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Stetigkeit zeigen: Ansatz
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:42 Mi 13/05/2015
Author: canyakan95

Aufgabe
Untersuchen sie an welchen Stellen die Funktion [mm] \IR \to \IR [/mm]
mit [mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\in\IQ \mbox{ } \\ 1-x, & \mbox{falls } x\in \IR \backslash \IQ \mbox{ } \end{cases} [/mm]



Hallo
ich bearbeite zum ersten mal die aufgabe und weis leider nicht wie ich hier anfangen soll.
Könnt ihr mir vllt ein Teil der Aufgabe zeigen oder einen Ansatz geben, wie ich anfangen soll.

Mfg

        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 23:49 Mi 13/05/2015
Author: fred97


> Untersuchen sie an welchen Stellen die Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\in\IQ \mbox{ } \\ 1-x, & \mbox{falls } x\in \IR\backslash\IQ \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>  
> Hallo
>  ich bearbeite zum ersten mal die aufgabe und weis leider
> nicht wie ich hier anfangen soll.
>  Könnt ihr mir vllt ein Teil der Aufgabe zeigen oder einen
> Ansatz geben, wie ich anfangen soll.
>  
> Mfg  

Ist  x eine feste reelle zahl, so gibt es eine Folge rationaler zahlen, die gegen x konvergiert und ebenso gibt es eine Folge irrationaler zahlen, die gegen x konvergiert.

Fred


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:54 Mi 13/05/2015
Author: canyakan95

Das heißt jetzt... ??

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 00:07 Do 14/05/2015
Author: leduart

Hallo
sagt dir der Begriff Folgenstetigkeit etwas?
oder in jeder Umgebung einer rationalen Zahl  gibt es reelle Zahlen. wenn du mit [mm] \epsilon \delta [/mm] beweisen willst.

Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:30 Do 14/05/2015
Author: fred97


> Das heißt jetzt... ??

1. Nimm an, f ist in [mm] x_0 \in \IR [/mm] stetig. Wähle eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] und eine Folge [mm] (i_n) [/mm] in [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] mit

   [mm] r_n \to x_0 [/mm]  und [mm] i_n \to x_0. [/mm]

Zeige damit: [mm] x_0=1/2. [/mm]

2. Überlege Dir dass gilt


    [mm] |f(x)-\bruch{1}{2}|=|x-\bruch{1}{2}| [/mm]   für alle x [mm] \in \IR. [/mm]

Daraus folgt dann, dass f in [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stetig ist.


Aus 1. und 2. bekommen wir: für [mm] x_0 \in \IR: [/mm]

    f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig  [mm] \gdw x_0=\bruch{1}{2} [/mm]


FRED


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