Stetigkeit von Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Mi 14.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | f(x) = 2 [mm] x^{3} [/mm] + 2 x + 1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
die frage zu der aufgabe lautet, ob die funktion im gesamten definitionsbereich stetig ist?!
also ich weiß, dass die funktion im gesamten def-bereich stetig ist, falls [mm] \limes_{x \rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a) ist. dabei sei a [mm] \in [/mm] A und A [mm] \subset \IR.
[/mm]
f ist dann stetig auf A, falls f in jedem punkt von A stetig ist.
aber wie berechne ich das? was muss ich hier genau machen? die definition der stitgkeit verstehe ich ja. kann sie aber leider nicht anwenden.
kann mir jemand helfen?
grüße
ali
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Hallo piriyaie,
was dürft Ihr denn bisher verwenden?
> f(x) = 2 [mm]x^{3}[/mm] + 2 x + 1
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Na, bis hierher ist es auch noch keine Frage. 
> Hallo,
>
> die frage zu der aufgabe lautet, ob die funktion im
> gesamten definitionsbereich stetig ist?!
Ach, da ist sie ja.
> also ich weiß, dass die funktion im gesamten def-bereich
> stetig ist, falls [mm]\limes_{x \rightarrow a}[/mm] f(x) = f(a)
> ist. dabei sei a [mm]\in[/mm] A und A [mm]\subset \IR.[/mm]
>
> f ist dann stetig auf A, falls f in jedem punkt von A
> stetig ist.
Ist das alles, was Du benutzen darfst?
> aber wie berechne ich das? was muss ich hier genau machen?
> die definition der stitgkeit verstehe ich ja. kann sie aber
> leider nicht anwenden.
Da sollte in der Vorlesung ein Beispiel vorgekommen sein.
Gern wird einfach x=a+h gesetzt, dann kann man in Anwendung obiger Definition [mm] h\to0 [/mm] laufen lassen. Das kann man dann später bei der Differenzierbarkeit wieder aufwärmen.
Habt Ihr das so gemacht?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 15.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
Also nach langem forschen habe ich nun einen richtigen Lösungsvorschlag:
[mm] f(x)=2x^{3}+2x+1
[/mm]
dann lassen wir mal x gegen 1 laufen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}2x^{3}+2x+1=5
[/mm]
Dann nehmen wir eine konvergente folge [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] und setzten dafür ein:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1+\bruch{1}{n}} 2(1+\bruch{1}{n})^{3}+2(1+\bruch{1}{n})+1=
[/mm]
dann ausmultiplizieren, addieren usw.
[mm] =\limes_{x\rightarrow 1+\bruch{1}{n}}5+\bruch{8}{n}+\bruch{6}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty} 5+\bruch{8}{n}+\bruch{6}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}=5
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist an der Stelle x=1 stetig
(analog auch für jedes andere a)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist stetig auf ganz [mm] \IR
[/mm]
richtig?????????? :-D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Do 15.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also nach langem forschen habe ich nun einen richtigen
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x+1[/mm]
>
> dann lassen wir mal x gegen 1 laufen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}2x^{3}+2x+1=5[/mm]
Das ist schonmal gut.
>
> Dann nehmen wir eine konvergente folge [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm] und
> setzten dafür ein:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1+\bruch{1}{n}} 2(1+\bruch{1}{n})^{3}+2(1+\bruch{1}{n})+1=[/mm]
>
> dann ausmultiplizieren, addieren usw.
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow 1+\bruch{1}{n}}5+\bruch{8}{n}+\bruch{6}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty} 5+\bruch{8}{n}+\bruch{6}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{3}}=5[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) ist an der Stelle x=1 stetig
> (analog auch für jedes andere a)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) ist stetig auf ganz [mm]\IR[/mm]
Das passt leider nicht. Du musst, wenn du das Folgenkriterim nutzt, zeigen, dass es für alle Folgen klappt, nicht nur für deine Folge.
Besser:
Betrachte die beiden Grenzwerte
[mm] \lim\limits_{h\to0}f(a+h)=2\cdot(a+h)^{3}+2\cdot(a+h)+1
[/mm]
und
[mm] \lim\limits_{h\to0}f(a-h)=2\cdot(a-h)^{3}+2\cdot(a-h)+1
[/mm]
Stimmen sie überein, ist f(x) für alle a aus dem Definitionsbereich - hier [mm] \IR [/mm] - stetig.
>
>
> richtig?????????? :-D
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
hab vielen dank. habs jetzt kapiert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Fr 16.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ali,
> f(x) = 2 [mm]x^{3}[/mm] + 2 x + 1
> die frage zu der aufgabe lautet, ob die funktion im
> gesamten definitionsbereich stetig ist?!
Wie ist der Definitionsbereich von $f$ gewählt? Soll er ganz [mm] $\IR$ [/mm] sein? Davon gehe ich mal in meiner Antwort aus.
> also ich weiß, dass die funktion im gesamten def-bereich
> stetig ist, falls [mm]\limes_{x \rightarrow a}[/mm] f(x) = f(a)
> ist. dabei sei a [mm]\in[/mm] A und A [mm]\subset \IR.[/mm]
>
> f ist dann stetig auf A, falls f in jedem punkt von A
> stetig ist.
>
> aber wie berechne ich das? was muss ich hier genau machen?
> die definition der stitgkeit verstehe ich ja. kann sie aber
> leider nicht anwenden.
>
> kann mir jemand helfen?
>
> grüße
> ali
Zu zeigen ist, dass f für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] stetig in $a$ ist.
Betrachten wir also ein beliebig vorgegebenes [mm] $a\in\IR$ [/mm] und versuchen zu zeigen, dass f stetig in a ist.
Zu zeigen ist also [mm] $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. [/mm] Was bedeutet das? Es bedeutet [mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$ [/mm] für alle Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=a$.
[/mm]
Betrachten wir also eine beliebig vorgegebene Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ [/mm] und versuchen zu zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$ [/mm] gilt.
Die einfachste Methode dazu: Ihr kennt sicherlich Rechenregeln für Summen und Produkte konvergenter Folgen.
Wenn [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ [/mm] gilt, was gilt dann für das Konvergenzverhalten der Folge der [mm] $x_n*x_n?$
[/mm]
Was gilt also für das Konvergenzverhalten der Folge der [mm] $x_n*x_n*x_n=x_n^3$?
[/mm]
Was gilt also für das Konvergenzverhalten der Folge der [mm] $2*x_n^3$?
[/mm]
Bekanntlich konvergiert die konstante Folge mit Wert 2 gegen 2.
Was gilt also für das Konvergenzverhalten der Folge der [mm] $2*x_n$?
[/mm]
Was gilt also für das Konvergenzverhalten der Folge der [mm] $2*x_n^3+2*x_n$?
[/mm]
Bekanntlich konvergiert die konstante Folge mit Wert 1 gegen 1.
Was gilt also für das Konvergenzverhalten der Folge der [mm] $(2*x_n^3+2*x_n)+1=f(x_n)$?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
vielen vielen dank. habs kapiert
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