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| Aufgabe | A1.)
Zeigen Sie, dass $g: (0,1] [mm] \rightarrow \IR: [/mm] g(x)=1/x$ stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.
A2.)
Berechnen Sie für $z [mm] \in \IC, [/mm] |z| < 1$: a) [mm] $\sum\limits_{n=1}^\infty nz^n$
[/mm]
b) [mm] $\sum\limits_{n=1}^\infty n^2z^n$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bearbeite gerade obige Aufgaben und habe einige Fragen:
Bei A1.) arbeite ich zunächst mit der [mm] $\varepsilon [/mm] - [mm] \delta$-Definition [/mm] und erhalte folgende Abschätzung:
[mm] $|g(x)-g(x_0)|=|1/x [/mm] - [mm] 1/x_0| [/mm] = [mm] |\frac{x-x_0}{xx_0}| [/mm] = [mm] \frac{|x-x_0|}{|x||x_0|}$
[/mm]
Wobei ich hier jetzt nicht weiß, welche Abschätzung mir weiter helfen könnte.
Habe im Netz Abschätzungen gefunden bei denen meistens (für mich unverständlich) $|x| = [mm] \frac{|x_0|}{2}$ [/mm] gesetzt wurde und danach für [mm] $\delta [/mm] := [mm] min\{\frac{|x_0|}{2}, \frac{\varepsilon\cdot x_0^2}{2}\}$ [/mm] gewählt wurde.
Bei der gleichmäßigen Stetigkeit müsste ich ein Gegenbeispiel finden. Welche Strategie ist erfolgsversprechend?
A2.)
Hier muss ich gliedweise differenzieren, aber funktioniert die Aufgabe wirklich so einfach, dass man die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^\infty z^n \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^\infty nz^{n-1} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=1}^\infty nz^{n-1} \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty nz^n$, [/mm] wobei ich im letzten Schritt mit $z$ multipliziert habe.
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> A1.)
> Zeigen Sie, dass [mm]g: (0,1] \rightarrow \IR: g(x)=1/x[/mm]
> stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.
> Hallo zusammen,
>
> Bei A1.) arbeite ich zunächst mit der [mm]\varepsilon - \delta[/mm]-Definition
> und erhalte folgende Abschätzung:
>
> [mm]|g(x)-g(x_0)|=|1/x - 1/x_0| = |\frac{x-x_0}{xx_0}| = \frac{|x-x_0|}{|x||x_0|}[/mm]
>
> Wobei ich hier jetzt nicht weiß, welche Abschätzung mir
> weiter helfen könnte.
> Habe im Netz Abschätzungen gefunden bei denen meistens
> (für mich unverständlich) [mm]|x| = \frac{|x_0|}{2}[/mm] gesetzt
> wurde und danach für [mm]\delta := min\{\frac{|x_0|}{2}, \frac{\varepsilon\cdot x_0^2}{2}\}[/mm]
> gewählt wurde.
Wenn der Definitionsbereich der Funktion die Null nicht enthält,
dann wählt man oft o.B.d.A. [mm] \delta<|\frac{x_0}{2}|, [/mm] also es gilt:
[mm] \frac{x_0}{2}<|x|<\frac{3x_0}{2}
[/mm]
Man könnte auch andere Abschätzungen nehmen,
aber damit kann man gut rechnen 
>
> Bei der gleichmäßigen Stetigkeit müsste ich ein
> Gegenbeispiel finden. Welche Strategie ist
> erfolgsversprechend?
Widerspruchsbeweis. Nimm an, dass $f$ gleichmäßig stetig in $(0,1]$ ist. Wähle [mm] \epsilon=1...... [/mm]
> Grüße
> Joe
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 20.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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