Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion f sei im Intervall (a,b) mit [mm] 0\in [/mm] (a,b) differenzierbar und es gelte f(0)=0. Die Funktion g sei in (a,b) definiert durch:
[mm] g(x):=\begin{cases}\bruch{f(x)}{x}, falls \quad x\not=0 \\ f’(0), falls \quad x=0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
Die Funktion g ist stetig in (a, b) |
Hallo zusammen,
Wir haben das Thema Stetigkeit und Differenzierbarkeit erst seit kurzem, deshaln bin ich noch nicht so sicher darin.
Also ich habe mir zuerst einmal die Def. von Stetigkeit notiert:
Sei f: Df [mm] \to\IC [/mm] und sei z’ [mm] \in [/mm] Df ein Häufungspunkt von Df. Dann gilt:
f ist stetig in z’ [mm] \gdw \limes_{z\rightarrow z’}f(z)=f(z’)
[/mm]
Es gibt ja auch noch eine äquivalente Folgenkonvergenz Definition, weiß nicht welche sich hier wohl besser eignet.
Nun weiß ich, dass die Funktion in dem gegebenen Intervall differenzierbar ist. Ich erkenne aber keinen Zusammenhang.
Und: Um auf Stetigkeit zu überprüfen würde ich ja die Definition anwenden, aber damit schaue ich doch immer nur, ob die Funktion in einem bestimmten Punkt stetig ist, das kann ich hier ja für das ganze Intervall nicht unendlich oft machen?! Wie zeigt man das dann allgemein, bzw. für einen beliebigen Punkt?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Do 27.01.2011 | | Autor: | skoopa |
HeyHey!
> Die Funktion f sei im Intervall (a,b) mit [mm]0\in[/mm] (a,b)
> differenzierbar und es gelte f(0)=0. Die Funktion g sei in
> (a,b) definiert durch:
>
>
> [mm]f(n)=\begin{cases}\bruch{f(x)}{x}, falls x\not=0 \\ f’(0), falls x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> Die Funktion g ist stetig in (a, b)
Da ist wohl ein bisschen was bei den Bezeichnungen durcheinander gekommen 
> Hallo zusammen,
>
> Wir haben das Thema Stetigkeit und Differenzierbarkeit erst
> seit kurzem, deshaln bin ich noch nicht so sicher darin.
>
> Also ich habe mir zuerst einmal die Def. von Stetigkeit
> notiert:
>
> Sei f: Df [mm]\to\IC[/mm] und sei z’ [mm]\in[/mm] Df ein Häufungspunkt von
> Df. Dann gilt:
> f ist stetig in z’ [mm]\gdw \limes_{z\rightarrow z’}f(z)=f(z’)[/mm]
>
> Es gibt ja auch noch eine äquivalente Folgenkonvergenz
> Definition, weiß nicht welche sich hier wohl besser
> eignet.
>
> Nun weiß ich, dass die Funktion in dem gegebenen Intervall
> differenzierbar ist. Ich erkenne aber keinen Zusammenhang.
Also eigentlich ist es so, dass eine Funktion f die in einem Punkt x differenzierbar ist in x auch stetig ist. Aber vermutlich darfst du das hier noch nicht benutzen.
>
> Und: Um auf Stetigkeit zu überprüfen würde ich ja die
> Definition anwenden, aber damit schaue ich doch immer nur,
> ob die Funktion in einem bestimmten Punkt stetig ist, das
> kann ich hier ja für das ganze Intervall nicht unendlich
> oft machen?! Wie zeigt man das dann allgemein, bzw. für
> einen beliebigen Punkt?
Du musst eine Fallunterscheidung machen um g auf Stetigkeit zu untersuchen. Einmal für einen beliebigen Punkt [mm] x\not=0 [/mm] aus dem Definitionsbereich und einmal für x=0. Dann hast du die Aussage für alle x aus dem Definitionsbereich gezeigt.
Hier ist jetzt die Frage, weißt du schon, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt? Falls ja musst du dir eigentlich nur den Nullpunkt anschauen, weil g für [mm] x\not=0 [/mm] als Produkt von differenzierbaren Funktionen dort auch differenzierbar und also stetig ist.
Ansonsten wirds ein bisschen komplizierter.
Um den Nullpunkt zu untersuchen passt deine obige Definition sehr gut. Hier musst du dir den Grenzübergang [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} g(\epsilon) [/mm] = [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} \bruch{f(\epsilon)}{\epsilon} [/mm] mit [mm] \epsilon>0 [/mm] anschauen und zeigen, dass dieser Limes gleich g(0) ist.
>
> Gruß
Grüße!
skoopa
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Danke dir für die Antwort, bist grade meine Rettung!=)
Also, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt, hatten wir noch nicht. D.h. entweder kann ich das allgemein beweisen (ist wahrscheinlich recht aufwändig) aber aber ich zeige es für einen beliebigen Punkt auf dem Intervall (a,b) und 0...heißt das ich zeige es allgemein und bezeichne mir einen Punkt [mm] c\in(a,b) [/mm] ?
wenn ich dann den Limes x gegen a bilde...hab ich noch nicht so viel gezeigt, oder?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke dir für die Antwort, bist grade meine Rettung!=)
>
> Also, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt, hatten
> wir noch nicht. D.h. entweder kann ich das allgemein
> beweisen (ist wahrscheinlich recht aufwändig)
ist es nicht. Steht in jedem Standardwerk der Analysis und es folgt einfach aus ($x [mm] \not=x_0$)
[/mm]
[mm] $$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)$$
[/mm]
bei $x [mm] \to x_0\,.$ [/mm] In Deinem Falle kannst Du das quasi für jeden beliebigen Punkt [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ hinschreiben. Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $(a,b)\,$ [/mm] ist klar.
Die Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $(a,b)\,$ [/mm] ist es allerdings nicht. Aber die Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] auf $(a,b) [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] ist klar, weil [mm] $f\,$ [/mm] ja auf dieser Menge ebenfalls stetig ist, zudem die Funktion $x [mm] \mapsto x\,$ [/mm] dort auch stetig ist (und nullstellenfrei, da ja $0 [mm] \notin (a,b)\setminus \{0\}$) [/mm] und Quotienten stetiger Funktionen auch stetig sind.
Deswegen ist nun nur noch die Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] fraglich. D.h. Du hast zu zeigen: Für $x [mm] \in [/mm] (a,b) [mm] \setminus \{0\}\,$ [/mm] ist zu klären, ob
[mm] $$\lim_{\substack{x \in (a,b)\setminus\{0\}\\x \to 0}}g(x)=g(\lim_{\substack{x \in (a,b)\setminus\{0\}\\x \to 0}}x)\;\;(=g(0)=f'(0))$$
[/mm]
gilt.
Wie macht man das? Naja, z.B. gilt für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b) [mm] \setminus \{0\}$
[/mm]
[mm] $$g(x)-g(0)=\frac{f(x)}{x}-f'(0)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}-f'(0)\,,$$
[/mm]
wobei Du bitte [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] beachtest. Was passiert nun bei $0 [mm] \not=x \to [/mm] 0$?
> aber aber
> ich zeige es für einen beliebigen Punkt auf dem Intervall
> (a,b) und 0...heißt das ich zeige es allgemein und
> bezeichne mir einen Punkt [mm]c\in(a,b)[/mm] ?
Wenn man irgendeine Aussage "für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$" beweisen soll, dann nimmt man sich halt ein [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ her und schaut, dass man die Behauptung alleine mit den Voraussetzungen und dieser Tatsache, nämlich $a < [mm] x_0 [/mm] < [mm] b\,,$ [/mm] und evtl. anderen Tatsachen für das [mm] $x_0$ [/mm] gefolgert bekommt. Weil man dabei nur bekannte bzw. als wahr (an)erkannte Aussagen benutzt und die Eigenschaft, dass dieses [mm] $x_0$ [/mm] ein BELIEBIGES [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ war, hat man das dann für alle [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ gezeigt.
> wenn ich dann den Limes x gegen a bilde...hab ich noch
> nicht so viel gezeigt, oder?
Weiß ich nicht. Man muss sehen, was Du meinst, damit man das bewerten kann. Aber hier musst Du ja etwas für beliebiges [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ zeigen, und nicht nur für [mm] $a\,$ [/mm] (wobei $a [mm] \notin [/mm] (a,b)$; also geht's bei Dir maximal um den rechtsseitigen Grenzwert an [mm] $a\,$; [/mm] was hat das mit der Aufgabe zu tun?). Also ich habe keine Ahnung, was Du überhaupt gemacht hast... und die Untersuchung der Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] in einer Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ bedarf halt quasi einer Fallunterscheidung, ob das [mm] $x_0=0$ [/mm] oder das [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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Danke für deine Ausführliche Antwort.
Jedoch bist du für mein Erstsemester Niveau vllt etwas zu schnell=)
Ich habe das bisher jetzt so verstanden: Um zu zeigen, dass g auf dem Intervall (a,b) stetig ist, muss g ja für ein beliebiges [mm] x\in(a,b) \not=0 [/mm] stetig sein und für genau die Stelle [mm] x_{0}=0. [/mm] Für ein [mm] x\in(a,b) \not=0 [/mm] sagst du ist klar, dass g stetig ist, weil f(x) stetig ist, zudem x stetig ist und demnach der Quotient.
Aber ich verstehe schon nicht, warum f(x) stetig sein muss? Was weiß ich denn über f(x)? Doch nur, dass f(0)=0 und dass sie differenzierbar ist.
D.h. f(x) hat ja keine Abbildungsvorschrift, also muss ich alleine mit der Aussage, dass sie differenzierbar ist, beweisen, dass daraus Stetigkeit folgt?
Eine andere Möglichkeit habe ich doch nicht?
Wie ist das allgemein beim Beweisen von Stetigkeit-man kann doch Stetigkeit per Definition erstmal nur für einen Punkt zeigen. Und eine Funktion ist ja nur stetig, wenn es für alle Punkte in einen Intervall gilt. Das begreife ich noch nicht ganz, wie man aus den wenigen Bedingungen, die man hier hat für ein beliebiges Element der Definitionsmenge folgern könnte, dass Stetigkeit gilt?
Sry für diese recht einfachen Fragen, aber das sitzt noch nicht so wie es sollte.
Gruß
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> Ich habe das bisher jetzt so verstanden: Um zu zeigen, dass
> g auf dem Intervall (a,b) stetig ist, muss g ja für ein
> beliebiges [mm]x\in(a,b) \not=0[/mm] stetig sein und für genau die
> Stelle [mm]x_{0}=0.[/mm]
Hallo,
ja. Stetig in jedem Punkt des Definitionsbereiches, also in jedem [mm] x\in [/mm] (a,b).
> Für ein [mm]x\in(a,b) \not=0[/mm]
Du meinst hier: für ein [mm] x\in [/mm] (a,b) mit [mm] x\not=0
[/mm]
> Für ein [mm] $x\in(a,b) \not=0$ [/mm]
> sagst du ist
> klar, dass g stetig ist, weil f(x) stetig ist, zudem x
> stetig ist und demnach der Quotient.
Ja. Weil die Komposition stetiger Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig ist. (Vorlesung)
>
> Aber ich verstehe schon nicht, warum f(x) stetig sein muss?
> Was weiß ich denn über f(x)? Doch nur, dass f(0)=0 und
> dass sie differenzierbar ist.
Eben. Das ist schon allerlei.
Ob Du es weißt, weiß ich nicht, aber man hat sich in der Vorlesung bemüht, Dir beizubringen, daß aus der Diffbarkeit die Stetigkeit folgt.
Jede Funktion, die diffbar ist, ist also auch stetig.
(Das Umgekehrte gilt nicht!)
Aus diesem Grunde weißt Du, daß die Funktion f stetig ist.
> D.h. f(x) hat ja keine Abbildungsvorschrift, also muss ich
> alleine mit der Aussage, dass sie differenzierbar ist,
> beweisen, dass daraus Stetigkeit folgt?
Ich glaube kaum, daß Du es beweisen mußt. Ich bin mir ziemlich sicher, daß es in der VL behandelt wurde. Schau mal nach in Deiner Mitschrift/im Skript.
Wenn da nichts steht, dann beweise es halt. Es ist nicht so schwierig, und es steht außerdem in jedem Buch.
> Eine andere Möglichkeit habe ich doch nicht?
K.A.
Aber diese vergleichsweise unkomplizierte und naheliegende Möglichkeit reicht doch, oder?
> Wie ist das allgemein beim Beweisen von Stetigkeit-man
> kann doch Stetigkeit per Definition erstmal nur für einen
> Punkt zeigen.
Ja. Zum Beispiel für ein beliebiges [mm] x\in D_f.
[/mm]
> Und eine Funktion ist ja nur stetig, wenn es
> für alle Punkte in einen Intervall gilt.
Ja. (Du redest offenbar über Funktionen, deren Definitionsbereich ein Intervall ist.)
> Das begreife ich
> noch nicht ganz, wie man aus den wenigen Bedingungen, die
> man hier hat für ein beliebiges Element der
> Definitionsmenge folgern könnte, dass Stetigkeit gilt?
Wenn Du sagst "sei [mm] x\in [/mm] (a,b) [mm] \\{0\}" [/mm] und dann glaubhaft machen kannst, daß die Funktion g an der Stelle x stetig ist, dann ist die Funktion stetig für alle [mm] x\in x\in [/mm] (a,b) [mm] \\{0\}, [/mm] weil Du das für ein beliebiges Element dieses Bereiches gezeigt hast.
(Ich hoffe, daß ich Deine Frage richtig verstanden habe.)
Wenn das geschehen ist, ist noch über die Stetigkeit ander Stelle x=0 nachzudenken.
Gruß v. Angela
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Danke für die Antworten!
Also ich ich gehe jetzt einmal davon aus, dass ich aus differenzierbarkeit, stetigkeit folgern darf (also, wir sind jetzt vorlesungsmäßig so weit).
Dementsprechend meine Begründung:
Betrachtet man das Intervall (a,b) ohne die 0, dann weiß man ja schon über f, dass f nach Voraussetzung differenzierbar ist, und folglich auch stetig.
Betrachtet man nun den Punkt x=0 [mm] \in [/mm] (a,b), gilt ja f’(0)...Also schaue ich mir doch an, ob f an der Stelle 0 differenzierbar ist?! Wenn ja, ist die Funktion an der stelle auch wieder stetig, richtig?
Man weiß doch nach Voraussetzung schon, dass f differenzierbar ist, die Frage ist: Ist [mm] f:=\bruch{f(x)}{x}, [/mm] also diese Komposition, oder nur f:=f(x)...Je nachdem müsste ich doch nur noch sagen, dass x stetig differenzierbar ist, also insbesondere bei x=0 also ist die Komposition differenzierbar und folgkich stetig?
Stimmt das soweit?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Sa 29.01.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
bei x=0 ist doch g(x)=f(x)/x durch f'(0)definiert.du sollst die Stetigkeit in 0 zeigen, da kennst du doch nur den funktionswert.
also versuch die Stetigkeit in 0 zu zeigen. da dein erster post sehr schiefgegangen ist, schrib aber die Definition von g(x) nochmal ordentlich auf, bevor du weitere Fragen stellst.
natürlich ist nur die Differenzierbarkeit von f auch in 0 bekannt, nicht die von g.
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Ausführliche Antwort.
> Jedoch bist du für mein Erstsemester Niveau vllt etwas zu
> schnell=)
>
> Ich habe das bisher jetzt so verstanden: Um zu zeigen, dass
> g auf dem Intervall (a,b) stetig ist, muss g ja für ein
> beliebiges [mm]x\in(a,b) \not=0[/mm] stetig sein und für genau die
> Stelle [mm]x_{0}=0.[/mm] Für ein [mm]x\in(a,b) \not=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sagst du ist
> klar, dass g stetig ist, weil f(x) stetig ist, zudem x
> stetig ist und demnach der Quotient.
>
> Aber ich verstehe schon nicht, warum f(x) stetig sein muss?
> Was weiß ich denn über f(x)? Doch nur, dass f(0)=0 und
> dass sie differenzierbar ist.
so, und das ist der Punkt, wo ich Dir erklären wollte, warum $f\,$ dann auch stetig sein muss. Deine Funktion $f\,$ ist auf $(a,b)\,$ definiert und dort differenzierbar, d.h.:
Für jedes $x_0 \in (a,b)$ existiert
$$(\star)\;\;\lim_{\substack{x \to x_0\\x \in (a,b)\setminus\{x_0\}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\,,$$
insbesondere ist damit für jedes $x_0 \in (a,b)\,$ auch
$$f'(x_0) \in \IR\,, \text{ insbesondere }-\infty < f'(x_0) < \infty\,.$$
Wenn wir nun behaupten, dass $f\,$ auch stetig auf $(a,b)\,$ ist, so haben wir zu zeigen, dass für jedes $\tilde{x}_0 \in (a,b)$ gilt:
$$\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}f(x)=f(\tilde{x}_0)\,.$$
In äquivalenter Weise kann man dies tun, indem man nachweist, dass für jedes $\tilde{x}_0 \in (a,b)\,$ gilt:
$$\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}(f(x)-f(\tilde{x}_0))=0\,.$$
Wir machen dies nun: Ist $\tilde{x}_0 \in (a,b)\,,$ so gilt für alle $x \in (a,b)\setminus \{\tilde{x}_0\}$
$$(\star_2)\;\;\;f(x)-f(\tilde{x}_0)=\frac{f(x)-f(\tilde{x_0})}{x-\tilde{x}_0}(x-\tilde{x_0})\,.$$
Aus $(\star_2)$ erhalten wir
$$\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}(f(x)-f(\tilde{x}_0))=\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}\left(\frac{f(x)-f(\tilde{x_0})}{x-\tilde{x}_0}(x-\tilde{x_0})\right)\,,$$
und weil $(\star)$ ja für jedes $x_0 \in (a,b)$ gilt, können wir in $(\star)$ einfach $x_0$ durch $\tilde{x}_0 \in (a,b)$ ersetzen,
und unter anderem wegen der Existenz von $f'(\tilde{x}_0)$ (s.o.) kann man "Rechenregeln für konvergente Folgen / Funktionen" benutzen und erkennt
$$\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}(f(x)-f(\tilde{x}_0))=\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}\left(\frac{f(x)-f(\tilde{x_0})}{x-\tilde{x}_0}(x-\tilde{x_0})\right)=\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}\left(\frac{f(x)-f(\tilde{x_0})}{x-\tilde{x}_0}\right)*\lim_{\substack{x \to \tilde{x}_0\\x \in (a,b)\setminus\{\tilde{x}_0\}}}(x-\tilde{x_0})=f'(\tilde{x}_0)*0=0\,.$$
So, und nun zu Deiner Aufgabe:
Wenn Du weißt, dass der Quotient zweier stetigen Funktionen, wobei die "Nennerfunktion" nulstellenfrei sei, eine stetige Funktion ist, so kannst Du das natürlich benutzen.
Zu Deiner Aufgabe:
Was ist zu zeigen? Zu zeigen ist, dass $g\,$ stetig auf $(a,b)\,$ ist. D.h. Du hast zu zeigen:
Für jedes $x_0 \in (a,b)$ ist $g\,$ stetig im Punkte $x_0\,.$
Nun gilt $(a,b)=((a,b)\setminus \{0\}) \cup \{0\}$ (beachte $0 \in (a,b)$). Das hilft Dir hier, weil eigentlich nur die Stetigkeit von $g\,$ im Punkte $x_0=0$ fraglich ist. Denn:
Sei $x_0 \in (a,b)\,.$ Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Fall: Sei hier $x_0 \in (a,b) \setminus \{0\}:$
Wir betrachten obiges gegebenes $f: (a,b) \to \IR\,,$ und $h: (a,b) \to \IR$ definiert durch $h(x):=x$ ($x \in (a,b)$).
Wir können zwar $g(x):=f(x)/h(x)\,$ "sehr oft" schreiben, aber das sicher nicht im Punkte $x_0=0\,.$ Aber wir wissen:
Diese Gleichheit gilt, wenn man $f\,,$ $g\,$ und $h\,$ auf $(a,b) \setminus \{0\}$ eingeschränkt betrachtet, also genauer:
Wenn $f_{|(a,b)\setminus \{0\}}: (a,b) \setminus \{0\} \to \IR$ die Einschränkung von $f\,$ auf $(a,b)\setminus \{0\}$ bezeichnet (also $f_{|(a,b)\setminus \{0\}}(x):=f(x)$ für jedes $x \in (a,b) \setminus \{0\}\,;$ analog werden "die anderen eingeschränkten Funktionen" bezeichnet), so ist $f_{|(a,b)\setminus \{0\}}$ in jedem Punkte von $(a,b)\setminus \{0\}}$ stetig, da ja $f\,$ auch in jedem dieser Punkte stetig war. Analog ist $h_{|(a,b)\setminus \{0\}}$ stetig und nullstellenfrei, und weil nun insbesondere
$$g_{|(a,b)\setminus \{0\}}=\frac{f_{|(a,b)\setminus \{0\}}}{h_{|(a,b)\setminus \{0\}}}$$
gilt, ist $g_{|(a,b)\setminus \{0\}}$ stetig und wegen
$$g(x_0)=g_{|(a,b)\setminus \{0\}}(x_0)$$
zeigt das, dass $g\,$ stetig in $x_0 \in (a,b) \setminus \{0\}$ ist.
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Daher wissen wir aktuell:
Für jedes $x_0 \in (a,b) \setminus \{0\}$ ist $g\,$ stetig in $x_0\,.$ Um nun zu wissen, dass $g\,$ stetig auf $(a,b)\,$ ist und weil ja $0 \in (a,b)$ war, bleibt also nur noch zu prüfen der
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2. Fall: Sei nun $x_0=0 \in (a,b)\,.$
.
.
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Denn wenn Du nun die Stetigkeit von $g\,$ im Punkte $x_0=0$ bewiesen hast, dann weißt Du:
Ist $x_0 \in (a,b)$ beliebig, so gilt (entweder) $x_0=0$ oder $x_0 \in (a,b) \setminus \{0\}\,.$ In jedem dieser Fälle ist aber $g\,$ stetig in $x_0\,,$ also ist $g\,$ stetig für jedes $x_0 \in (a,b)\,,$ kurz: $g: (a,b) \to \IR$ ist stetig.
P.S.:
Lass' Dir das alles mal in Ruhe durch den Kopf gehen und versuche, es nochmal im Detail zu verstehen. Das solltest Du verstanden haben, denn normalerweise, bei derartigen Aufgaben, geht man davon aus, dass diese "Einschränkungsgeschichten" klar sind (d.h. wenn man sagt "$f\,$ ist stetig auf $(a,b) \setminus \{0\}$", dass man dann meint "$f_{|(a,b)\setminus \{0\}}$ ist stetig" (oder "$f\,$ ist stetig in jedem Punkt $x\in (a,b) \setminus \{0\}$")), entsprechend sind die Beweise dann verkürzt zu:
"Klar ist, dass $g\,$ als Quotient stetiger Funktion auch stetig auf $(a,b) \setminus \{0\}$ ist."
Du siehst: Der von mir ausführlich dargestellte "1. Fall" reduziert sich dann auf einen Satz. Das ist aber eine gängige Form in solchen Beweisen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 27.01.2011 | | Autor: | skoopa |
HeyHey!
> Die Funktion f sei im Intervall (a,b) mit [mm]0\in[/mm] (a,b)
> differenzierbar und es gelte f(0)=0. Die Funktion g sei in
> (a,b) definiert durch:
>
>
> [mm]f(n)=\begin{cases}\bruch{f(x)}{x}, falls x\not=0 \\ f’(0), falls x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> Die Funktion g ist stetig in (a, b)
Da ist wohl ein bisschen was bei den Bezeichnungen durcheinander gekommen
> Hallo zusammen,
>
> Wir haben das Thema Stetigkeit und Differenzierbarkeit erst
> seit kurzem, deshaln bin ich noch nicht so sicher darin.
>
> Also ich habe mir zuerst einmal die Def. von Stetigkeit
> notiert:
>
> Sei f: Df [mm]\to\IC[/mm] und sei z’ [mm]\in[/mm] Df ein Häufungspunkt von
> Df. Dann gilt:
> f ist stetig in z’ [mm]\gdw \limes_{z\rightarrow z’}f(z)=f(z’)[/mm]
>
> Es gibt ja auch noch eine äquivalente Folgenkonvergenz
> Definition, weiß nicht welche sich hier wohl besser
> eignet.
>
> Nun weiß ich, dass die Funktion in dem gegebenen Intervall
> differenzierbar ist. Ich erkenne aber keinen Zusammenhang.
Also eigentlich ist es so, dass eine Funktion f die in einem Punkt x differenzierbar ist in x auch stetig ist. Aber vermutlich darfst du das hier noch nicht benutzen.
>
> Und: Um auf Stetigkeit zu überprüfen würde ich ja die
> Definition anwenden, aber damit schaue ich doch immer nur,
> ob die Funktion in einem bestimmten Punkt stetig ist, das
> kann ich hier ja für das ganze Intervall nicht unendlich
> oft machen?! Wie zeigt man das dann allgemein, bzw. für
> einen beliebigen Punkt?
Du musst eine Fallunterscheidung machen um g auf Stetigkeit zu untersuchen. Einmal für einen beliebigen Punkt [mm] x\not=0 [/mm] aus dem Definitionsbereich und einmal für x=0. Dann hast du die Aussage für alle x aus dem Definitionsbereich gezeigt.
Hier ist jetzt die Frage, weißt du schon, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt? Falls ja musst du dir eigentlich nur den Nullpunkt anschauen, weil g für [mm] x\not=0 [/mm] als Produkt von differenzierbaren Funktionen dort auch differenzierbar und also stetig ist.
Ansonsten wirds ein bisschen komplizierter.
Um den Nullpunkt zu untersuchen passt deine obige Definition sehr gut. Hier musst du dir den Grenzübergang [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} g(\epsilon) [/mm] = [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} \bruch{f(\epsilon)}{\epsilon} [/mm] mit [mm] \epsilon>0 [/mm] anschauen.
>
> Gruß
Grüße!
skoopa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Do 27.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Sorry für das Doppel-Posting. Mein Browser ist grad mehrfach abgekratzt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Theoretix |
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Also es geht bei anfänglicher Fragestellung nun darum: Ist die Funktion stetig in x=0? (Der für [mm] x\not=0 [/mm] ist das schon bewiesen)
Stetigkeit in einem Punkt bedeutet, dass der Grenzwert einer Funktion in diesem Punkt gleich dem Funktionswert an diesem Punkt ist, d.h. für unseren Fall:
Grenzwert der Funktion gegen Null [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{x}, [/mm] da die Funktion g ja für alle x ohne 0 so definiert ist und das soll dasselbe sein wie der Funktionswert an der Stelle 0, d.h. f’(0), so ist g an der Stelle x=0 definiert.
Ich muss jetzt also den Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{x} [/mm] bilden und iwie zeigen, dass dieser gleich f’(0) ist. Man kann sicher irgendwie mit dem Differenzenquotienten argumentieren und würde schnell sehen, dass das hinkommt, aber ich verstehe nicht wieso man diesen überhaupt verwenden darf: ich möchte doch lediglich den Grenzwert der Funktion und nicht die Ableitung an dieser Stelle (Was mir ja der Grenzwert des Differenzenquotienten liefert??)
Ich verzweifle hier noch, wäre dankbar, wenn mir schnell jemand hilft...
Gruß
Theoretix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gilt doch [mm] f(h)=f(0)+f'(0)*h+o(h^2) [/mm] wenn f diffb- du willst denn Gw von
g(h)=f(h)/h
jetzt setz f(h) wie oben ein .
Gruss leduart
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Danke für die Antwort, leider sind wir stofflich noch nicht so weit, um diese Schreibweise für die Ableitung zu kennen, deshalb muss ich es irgendwie mit dem Differenzenquotienten lösen können?!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was heisst den bei euch f'=lim(f(x+h)-f(x))/h? doch
das heisst doch [mm] |(f(x+h)-f(x))/h-f'(x)|<\epsilon [/mm] falls [mm] h<\delta
[/mm]
also kann ich auch für [mm] h<\delta [/mm] schreiben [mm] f(x+h)-f(x)
das ist beinahe, was ich geschrieben habe. für x=0
[mm] f(h)\approx f(0)+f'(0)*h+h*\epsilon [/mm]
formulier die ungleichungen noch ordentlicher.
gruss leduart
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