Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mi 19.09.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit bzw. gleichmäßige Stetigkeit:
(a)
[mm] f(x)=\begin{cases}1 - |x|, & \mbox{für alle } x \varepsilon \mbox{ [-2,2];} \\ f(x - 4k), & \mbox{für alle } x \varepsilon \mbox{ [4k -2, 4k+2]} (k \varepsilon \IN). \end{cases}
[/mm]
(b) exp : ] - [mm] \infty, [/mm] 0 [ [mm] \rightarrow \IR [/mm] und exp: [0, [mm] \infty [/mm] [ [mm] \rightarrow \IR
[/mm]
(c) [mm] f_{n}: [/mm] [ 0, [mm] \infty [/mm] [ [mm] \rightarrow \IR [/mm] mit [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] für jede feste natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 2 |
Hallo,
zu obigen Aufgaben habe ich jeweils probiert zu zeigen ob Stetigkeit oder gleichmäßige Stetigkeit vorliegt.
Vielleicht könnt ihr mal nachschauen ob das stimmt.
Wenn es nicht stimmt wäre es interessant warum und wie man es besser macht.
zu (a):
Hier stellt sich die Frage, ob 1 - |x| überhaupt stetig ist auf [mm] \IR. [/mm] In diesem Fall könnte man ja argumentieren, weil es sich bei der Betragsfunktion um eine elementare Funktion handelt von der man weiß dass sie stetig ist, dass es sich bei f(x) um eine stetige Funktion handeln muss.
Ich habe zusätzlich mal das Delta Epsilon Kriterium verwendet:
|(1 - |x|) - (1 - |y|) < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow|- [/mm] |x| +|y|| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | - (|x| - |y|)| < [mm] \varepsilon [/mm] wg. Betrag folgt:
[mm] \Rightarrow [/mm] ||x| - |y|| < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \delta
[/mm]
Damit müsste man nur noch die interessanten Stellen x = 2 und x = -2 untersuchen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 2^{+}} [/mm] f(x) = -1
[mm] \limes_{x\rightarrow 2^{-}} [/mm] f(x) = -1
[mm] \limes_{x\rightarrow -2^{+}} [/mm] f(x) = -1
[mm] \limes_{x\rightarrow -2^{-}} [/mm] f(x) = -1
Damit ist diese Funktion stetig und da [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \vardelta [/mm] gilt auch gleichmäßig stetig.
zu (b):
|exp(x) - exp(y)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |exp(y) (exp(x-y) -1)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
1.) Wenn x,y < 0 folgt:
|exp(x-y) - 1| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |exp(x-y)| < [mm] \varepsilon [/mm] + 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x - y| < [mm] ln(\varepsilon [/mm] + 1) = [mm] \delta
[/mm]
Funktion ist gl. stetig für x [mm] \varepsilon [/mm] ] - [mm] \infty, [/mm] 0 [.
2.) Wenn x,y [mm] \ge [/mm] 0 folgt:
[mm] \Rightarrow [/mm] |exp(y) (exp(x-y) -1)| < [mm] \varepsilon [/mm] wird für größere x,y [mm] \ge [/mm] 0 immer größer.
Funktion ist nicht stetig für x varepsilon [ 0, [mm] \infty [/mm] [.
zu (c):
| [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] \wurzel[n]{x - y} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | x - y | < [mm] \varepsilon^{n} [/mm] = [mm] \delta
[/mm]
Funktion ist gl. stetig.
So bei dem Delta Epsilon Kriterium bin ich jetzt immer auf die selbe Art und Weise vorgegangen.
In der Übung an der Uni haben wir in den meisten Fällen immer ein Epsilon gewählt und dann entsprechend umgeformt. Bei mir ist das das Ergebnis.
Ist die Vorgehensweise egal?
Gibt es einen Trick wie das Epsilon zu wählen ist?
Ich sehe das nämlich nicht wie unser Übungsleiter.
Da muss es doch irgend einen Trick geben oder?
Für Hinweise zu obigen versuchten Lösungen und zu allgemeinen Tipps und Tricks zu diesem Thema bin ich sehr dankbar.
Schreibe nämlcih nächsten Dienstag eine Klausur. Vielleicht meine letzte Matheklausur an der Uni. :)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank im Voraus für die Bemühungen und Antworten!
Mit freundlichen Grüßen
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Alexander!
> Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit bzw.
> gleichmäßige Stetigkeit:
> (a)
> [mm]f(x)=\begin{cases}1 - |x|, & \mbox{für alle } x \varepsilon \mbox{ [-2,2];} \\ f(x - 4k), & \mbox{für alle } x \varepsilon \mbox{ [4k -2, 4k+2]} (k \varepsilon \IN). \end{cases}[/mm]
>
> (b) exp : ] - [mm]\infty,[/mm] 0 [ [mm]\rightarrow \IR[/mm] und exp: [0,
> [mm]\infty[/mm] [ [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> (c) [mm]f_{n}:[/mm] [ 0, [mm]\infty[/mm] [
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] mit [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\wurzel[n]{x}[/mm] für jede feste
> natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 2
> Hallo,
>
> zu obigen Aufgaben habe ich jeweils probiert zu zeigen ob
> Stetigkeit oder gleichmäßige Stetigkeit vorliegt.
>
> Vielleicht könnt ihr mal nachschauen ob das stimmt.
> Wenn es nicht stimmt wäre es interessant warum und wie man
> es besser macht.
>
> zu (a):
> Hier stellt sich die Frage, ob 1 - |x| überhaupt stetig
> ist auf [mm]\IR.[/mm] In diesem Fall könnte man ja argumentieren,
> weil es sich bei der Betragsfunktion um eine elementare
> Funktion handelt von der man weiß dass sie stetig ist, dass
> es sich bei f(x) um eine stetige Funktion handeln muss.
>
> Ich habe zusätzlich mal das Delta Epsilon Kriterium
> verwendet:
> |(1 - |x|) - (1 - |y|) < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow|-[/mm] |x| +|y|| < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] | - (|x| - |y|)| < [mm]\varepsilon[/mm] wg. Betrag
> folgt:
> [mm]\Rightarrow[/mm] ||x| - |y|| < [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\delta[/mm]
Die letzte Folgerung ist etwas schlampig. Du musst doch zu einem gegebenen [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] finden, sodass für [mm]|x-y|<\delta[/mm] folgt: [mm]||x| - |y|| < \varepsilon[/mm].
Wenn die Vorzeichen von x und y übereinstimmen, ist [mm]||x| - |y|| =|x-y|[/mm], und du kannst [mm]\delta=\varepsilon[/mm] setzen.
Du musst also entweder argumentieren, warum die Vorzeichen übereinstimmen, oder den Fall, dass sie nicht übereinstimmen, getrennt behandeln.
> Damit müsste man nur noch die interessanten Stellen x = 2
> und x = -2 untersuchen:
Eigentlich alle Anschlussstellen, also [mm]x=4k\pm2[/mm]. Und was ist mit x=0?
> zu (b):
> |exp(x) - exp(y)| < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |exp(y) (exp(x-y) -1)| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> 1.) Wenn x,y < 0 folgt:
> |exp(x-y) - 1| < [mm]\varepsilon[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das folgt nur für [mm]y\ge 0[/mm].
> [mm]\Rightarrow[/mm] |exp(x-y)| < [mm]\varepsilon[/mm] + 1
Wieder etwas schlampig. Das folgt unmittelbar nur für x>y. Fur x<y folgt [mm]|\exp(x-y)| > 1-\varepsilon [/mm]. Aber aus [mm]\exp(x-y) < 1[/mm] folgt die Aussage auch für x<y.
Aber wie gesagt, ist die Aussage sowieso nicht richtig.
Ich würde [mm]\exp(x)-\exp(y)=(\exp(x/2)-\exp(y/2))*(\exp(x/2)+\exp(y/2))[/mm] benutzen und die beiden Faktoren getrennt abschätzen. Dabei o.B.d.A. x>y annehmen. Dann ist [mm]x
> 2.) Wenn x,y [mm]\ge[/mm] 0 folgt:
> [mm]\Rightarrow[/mm] |exp(y) (exp(x-y) -1)| < [mm]\varepsilon[/mm] wird für
> größere x,y [mm]\ge[/mm] 0 immer größer.
>
> Funktion ist nicht stetig für x varepsilon [ 0, [mm]\infty[/mm] [.
Die Exponentialfunktion ist überall stetig. exp(x) auf der positiven reellen Achse ist ja nichts Anderes als exp(-x) auf der negativen, was als Komposition steiger Funktionen stetig ist.
> zu (c):
> | [mm]\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] | [mm]\wurzel[n]{x - y}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
Gegenbeispiel: n=2, x=3, y=2, [mm]\varepsilon=1/2[/mm]. Vom Fall y>x will ich gar nicht reden...
> In der Übung an der Uni haben wir in den meisten Fällen
> immer ein Epsilon gewählt und dann entsprechend umgeformt.
Das ist auch richtige Vorgehensweise. Zum Beweis der Stetigkeit einer Funktion f musst du zu jedem vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] finden, sodass das Bild der [mm]\delta[/mm]-Umgebung unter f in der [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung liegt.
> Gibt es einen Trick wie das Epsilon zu wählen ist?
Du wählst das [mm]\varepsilon[/mm] gar nicht. Das [mm]\varepsilon[/mm] ist beliebig, und du bestimmst ein passendes [mm]\delta[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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