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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 03.01.2009 | | Autor: | frost- |
| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit:
a)
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x < 0 \mbox{ oder} x \ge 1 \\ 1, & \mbox{falls } 0 \le x < 1 \end{cases}
[/mm]
b)
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = 1 - [mm] x^{2}
[/mm]
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Ich bitte um Korrektur meiner Lösungen. Wenn Fehler drin sind ( wovon ich leider ausgehe -.- ), stoßt mich bitte in die richtige Richtung. Habe noch ganz schöne Probleme mit dieser Art Aufgaben.
zu a)
für alle x [mm] \ge [/mm] 1 gilt f (x) = 0
wähle Folge [mm] xrechts_{n} [/mm] : [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} xrechts_{n} [/mm] = 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(xrechts_{n}) [/mm] = 0
für alle 0 [mm] \le [/mm] x < 1 gilt f (x) = 1
wähle Folge [mm] xlinks_{n} [/mm] : 1 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} xlinks_{n} [/mm] = 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(xlinks_{n}) [/mm] = 1
Die Grenzwerte sind verschieden [mm] \Rightarrow [/mm] die Funktion ist im Punkt x = 1 nicht stetig
zu b)
f (x) = [mm] 1-x^{2}
[/mm]
zu Zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a)
wähle beliebige Folge [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = a
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] x_{n} [/mm] - a ) = 0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f ( [mm] x_{n} [/mm] - a ) = 1
nun:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f [mm] (x_{n})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f ( [mm] x_{n} [/mm] - a + a )
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( 1 - ( [mm] x_{n} [/mm] - a + a [mm] )^{2} [/mm] )
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( 1 - [mm] x_{n}^{2} [/mm] + [mm] 2a^{2} [/mm] - [mm] 2a^{2} [/mm] )
= 1 - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] x_{n}^{2} [/mm] - [mm] a^{2} [/mm] ) + [mm] a^{2}
[/mm]
= 1 - 0 + [mm] a^{2}
[/mm]
= 1 - [mm] a^{2} [/mm] = f (a)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
frost-
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mo 05.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit:
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> a)
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x) = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x < 0 \mbox{ oder} x \ge 1 \\ 1, & \mbox{falls } 0 \le x < 1 \end{cases}[/mm]
>
> b)
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x) = 1 - [mm]x^{2}[/mm]
>
> Ich bitte um Korrektur meiner Lösungen. Wenn Fehler drin
> sind ( wovon ich leider ausgehe -.- ), stoßt mich bitte in
> die richtige Richtung. Habe noch ganz schöne Probleme mit
> dieser Art Aufgaben.
>
>
> zu a)
>
> für alle x [mm]\ge[/mm] 1 gilt f (x) = 0
> wähle Folge [mm]xrechts_{n}[/mm] : [mm]\bruch{1}{n}[/mm] + 1
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} xrechts_{n}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(xrechts_{n})[/mm] = 0
>
> für alle 0 [mm]\le[/mm] x < 1 gilt f (x) = 1
> wähle Folge [mm]xlinks_{n}[/mm] : 1 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} xlinks_{n}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(xlinks_{n})[/mm] = 1
>
> Die Grenzwerte sind verschieden [mm]\Rightarrow[/mm] die Funktion
> ist im Punkt x = 1 nicht stetig
Das ist okay, und was ist mit x=0, also der anderen "kritischen Stelle"?
>
>
> zu b)
>
> f (x) = [mm]1-x^{2}[/mm]
>
> zu Zeigen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] f(x) = f(a)
> wähle beliebige Folge [mm]x_{n}[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = a
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]x_{n}[/mm] - a ) = 0
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f ( [mm]x_{n}[/mm] - a ) =
> 1
>
> nun:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f [mm](x_{n})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f ( [mm]x_{n}[/mm] - a + a )
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( 1 - ( [mm]x_{n}[/mm] - a + a [mm])^{2}[/mm]
> )
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( 1 - [mm]x_{n}^{2}[/mm] + [mm]2a^{2}[/mm] -
> [mm]2a^{2}[/mm] )
> = 1 - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]x_{n}^{2}[/mm] - [mm]a^{2}[/mm] ) +
> [mm]a^{2}[/mm]
> = 1 - 0 + [mm]a^{2}[/mm]
> = 1 - [mm]a^{2}[/mm] = f (a)
Das ist ein wenig unglücklich aufgeschrieben, aber korrekt.
Also:
Zu zeigen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=f(a) [/mm] für alle Folgen [mm] x_{n} [/mm] mit dem Grenzwert a.
Du hast ein paar Klammern vergessen. Rechne das ganze nochmal durch,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[(1-x_{n}-a+a)^{2}]
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}[(1-x_{n}-a)²+2(1-x_{n}-a)a+a²]
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}[(1-x_{n})²-2a(1-x_{n})+a²+2a-2ax_{n}-2a²+a²]
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}[1-2x_{n}+x_{n}²-2a+2ax_{n}+a²+2a-2ax_{n}-a²]
[/mm]
=...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
> frost-
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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