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Stetigkeit von Abbildungen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Do 02.06.2011
Autor: xcrane

Aufgabe
Es seien M, M' und M'' drei metrische Räume. f : M -> M' sei in a  [mm] \in [/mm] M stetig. g : M' -> M'' sei in f(a) stetig. Zeigen Sie, dass dann auch die Hintereinanderausführung g [mm] \circ [/mm] f : M -> M'' in a stetig ist.

Hallo.

Zunächst habe ich mir klar gemacht, was die Aufgabe oben überhaupt heisst.
(i) f : M -> M' in a stetig:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] (|a-a_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => |f(a) - f(a')| < [mm] \epsilon) [/mm]

und

(ii)g : M' -> M'' in a stetig:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : (|f(a')-f(a'')| < [mm] \delta [/mm] => |g(f(a') - g(f(a''))| < [mm] \epsilon) [/mm]

Nun bin ich der Meinung, ich muss folgendes zeigen:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] (|a-a_{0}-|f(a)-f(a')| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => |f(a) - f(a')| - g(a') - g(a'')| < [mm] \epsilon) [/mm]

Erste Frage:
Ist der Schluß richtitg, dass ich das zeigen muss?

Leider habe ich keinen Ansatz, wie ich das nun zeigen soll. Kann mir jemand auf due Sprünge helfen?

Vielen Dank.

Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit von Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Do 02.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Es seien M, M' und M'' drei metrische Räume. f : M -> M'
> sei in a  [mm]\in[/mm] M stetig. g : M' -> M'' sei in f(a) stetig.
> Zeigen Sie, dass dann auch die Hintereinanderausführung g
> [mm]\circ[/mm] f : M -> M'' in a stetig ist.
>  Hallo.
>  
> Zunächst habe ich mir klar gemacht, was die Aufgabe oben
> überhaupt heisst.
>  (i) f : M -> M' in a stetig:

>  [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 : [mm](|a-a_{0}|[/mm] <

> [mm]\delta[/mm] => |f(a) - f(a')| < [mm]\epsilon)[/mm]
>  
> und
>  
> (ii)g : M' -> M'' in a stetig:
>  [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 :

> (|f(a')-f(a'')| < [mm]\delta[/mm] => |g(f(a') - g(f(a''))| <
> [mm]\epsilon)[/mm]

[ok]

> Nun bin ich der Meinung, ich muss folgendes zeigen:
>  [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 :

> [mm](|a-a_{0}-|f(a)-f(a')|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => |f(a) - f(a')| - g(a') -
> g(a'')| < [mm]\epsilon)[/mm]
>  
> Erste Frage:
>  Ist der Schluß richtitg, dass ich das zeigen muss?

Nein, das ist Unsinn. Du musst zeigen, dass [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig ist, also

[mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : (|a-a'| < \delta => |(g\circ f)(a) - (g\circ f)(a')| < \epsilon)[/mm] ,

und da [mm] $(g\circ [/mm] f)(a) = g(f(a)) $ ist, heisst das ausgeschrieben:

[mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : (|a-a'| < \delta => |g(f(a)) - g(f(a'))| < \epsilon)[/mm] .

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
        
Bezug
Stetigkeit von Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Do 02.06.2011
Autor: fred97

Tipp: mit dem Folgenkriterium geht es einfacher als mit [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm]

FRED

Bezug
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