Stetigkeit und part. Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 So 16.05.2010 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $(x,y)\mapsto\bruch{xy^2}{x^2+y^2}$ [/mm] für [mm] $(x,y)\not=(0,0)$ [/mm] und [mm] $(x,y)\mapsto [/mm] 0$ sonst.
(1) Ist $f$ stetig?
(2) Existieren alle partiellen Ableitungen von $f$? Sind diese stetig? |
Hallo,
zusätzlich zur Aufgabe muss ich sagen, dass mir Differentialrechnung mit 2 Variablen überhaupt nicht liegt. Und ich war auch noch total krank und habe das mit den partiellen Ableitungen nicht mitbekommen und beim Selber-lernen-Versuch nicht hinbekommen.
Kan mir jemand helfen und mir die Lösung erklären? Sowas kommt ja sicher in der Zwischenklausur dran.
Vielen Dank im Voraus! (Ich habe diese Aufgabe nirgendwo sonst gestellt.)
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Hallo!
> Gegeben ist die Abbildung [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit
> [mm](x,y)\mapsto\bruch{xy^2}{x^2+y^2}[/mm] für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] und
> [mm](x,y)\mapsto 0[/mm] sonst.
>
> (1) Ist [mm]f[/mm] stetig?
Zunächst gilt:
Da f aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist und der Nenner für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] nicht Null ist, ist f für alle [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] differenzierbar.
Was kann man nun über die Stetigkeit in (0,0) sagen?
mit [mm] x=rcos(\varphi) [/mm] und [mm] y=rsin(\varphi) [/mm] erhält man f zu
[mm] f(rcos(\varphi),rsin(\varphi))=rcos(\varphi)sin^{2}(\varphi) [/mm] (beachte: [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1)
[/mm]
Man erhält also
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}f(x,y)=\limes_{r\rightarrow\ 0}rcos(\varphi)sin^{2}(\varphi)=0=f(0,0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist also in (0,0) stetig.
> (2) Existieren alle partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm]? Sind
> diese stetig?
Magst du hier vielleicht nochmal alleine einen Ansatz versuchen?
> Hallo,
>
> zusätzlich zur Aufgabe muss ich sagen, dass mir
> Differentialrechnung mit 2 Variablen überhaupt nicht
> liegt. Und ich war auch noch total krank und habe das mit
> den partiellen Ableitungen nicht mitbekommen und beim
> Selber-lernen-Versuch nicht hinbekommen.
>
> Kan mir jemand helfen und mir die Lösung erklären? Sowas
> kommt ja sicher in der Zwischenklausur dran.
>
> Vielen Dank im Voraus! (Ich habe diese Aufgabe nirgendwo
> sonst gestellt.)
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 16.05.2010 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
danke für die schnelle (Teil-)Antwort.
Ich habe bei Frage (2) jetzt mal die Funktion einmal nach x und einmal nach y abgeleitet, das sind doch die partiellen Ableitungen oder?
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{y^2}{x^2+y^2}-\bruch{2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}=\bruch{2xy}{x^2+y^2}-\bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
Ich würde sagen, die Ableitungen sind jeweils 0, falls $(x,y)=(0,0)$.
Eine Frage war, ob die partiellen Ableitungen existieren. -> Ja, denn ich konnte sie ausrechnen?
Das mit der Stetigkeit könnte man dann wieder mit Polarkoordinaten machen? Das sähe dann ja so aus wie bei (1) und man teilt nicht durch 0, also sind beide partiellen Ableitungen auch stetig?
Ich glaube, da bräuchte ich nochmal Hilfe.
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Hallo!
> Hallo,
>
> danke für die schnelle (Teil-)Antwort.
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> Ich habe bei Frage (2) jetzt mal die Funktion einmal nach x
> und einmal nach y abgeleitet, das sind doch die partiellen
> Ableitungen oder?
Ja.
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{y^2}{x^2+y^2}-\bruch{2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=\bruch{2xy}{x^2+y^2}-\bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> Ich würde sagen, die Ableitungen sind jeweils 0, falls
> [mm](x,y)=(0,0)[/mm].
Vereinfache deine Rechnung noch etwas. Durch Erweiterung der Brüche und anschließender Vereinfachung hat man zunächst
[mm] \bruch{y^{2}(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
Auch an dieser Stelle erweist sich eine Umwandlung in Polarkoordinaten als Vereinfachung. Man kann dann sehr schön die Stetigkeit der partiellen Ableitungen von f in (0,0) untersuchen:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}f_{x}(x,y)=\limes_{r\rightarrow\ 0}\bruch{r^{2}sin^{2}(\varphi)(r^{2}sin^{2}(\varphi)-r^{2}cos^{2}(\varphi))}{(r^{2}cos^{2}(\varphi)+r^{2}sin^{2}(\varphi))^{2}}
[/mm]
Fragen an dich:
1.) Was kannst du hier über den Grenzwert sagen?
2.) Was folgt daraus für die Stetigkeit von [mm] f_{x} [/mm] in (0,0)?
> Eine Frage war, ob die partiellen Ableitungen existieren.
> -> Ja, denn ich konnte sie ausrechnen?
Siehe Fragen 1.) und 2.)
> Das mit der Stetigkeit könnte man dann wieder mit
> Polarkoordinaten machen? Das sähe dann ja so aus wie bei
> (1) und man teilt nicht durch 0, also sind beide partiellen
> Ableitungen auch stetig?
siehe oben
> Ich glaube, da bräuchte ich nochmal Hilfe.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 16.05.2010 | | Autor: | MasterEd |
Nochmals danke,
zu den 2 Fragen...
> Auch an dieser Stelle erweist sich eine Umwandlung in
> Polarkoordinaten als Vereinfachung. Man kann dann sehr
> schön die Stetigkeit der partiellen Ableitungen von f in
> (0,0) untersuchen:
>
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}f_{x}(x,y)=\limes_{r\rightarrow\ 0}\bruch{r^{2}sin^{2}(\varphi)(r^{2}sin^{2}(\varphi)-r^{2}cos^{2}(\varphi))}{(r^{2}cos^{2}(\varphi)+r^{2}sin^{2}(\varphi))^{2}}[/mm]
>
>
>
> Fragen an dich:
>
>
> 1.) Was kannst du hier über den Grenzwert sagen?
Ich kann in Zähler und Nenner [mm] $r^4$ [/mm] ausklammern und wegkürzen. Das r ist dann weg und der Wert des restlichen Bruches ist dann der Grenzwert. Der Nenner müsste wieder 1 sein, aber der Zähler?
Ich vermute mal folgendes: Der Grenzwert exisitiert, ist aber nicht 0.
Andere Idee: Ich kann den Wert des Bruches (also den Grenzwert) nicht ausrechnen, da ich [mm] $\varphi$ [/mm] nicht kenne und daher den Zähler nicht berechnen kann. Also existiert kein Grenzwert.
>
> 2.) Was folgt daraus für die Stetigkeit von [mm]f_{x}[/mm] in
> (0,0)?
Weil der Grenzwert nicht 0 ist, ist die Ableitung in $(0,0)$ nicht stetig. Richtig gedacht?
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> Nochmals danke,
>
> zu den 2 Fragen...
>
> > Auch an dieser Stelle erweist sich eine Umwandlung in
> > Polarkoordinaten als Vereinfachung. Man kann dann sehr
> > schön die Stetigkeit der partiellen Ableitungen von f in
> > (0,0) untersuchen:
> >
Es ist:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}f_{x}(x,y)=\limes_{r\rightarrow\ 0}\bruch{r^{2}sin^{2}(\varphi)(r^{2}sin^{2}(\varphi)-r^{2}cos^{2}(\varphi))}{(r^{2}cos^{2}(\varphi)+r^{2}sin^{2}(\varphi))^{2}}=\limes_{r\rightarrow\ 0}sin^{2}(\varphi)(sin^{2}(\varphi)-cos^{2}(\varphi))
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Der Grenzwert [mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} [/mm] existiert nicht.
[mm] \Rightarrow f_{x} [/mm] ist in (0,0) nicht stetig.
> > Fragen an dich:
> >
> >
> > 1.) Was kannst du hier über den Grenzwert sagen?
> Ich kann in Zähler und Nenner [mm]r^4[/mm] ausklammern und
> wegkürzen. Das r ist dann weg und der Wert des restlichen
> Bruches ist dann der Grenzwert. Der Nenner müsste wieder 1
> sein, aber der Zähler?
>
> Ich vermute mal folgendes: Der Grenzwert exisitiert, ist
> aber nicht 0.
>
> Andere Idee: Ich kann den Wert des Bruches (also den
> Grenzwert) nicht ausrechnen, da ich [mm]\varphi[/mm] nicht kenne und
> daher den Zähler nicht berechnen kann. Also existiert kein
> Grenzwert.
> >
> > 2.) Was folgt daraus für die Stetigkeit von [mm]f_{x}[/mm] in
> > (0,0)?
> Weil der Grenzwert nicht 0 ist, ist die Ableitung in [mm](0,0)[/mm]
> nicht stetig. Richtig gedacht?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo MasterEd!
Bei der partiellen Ableitung z.B. nach $x_$ wird nur die Variable $x_$ als Veränderliche betrachtet. Alle anderen Variablen (hier: $y_$ ) werden wir Konstanten behandelt.
Damit wird also:
[mm] $$\bruch{\partial}{\partial x}f(x,y) [/mm] \ = \ [mm] f_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y^2*\left(x^2+y^2\right)-xy^2*2x}{\left(x^2+y^2\right)^2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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