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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:04 Mi 31.10.2007 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Sei X ein kompakter, metrischer Raum und [mm] \mu:C(X) \to \IR [/mm] linear und positiv.
Zeige: [mm] \mu:(C(X),d_{\infty}) \to \IR [/mm] ist stetig! |
Hallo zusammen!
Ich hab folgenden Ansatz:
[mm] \mu:C(x)\to \IR [/mm] stetig [mm] \gdw \forall (f_{n})\subset [/mm] C(X), [mm] f_{n} \to [/mm] f
gilt [mm] \mu(f_{n})\to\mu(f)
[/mm]
Sei also [mm] f_{n}\tof [/mm] konvergente Folge
Zeige: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}: [/mm]
[mm] |\mu(f_{n})-\mu(f) [/mm] |< [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich darf außerdem noch benutzen, dass
[mm] |\mu(f)|\le\mu(|f|)
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Vielen Dank
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Hi,
> Sei X ein kompakter, metrischer Raum und [mm]\mu:C(X) \to \IR[/mm]
> linear und positiv.
> Zeige: [mm]\mu:(C(X),d_{\infty}) \to \IR[/mm] ist stetig!
> Hallo zusammen!
>
> Ich hab folgenden Ansatz:
> [mm]\mu:C(x)\to \IR[/mm] stetig [mm]\gdw \forall (f_{n})\subset[/mm] C(X),
> [mm]f_{n} \to[/mm] f
> gilt [mm]\mu(f_{n})\to\mu(f)[/mm]
>
> Sei also [mm]f_{n}\tof[/mm] konvergente Folge
>
> Zeige: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{0} \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}:[/mm]
> [mm]|\mu(f_{n})-\mu(f)[/mm] |< [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ich darf außerdem noch benutzen, dass
> [mm]|\mu(f)|\le\mu(|f|)[/mm]
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
> Vielen Dank
>
mir kommt diese aufgabe ein bisschen spanisch vor, vielleicht koennen andere hier auch noch etwas dazu sagen.
1.) du sagst, [mm] \mu [/mm] soll positiv und linear sein. Hmm.![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]") Normalerweise sollte eine lineare funktion an der stelle 0 (im vektorraum) den wert 0 annehmen. was eigentlich dann auch die existenz negativer funktionswerte impliziert. Merkwuerdig.
2.)laesst man diese bedenken einmal beiseite, koennte man so argumentieren
[mm] $|\mu(f_n)-\mu(f)|=|\mu(f_n-f)|\le \mu(|f_n-f|)$
[/mm]
da [mm] \mu [/mm] linear ist, muss es gegen 0 gehen, wenn das argument gegen 0 geht. Aber: wir nutzen dann nicht die kompaktheit des raumes aus...
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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