Stetigkeit und Topologie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:10 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Anna6566 |
Hallo an alle,
mein Mathematikstudium liegt nun schon zwanzig Jahre zurück und ich wollte mich auf den neuesten Stand bringen. Ich stoße nun bei der Definition der Stetigkeit neben der mir geläufigen immer wieder auf eine Definition, aus dem Bereich der Topologie:
Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.
Damit werden scheinbar schon Erstsemesterstudenten konfrontiert.
Verbunden damit wird häufig der Begriff kompakt.
Nun meine Fragen:
Welche Vorteile bringt es von der epsilon-delta-Definition abzugehen und topologische Begriffe zu verwenden? (Vor allem im Erstsemester)
Welche Beweismethodiken werden verwendet? (So klassisch mit Delta/2 oder ähnlich geht ja wohl nicht?) Habe zum Beispiel gefunden: Die Cantormenge ist kompakt. oder f ist stetig und kompakt, dann ist die Bildmenge kompakt.
Ich würde mich wirklich über Antworten freuen, da ich nun wirklich niemanden mehr kenne, mit dem ich darüber philosophieren könnte.
Danke.
Anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Anna!
Im Allgemeinen ist es ja so, dass man auf die [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] nicht verzichtet, sondern einige im [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalente Charakterisierungen angibt und die Äquivalenzen auch beweist.
Bei vielen Beweisen im [mm] $\IR^n$ [/mm] (oder allgemeiner in metrischen Räumen) greift man dann wieder auf die [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] zurück, eben weil viele Aussagen in beliebigen topologischen Räumen auch gar nicht gelten.
Ich finde es aber auf jeden Fall gut bereits im ersten Semester die topologische Definition zu erwähnen, da man ja frühzeitig im Studium mit Funktionenräumen konfrontiert wird, die nicht metrisch sind (zum Beispiel lokalkonvexe Räume) und da sollte man sich frühzeitig daran gewöhnen, dass die anschauliche [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] eben nicht anwendbar ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Anna6566 |
Danke für die superschnelle Hilfe.
Ich fühle mich ausreichend motiviert mich mit topologischen Begriffen rumzuschlagen. Vielleicht kannst du mir noch einen Link für eine "anschauliche" Einführung für Hobbytäter geben. Mir fehlt vor allem der Begriff kompakt, der ja wohl eine entscheidende Bedeutung spielt.
Danke
Anna
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Hallo!
Einen kleinen Überblick erhält man bereits bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia. Außerdem ist für den Einstieg das Buch "Topologie" von Klaus Jänich recht empfehlenswert.
Zum Begriff kompakt: Eine Menge heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.
Dazu ein (relativ) einfaches Beispiel:
Betrachte die Menge [mm] $\IR$ [/mm] (versehen mit der Topologie, die durch die euklidische Norm gegeben ist). Dann ist [mm] $\{U_n:=(-n;n),\ n\in\IN\}$ [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $\IR$, [/mm] denn: $(-n;n)$ sind offene Mengen und für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] gibt es ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $x\in [/mm] (-n;n)$.
Aber: Es reichen nicht endlich viele [mm] $U_n$, [/mm] um [mm] $\IR$ [/mm] zu überdecken. Das liegt vor allem daran, dass [mm] $\IR$ [/mm] unbeschränkt ist. Also ist [mm] $\IR$ [/mm] nicht kompakt.
Kompakte Mengen sind zum Beispiel abgeschlossene Intervalle. In endlichen Vektorräumen ist der Begriff äquivalent dazu, dass eine Menge abgeschlossen und beschränkt ist.
Ich hoffe, dass ich dir ein bisschen weiterhelfen konnte...
Gruß, banachella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Fr 09.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> Welche Vorteile bringt es von der epsilon-delta-Definition
> abzugehen und topologische Begriffe zu verwenden? (Vor
> allem im Erstsemester)
Zum einen: Zu dieser Epsilon-Delta-Definition braucht man eine Metrik - die meisten schönen Objekte haben zwar eine Metrik, allerdings ist die nichtmehr so offensichtlich. Allerdings spielt was ganz anderes auch rein: Beweise über stetige Funktionen werden zu Einzeilern. Beispiele: Komposition stetiger Abbildugnen ist stetig, Bild kompakter Mengen ist kompakt unter stetigen Abbildungen, Bilder zusammenhängender Räume sind zusammenhängend unter stetigen Abbildungen.
> Welche Beweismethodiken werden verwendet? (So klassisch mit
> Delta/2 oder ähnlich geht ja wohl nicht?) Habe zum Beispiel
> gefunden: Die Cantormenge ist kompakt. oder f ist stetig
> und kompakt, dann ist die Bildmenge kompakt.
Oft greift man hier wider teilweise auf Epsilon-Delta und ähnliches zurück. Beliebt vor allem ist die Folgenstetigkeit.
SEcki
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