Stetigkeit x^2 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
mir ist das mit dem Abschätzen bei der Stetigkeit von Funktionen noch nicht so klar.
Als Beispiel [mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] : [mm] |f(x)-f(x_{0}|<\epsilon
[/mm]
=> [mm] |x^2-x_{0}^2|=|x-x_{0}||x+x_{0}|<\delta|x+x_{0}|<\delta|\bruch{x_{0}}{2}+x_{0}|=\bruch{3}{2}\delta x_{0}
[/mm]
[mm] \epsilon>0 [/mm] sei beliebig und Delta wird gewählt mit [mm] \bruch{3}{2}\delta x_{0}<\epsilon =>\delta:=min\{\bruch{x_{0}}{2},\bruch{2\epsilon}{3x_{0}}\}
[/mm]
Dieser Schritt [mm] \delta|x+x_{0}|<\delta|\bruch{x_{0}}{2}+x_{0}| [/mm] ist mir nicht klar. Woher weiß ich, dass [mm] x<\bruch{x_{0}}{2} [/mm] ist und wieso wähle ich als [mm] \delta [/mm] das Minimum aus 2 Möglichkeiten? Bei dem zweiten Term bleibt ja nur [mm] \epsilon [/mm] über wenn ich es zum Schluss für Delta einsetze, was ja auch Sinn ergibt. Aber beim ersten [mm] \bruch{3x_{0}^2}{4}, [/mm] was ja erst einmal ungleich [mm] \epsilon [/mm] ist.
Gruß
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Moin,
Antwort Editiert. Siehe Mitteilung.
Entschuldige.
ChopSuey
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Hi ChopSuey,
du hast [mm] \delta [/mm] so gewählt, damit sich alles wegkürzt und nur [mm] \epsilon [/mm] überbleibt, da der Ausdruck ja kleiner als [mm] \epsilon [/mm] sein soll.
Allerdings ist das [mm] \delta [/mm] bei dir auch von x abhängig, was es ja eigentlich nicht sein soll, oder geht das so in Ordnung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Fr 16.07.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi LordPippin,
> Allerdings ist das [mm]\delta[/mm] bei dir auch von x abhängig,
> was es ja eigentlich nicht sein soll, oder geht das so in
> Ordnung?
Nein, natürlich nicht. Entschuldige. Das war Blödsinn.
Vergiss was ich oben schrieb.
Ich korrigier das eben.
Grüße
ChopSuey
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Hallo LordPippin,
du kannst das Ganze auch strenger durchziehen mit der Dreiecksungleichung:
[mm] $|x-x_0|<\delta$:
[/mm]
[mm] $|x^2-x_0^2|=|x+x_0|\cdot{}|x-x_0|=|x-x_0+x_0+x_0|\cdot{}|x-x_0|\le (|x-x_0|+2|x_0|)\cdot{}|x-x_0|$
[/mm]
[mm] $<(\delta+2|x_0|)\cdot{}\delta$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein ...
Also [mm] $(\delta+2|x_0|)\cdot{}\delta<\varepsilon$
[/mm]
Löse mal mit quadr. Ergänzung: [mm] $\delta^2+2\delta|x_0|-\varepsilon=0$
[/mm]
Dann hast du ein passendes, von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] abhängiges [mm] $\delta$ [/mm] gefunden ...
Gruß
schachuzipus
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Hi schachuzipus,
wenn ich es nach [mm] \delta [/mm] auflöse bekomme ich [mm] \delta=\wurzel{|x_{0}|^2+\epsilon}-x_{0}
[/mm]
Also gibt es keinen richtigen Weg, sondern unzählige Wege, die alle - mal einfacher mal schwerer - zum Ziel führen.
Aber zu meiner anfänglichen Frage. Ich habe jetzt auch bei anderen Funktionen gesehen, dass [mm] x<\bruch{x_{0}}{2}. [/mm] Wie kommt man darauf?
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Huhu,
gehen wir mal anders ran.
Überleg dir mal, wieso für ausreichend kleine [mm] \delta [/mm] die Ungleichung
$x < [mm] 2x_0$ [/mm] für positive [mm] x_0 [/mm] gilt.
Dann überlege dir, dass das für die Ungleichung nachher eigentlich egal ist, ob [mm] x_0 [/mm] positiv oder negativ ist, da du für negative [mm] x_0 [/mm] einfach [mm] $|x+x_0| [/mm] = |(-1)(-x - [mm] x_0)| [/mm] = |-1|*|(-x) + [mm] (-x_0)| [/mm] = |(-x) + [mm] (-x_0)|$ [/mm] betrachtest.
Wenn du das verstanden hast, ist es zur letzten Erkenntnis nicht mehr weit.
Überleg dir nun, dass für ausreichend kleine [mm] \delta [/mm] und negative [mm] x_0 [/mm] gilt $x < [mm] \bruch{x_0}{2}$
[/mm]
Mit gleicher Begründung wie oben kannst du das dann auch für positive [mm] x_0 [/mm] verwenden.
Anmerkung von mir zur Abschätzung in eurer Aufgabe: Du wirst bemerken, dass es eigentlich egal ist, ob du die Abschätzung nachher mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] oder mit 2 machst. Es kommt letztlich das gleiche raus, das [mm] \delta [/mm] was du nachher bei [mm] \bruch{1}{2} [/mm] verwenden kannst, ist nur "größer" und damit allgemeiner. Aber letztlich ist es ja egal, weil es nur um die Existenz eines solchen [mm] \delta [/mm] 's geht, und da find ich die Abschätzung mit der 2 intuitiver und verständlicher als die mit der [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Fr 16.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
> mir ist das mit dem Abschätzen bei der Stetigkeit von
> Funktionen noch nicht so klar.
Oft klappt der Nachweis der Stetigkeit wie folgt beschrieben:
Gegeben sei eine Funktion von [mm] f:I\to\IR [/mm] auf einem Intervall [mm] I\subseteq\IR. [/mm] Das Intervall kann erstmal beliebig sein. Du interessierst Dich für die Stetigkeit in bei [mm] x_0\in [/mm] I. Nun beginne mit [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] und setze [mm] x:=x_0+h [/mm] mit h<>0:
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|f(x_0+h)-f(x_{0})|
[/mm]
Das Ziel ist es, zu zeigen, dass man das beliebig klein bekommt, wenn man nur |h| klein genug macht. Formal kann weiter umformen zu
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|f(x_0+h)-f(x_{0})|=\frac{|f(x_0+h)-f(x_{0})|}{|h|}|h|=:H(x_0,h)|h|
[/mm]
Jetzt muss man [mm] H(x_0,h) [/mm] nach oben unabhängig von h abschätzen:
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|f(x_0+h)-f(x_{0})|=\frac{|f(x_0+h)-f(x_{0})|}{|h|}|h|=:H(x_0,h)|h|\le H_{max}(x_0)|h|
[/mm]
Im Allgemeinen gelingt das nur für ein Intervall [mm] h\in(-a,a), [/mm] Das ist aber nicht weiter schlimm, wichtig ist, dass man durch eine Einschränkung [mm] h\in(-a,a) [/mm] eine obere Schranke [mm] H_{max}(x_0) [/mm] für [mm] H(x_0,h) [/mm] angeben kann.
Zusammengefaßt hast Du dann [mm] |f(x)-f(x_{0})|\le H_{max}(x_0)|h| [/mm] für [mm] h\in(-a,a). [/mm]
Jetzt setzt Du [mm] \delta:=\min(\epsilon/H_{max}(x_0),a) [/mm] zu einem gegebenen [mm] \epsilon>0. [/mm] Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
i) [mm] a<\epsilon/H_{max}(x_0). [/mm] Dann ist [mm] \delta=a [/mm] und man folgert
[mm] |h|=|x-x_0|<\delta=a<\epsilon/H_{max}(x_0)\Rightarrow\epsilon>H_{max}(x_0)|h|>|f(x)-f(x_{0})|
[/mm]
oder
ii) [mm] a\ge\epsilon/H_{max}(x_0). [/mm] Dann ist [mm] \delta=\epsilon/H_{max}(x_0) [/mm] und man folgert
[mm] |h|=|x-x_0|<\delta=\epsilon/H_{max}(x_0)\Rightarrow\epsilon>|h|H_{max}(x_0)>|f(x)-f(x_{0})|
[/mm]
In beiden Fällen gilt die letzte Ungleichung jeweils wegen [mm] h\in(-a,a).
[/mm]
Beispiel:
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] |x^2-x_0^2|=|(x_0+h)^2-x_0^2|=|(x_0^2+2hx_0+h^2-x_0^2|=|2hx_0+h^2|=|2x_0+h||h|=:H(x_0,h)|h|
[/mm]
Nun muss [mm] H(x_0,h)=|2x_0+h| [/mm] geeignet nach oben so abgeschätzt werden, dass das h nicht mehr auftritt. Da dieses [mm] H(x_0,h) [/mm] aber nicht beschränkt in h ist, gibt man sich [mm] h\in(-a,a):=(-1,1) [/mm] vor. Dann ist [mm] |2x_0+h|<|2x_0|+1=:H_{max}(x_0). [/mm] Jetzt setzt Du [mm] \delta:=\min(\epsilon/(|2x_0|+1),1)
[/mm]
Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
i) [mm] 1<\epsilon/(|2x_0|+1). [/mm] Dann ist [mm] \delta=1 [/mm] und man folgert
[mm] |h|=|x-x_0|<\delta=1<\epsilon/(|2x_0|+1)\Rightarrow\epsilon>(|2x_0|+1)|h|>|x^2-x_0^2|
[/mm]
oder
ii) [mm] 1\ge\epsilon/(|2x_0|+1). [/mm] Dann ist [mm] \delta=\epsilon/(|2x_0|+1) [/mm] und man folgert
[mm] |h|=|x-x_0|<\delta=\epsilon/(|2x_0|+1)\Rightarrow\epsilon>|h|(|2x_0|+1)>|x^2-x_0^2|
[/mm]
LG
gfm
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Hallo,
ich versuchs auch nochmal !
Also die Definition der Stetigkeit lautet ja:
[mm] \forall\epsilon>0\ \exists\ \delta>0 [/mm] so dass, [mm] |x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon [/mm] .
Nun ist [mm] f(x)=x^2
[/mm]
also
[mm] |f(x)-f(a)|=|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<\delta|x+a|
[/mm]
Nun ist [mm] |x+a|=|x-a+2a|\leq|x-a|+2|a|<\delta+2|a| [/mm] nach der Dreiecksungleichung, wie von schachuzipus gezeigt. Für [mm] \delta<1 [/mm] haben wir also |x+a|<2|a|+1, also für [mm] \delta=min\left\{1,\frac{\epsilon}{2|a|+1}\right\} [/mm] haben wir
[mm] |f(x)-f(a)|=|x+a||x-a|<\delta|x+a|<\delta*(2|a|+1)<\epsilon
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
wenn du nächstemal eine Frage hast, dann stell sie doch bitte auch als solche, dann sieht man das auch gleich
> [mm]|x-a|=|x-a+2a|\leq|x-a|+2|a|<\delta+2|a|[/mm]
Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Das was dasteht ist falsch, wieso fängst du mit $|x-a|$ an.
Kann nun einfach nen Tippfehler sein oder nen Hinweis, dass du nicht wirklich verstanden hast, was schachuzipus gemacht hat.
> Du wählst
> [mm]\delta=min\left\{1,\frac{\epsilon}{2|a|+1}\right\},[/mm] weil du
> [mm]\delta[/mm] so klein wie möglich haben möchtest.
Die Begründung ist Blödsinn. Eigentlich möchte man in der Mathematik Dinge sogar so allgemein wie möglich halten und ein grösseres [mm] \delta, [/mm] wär da besser.
Überleg dir nochmal, wieso man das Minimum nimmt, es ist hier am Ende sogar notwendig.
MFG,
Gono.
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Sa 17.07.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
es war eigentlich keine Frage, sondern der versuch es eventuell nochmal in anderen worten zu erklären, was ja oftmals hilfreich ist... aber danke, dass du mich darauf hingewiesen hast ! Habe es eben durchgelesen und mich gefragt, was für einen murks ich da geschrieben habe ! war etwas zu spät !
das mit dem fragen stellen krieg ich hin !
LG
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