg rammy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 09.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest ja verstanden, dass mit
[mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt [mm] |1/x-1/x_0|<\delta/(|x|*|x_0|)
[/mm]
jetzt willst du ja erreichen [mm] \delta/(|x|*|x_0|)<\epsilon.
[/mm]
Falls du jetzt etwa nur den Bereich [mm] x,x_0>1 [/mm] untersuchst waere das ganz einfach: dann koenntest du schreiben [mm] (|x|*|x_0|)>1
[/mm]
deshalb [mm] 1/(|x|*|x_0|)<1 [/mm] und mit [mm] \delta=\epsilon [/mm] haettest du
[mm] |1/x-1/x_0|<\delta/(|x|*|x_0|)<\epsilon/(|x|*|x_0|)<\epsilon.
[/mm]
Aber so ist es leider nicht. fuer x in der Naehe von Null wird [mm] 1/(|x|*|x_0|) [/mm] immer groesser.
also musst du [mm] \delta [/mm] schon von [mm] x_0 [/mm] abhaengig waehlen.
Wenn du dir den Graph von 1/x ansiehst, sollte dir klar sein, dass wenn [mm] \delta [/mm] = oder > [mm] x_0 [/mm] ist die Funktionsdifferenz unendlich werden kann.
Also muss [mm] \delta [/mm] sicher kleiner [mm] x_0 [/mm] sein, egal wie klein [mm] x_0 [/mm] ist.
dass man jetzt [mm] |x_0|/2 [/mm] waehlt ist nur einfach . du koenntest auch sagen waehle [mm] \delta<2/3*|x_0| [/mm] oder [mm] \delta<|x_0|/10
[/mm]
Du musst dich nur auf was festlegen.
Damit hast du aber erst nen Anfang, jetzt muss [mm] \delta [/mm] noch abhaengig von [mm] \epsilon [/mm] gewaehlt werden.
du willst ja [mm] \delta/(|x|*|x_0|)<\epsilon.
[/mm]
weil jetzt schon festliegt, dass [mm] |x|>|x_0|/2 [/mm] ist kannst du schreiben [mm] |x|*|x_0|>|x_0|^2/2
[/mm]
also hast du jetzt -wenn [mm] \delta<|x_0|/2 [/mm]
[mm] \delta/(|x|*|x_0|)<\delta/(|x|*|x_0|) [/mm] du willst, dass [mm] 2*\delta/(|x|*|x_0|)<\epsilon, [/mm] deshalb jetzt [mm] \delta<\epsilon*|x_0|^2/2
[/mm]
Dann bist du fertig.
Da wir jetzt 2 bedingungen fuer [mm] \delta [/mm] haben, muessen wir das kleinere von beiden nehmen, also ist [mm] \delta [/mm] festgelegt durch [mm] \delta=min(|x_0|/2, \epsilon*|x_0|^2/2)
[/mm]
Geh das langsam durch und mach dir die einzelnen Schritte klar.
Dann versuch die Stet. von [mm] x^2 [/mm] zu zeigen. oder die von [mm] 1/x^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 09.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo rammy,
> marcel schreibt:
>
> |x0-x / x*x0| < Delta / |x*x0|= .... (diese umformung ist
> mir klar), doch wie er zu dem delta kommt und wieso er das
> delta kleinergleich |x0|/2 wählt ist mir auch nicht klar.
wir wollen [mm] $\delta/|x*x_0| \le \epsilon$ [/mm] am Ende raushaben. Die Idee ist es, dann [mm] $|x*x_0| [/mm] > [mm] const=const(x_0)$ [/mm] (d.h. die Konstante [mm] $const\,$ [/mm] darf von [mm] $x_0$ [/mm] abhängen) abzuschätzen. Dabei soll [mm] $const=const(x_0) [/mm] > 0$ gelten. Für alle [mm] $x\not=0$, [/mm] die [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] |x_0|/2$ [/mm] erfüllen, gilt aber schon $|x| > [mm] |x_0|/2\,.$ [/mm] (Ich hatte erklärt, warum das gilt!)
(Du hättest auch [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] |x_0|/3$ [/mm] wählen können, dann hättest Du $|x| > [mm] \frac{2}{3}|x_0|$ [/mm] und am Ende [mm] $\delta:=\min\{|x_0|/3,\;?_1\}$ [/mm] mit einem noch zu bestimmenden $?_1$ anzugeben.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Do 09.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Dann kann man auch fuer [mm]\delta[/mm] 2 Bedingungen haben. man
> sagt 1. es soll kleiner als [mm]x_0/2[/mm] sein, dann noch
> zusaetzlich abhaengig von [mm]\epsilon.[/mm]
> (wegen 1. ist ja auch 1/x bei x=0 nicht stetig.)
mit dieser Aussage bin ich nicht ganz einverstanden. Üblich ist es, wenn man einfach nur von der Funktion [mm] $\frac{1}{x}$, [/mm] bzw. besser der Funktionsvorschrift $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] spricht, dann damit 'automatisch' davon auszugehen, dass diese Funktion auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] (oder [mm] $\IC \setminus \{0\}$) [/mm] definiert sei. Wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht enthält, macht es keinen Sinn, dann von der Stetigkeit der Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] zu sprechen. Wenn man von der 'Stetigkeit einer Funktion [mm] $f\,$' [/mm] spricht, so bezieht sich diese Aussage auf 'alle Stellen des Definitionsbereichs von [mm] $f\,$'. [/mm]
Leider taucht dieser Fehler auch in der Schule viel zu oft auf. Es ist nämlich z.B. falsch, zu sagen, dass die Funktion $f: [mm] \IR \setminus \{0\},\;x \mapsto f(x):=\frac{1}{x}$ [/mm] unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] sei. Es ist nämlich [mm] $x_0 \notin D_f=\IR \setminus \{0\}\,,$ [/mm] die Aussage, dass [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] sei, macht folglich keinen Sinn!
In Wahrheit ist $f: [mm] \IR \setminus \{0\},\;x \mapsto f(x):=\frac{1}{x}$ [/mm] eine stetige Funktion!
Anders ist allerdings die Frage zu beantworten, ob [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig ergänzbar sei. Das ist nicht der Fall. Aber die Fragestellung ist hier dann auch eine ganz andere.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu diesem Thema hatten wir im letzten Sommer diese
Diskussion
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Do 09.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Zu diesem Thema hatten wir im letzten Sommer diese
> Diskussion
okay, ich habe festgestellt, dass es sicherlich 'Schuldefinitionen' gibt, wo man für eine gegebene Funktion [mm] $f\,$ [/mm] Stellen [mm] $x_0 \notin D_f$ [/mm] automatisch als Unstetigkeitsstellen bezeichnet.
Ich frage mich zwar nach dem Sinn dieser Definition, aber nun gut. Ich selbst bleibe halt bei dem an der Uni gelernten:
Eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] stetig oder unstetig an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] zu nennen macht per Definitionem nur dann Sinn, wenn [mm] $x_0 \in D_f$ [/mm] gilt. Mit der 'Schuldefinition' kann ich mich nicht ganz anfreunden, es gibt sicher auch in der Analysis Aussagen, wo diese ungünstig ist. Z.B. könnte irgendwo stehen:
"Seien [mm] $(X,d)\,$ [/mm] und [mm] $(Y,e)\,$ [/mm] metrische Räume und sei $f: X [mm] \to [/mm] Y$ nur unstetig in [mm] $x_0$. [/mm] Zeigen Sie, dass dann..."
Bei der 'Schuldefinition' müßte man dann Fallunterscheidungen treffen, ob [mm] $x_0 \in [/mm] X$ oder [mm] $x_0 \notin [/mm] X$ (in welcher Obermenge von [mm] $X\,$ [/mm] sollte dann [mm] $x_0$ [/mm] liegen?); ich sehe da insgesamt keine Arbeitsersparnis, sondern sehe es insgesamt so, dass man da eher Gefahr laufen kann, den Überblick zu verlieren.
Aber selbst, wenn Leduart nach der 'Schuldefinition' auch von Unstetigkeit 'der Funktion' $x [mm] \mapsto [/mm] 1/x$ (eigentlich ist es ja hier falsch, von 'der' Funktion zu sprechen; es gibt viele Funktionen mit dieser Abbildungsvorschrift) an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] sprechen kann, so ist seine Begründung dann doch nicht das Wahre:
Warum sollte ich mir Mühe machen, zur [mm] $\epsilon-\delta$-Rechnerei [/mm] zu greifen, wenn doch eh $0 [mm] \notin D_f$ [/mm] und man damit per 'Schuldefinition' dann [mm] $0\,$ [/mm] eh sofort als Unstetigkeitsstelle erkennt? Zumal macht die 'Kontrolle' der zweiten Bedingung (siehe die 'Schuldefinition' der anderen Diskussion), ob [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)=1/0$ [/mm] gilt, hier doch keinen Sinn, da man [mm] $1/0\,$ [/mm] als undefiniert anerkennt...
Also:
Demnach wäre $x [mm] \mapsto [/mm] 1/x$ unstetig an [mm] $x_0=0$, [/mm] weil man den Term $1/0$ als nicht definiert anerkennt (in der Maß- bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie ist das z.B. anders, dort wird [mm] $1/0:=\infty$ [/mm] mit [mm] $\infty \notin \IR$ [/mm] gesetzt; natürlich betrachtet man dann auch nicht mehr nur [mm] $\IR$, [/mm] sondern auch [mm] $\IR^{\star}:=\IR \cup \{\infty\}$; [/mm] oder [mm] $\IR^{\star_2}:=\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] mit [mm] $+\infty,-\infty \notin \IR$ [/mm] und weiteren Eigenschaften, die [mm] $+\infty$ [/mm] und [mm] $-\infty$ [/mm] auszeichnen!) und somit "automatisch" die [mm] $0\,$ [/mm] nicht zum Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] gehören sollte; was man einfach so hinnimmt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Do 09.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo marcel
Du hast voellig recht! Eigentlich wollte ich nur drauf raus, dass man [mm] \delta [/mm] bei Annaeherung an 0 immer kleiner waehlen muss. Aber die formulierung war sicher falsch und irrefuehrend.
Danke fuer die verbesserung.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:01 Fr 10.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Marcel,
bleib bei der Def. . die Du an der Uni gelernt hast
Die "Schuldef. " ist Quark.
FRED
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