Stetigkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mi 27.05.2009 | | Autor: | myoukel |
| Aufgabe | | Seien A, B und C metrische Räume und g: A [mm] \rightarrow [/mm] B sowie f: B [mm] \rightarrow [/mm] C stetige Abbildungen. Man zeige die Stetigkeit von f [mm] \circle [/mm] g |
ich hab grad keine ahnung wie cih da rangehen soll, vielleicht ein kleiner tip?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien A, B und C metrische Räume und g: A [mm]\rightarrow[/mm] B
> sowie f: B [mm]\rightarrow[/mm] C stetige Abbildungen. Man zeige die
> Stetigkeit von f [mm]\circ[/mm] g
> ich hab grad keine ahnung wie cih da rangehen soll,
Wie immer, z.B. mit Folgen: Sei [mm] x_0 \in [/mm] A und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in A mit [mm] x_n \to x_0.
[/mm]
Zeige nun: [mm] $f(g(x_n)) \to f(g(x_0))$
[/mm]
FRED
> vielleicht ein kleiner tip?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 27.05.2009 | | Autor: | myoukel |
danke erstmal für den tipp, hab mir dann jetz mit der definition von stetigkeit was überlegt, ist das mathematisch korrekt??
Da g stetig ist, konvergiert [mm] g(x_k) [/mm] gegen [mm] g(x_0) [/mm] für jede Folge [mm] (x_k)_{k
\in N} [/mm] mit [mm] x_k \in [/mm] A, die gegen [mm] x_0 [/mm] kovergiert.
Da f stetig ist, konvergiert [mm] g(x_n) [/mm] gegen [mm] g(x_1) [/mm] für jede Folge [mm] (x_n)_{n \in N} [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] B, die gegen [mm] x_0 [/mm] kovergiert.
Daraus folgt mit [mm] x_n:=g(x_k) [/mm] (da [mm] x_n \in [/mm] B und [mm] g(x_k) \in [/mm] B) und [mm] x_1:=g(x_0) [/mm] (da [mm] x_1 \in [/mm] B und [mm] g(x_0) \in [/mm] B), dass [mm] f(g(x_k)) [/mm] gegen [mm] f(g(x_0)) [/mm] konvergiert, also f [mm] \circle [/mm] g stetig ist.
kann ich das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> danke erstmal für den tipp, hab mir dann jetz mit der
> definition von stetigkeit was überlegt, ist das
> mathematisch korrekt??
>
> Da g stetig ist, konvergiert [mm]g(x_k)[/mm] gegen [mm]g(x_0)[/mm] für jede
> Folge [mm](x_k)_{k
\in N}[/mm] mit [mm]x_k \in[/mm] A, die gegen [mm]x_0[/mm] kovergiert.
>
> Da f stetig ist, konvergiert [mm]g(x_n)[/mm] gegen [mm]g(x_1)[/mm] für jede
> Folge [mm](x_n)_{n \in N}[/mm] mit [mm]x_n \in[/mm] B, die gegen [mm]x_0[/mm]
> kovergiert.
>
> Daraus folgt mit [mm]x_n:=g(x_k)[/mm] (da [mm]x_n \in[/mm] B und [mm]g(x_k) \in[/mm]
> B) und [mm]x_1:=g(x_0)[/mm] (da [mm]x_1 \in[/mm] B und [mm]g(x_0) \in[/mm] B), dass
> [mm]f(g(x_k))[/mm] gegen [mm]f(g(x_0))[/mm] konvergiert, also f [mm]\circle[/mm] g
> stetig ist.
>
> kann ich das so machen?
Na ja, da gehts ein wenig durcheinander.
Sei [mm] x_0 \in [/mm] A. Ist [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in A mit [mm] x_n \to x_0, [/mm] so konvergiert [mm] (g(x_n)) [/mm] gegen [mm] g(x_0), [/mm] weil g stetig ist.
Da f stetig ist, konvergiert [mm] f(g(x_n)) [/mm] gegen [mm] f(g(x_0)).
[/mm]
Fazit: (f [mm] \circ g)(x_n) \to [/mm] (f [mm] \circ g)(x_0). [/mm] Somit ist f [mm] \circ [/mm] g in [mm] x_0 [/mm] stetig.
Da [mm] x_0 [/mm] beliebig in A war, ist f [mm] \circ [/mm] g stetig auf A
Ein anderer Beweis: Sei G eine offene Teilmenge von C. Da f stetig ist, ist F:= [mm] f^{-1}(C) [/mm] offen in B. Wegen der Stetigkeit von g ist [mm] g^{-1}(F) [/mm] offen in A.
Also ist
$(f [mm] \circ g)^{-1}(C) [/mm] = [mm] g^{-1}(f^{-1}(C))= g^{-1}(F) [/mm] $
offen in A
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mi 27.05.2009 | | Autor: | myoukel |
danke ich bin einfach nicht gut sowas strukturiert zu machen :P
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