Stetigkeitsbegriff < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ist es möglich bei Funktionen [mm] f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} [/mm] von Stetigkeit zu sprechen? |
Hallo,
bei der Definition bzgl. einer veränderlichen reellwertiger Funktionen steht nur, dass Definitionsbereich und Bildmenge Teilmengen reeller Zahlen sein sollen, was bei [mm] \mathbb{N} [/mm] der Fall wäre.
Wenn ich das Folgenkriterium rausgreife, dass sehe ich nicht, warum man bei solchen Funktionen nicht von Stetigkeit sprechen könnte.
Es gilt ja lim f(x)=f(a) für [mm] x\rightarrow [/mm] a, also für jede Folge [mm] x_n [/mm] gilt: sie konvergiert gegen a und daraus folgt [mm] f(x_n) [/mm] konvergiert gegen f(a).
Müssen diese Folgen komplett aus Gliedern meines Definitionsbereichs bestehen, also hier rein natürliche Zahlenfolgen sein? Z.b. f(n)=2n.
Ist sie stetig in n=1. Die einzige Folge die gegen 1 konvergiert und mir spontan einfällt, wäre [mm] x_n=1 [/mm] für alle n. Demnach wäre die Funktion stetig in 1.
Macht es Sinn bei solchen Fuktionen von Stetigkeit zu sprechen bzw. ist es aus irgendwelchen Gründen garnicht möglich den Begriff der Stetigkeit auf solche Abbildungen anzuwenden?
Muss für Stetigkeit der Definitionsbereich und/oder Bildbereich immer ein Intervall der reellen Zahlen sein?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Di 17.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist es möglich bei Funktionen [mm]f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/mm]
> von Stetigkeit zu sprechen?
Ja.
Kurze Antwort: jede Funktion $f : [mm] \IN \to \IN$ [/mm] ist stetig bzgl. der Spurtopologie auf [mm] $\IN$.
[/mm]
> bei der Definition bzgl. einer veränderlichen
> reellwertiger Funktionen steht nur, dass Definitionsbereich
> und Bildmenge Teilmengen reeller Zahlen sein sollen, was
> bei [mm]\mathbb{N}[/mm] der Fall wäre.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Wenn ich das Folgenkriterium rausgreife, dass sehe ich
> nicht, warum man bei solchen Funktionen nicht von
> Stetigkeit sprechen könnte.
> Es gilt ja lim f(x)=f(a) für [mm]x\rightarrow[/mm] a,
Ja.
> also für
> jede Folge [mm]x_n[/mm] gilt: sie konvergiert gegen a
Das gilt nicht fuer jede Folge!
> und daraus
> folgt [mm]f(x_n)[/mm] konvergiert gegen f(a).
Aus [mm] $\lim x_n [/mm] = a$ folgt, dass fast alle [mm] $x_n$ [/mm] gleich $a$ sind. Daraus wiederum folgt, dass [mm] $f(x_n)$ [/mm] fuer fast alle $n$ gleich $f(a)$ ist, womit [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(a)$ gilt.
> Müssen diese Folgen komplett aus Gliedern meines
> Definitionsbereichs bestehen, also hier rein natürliche
> Zahlenfolgen sein? Z.b. f(n)=2n.
> Ist sie stetig in n=1. Die einzige Folge die gegen 1
> konvergiert und mir spontan einfällt, wäre [mm]x_n=1[/mm] für
> alle n. Demnach wäre die Funktion stetig in 1.
Die Folge
[mm] $x_1 [/mm] = 1$, [mm] $x_2 [/mm] = 2$, [mm] $x_3 [/mm] = 3$, [mm] $x_4 [/mm] = 4$, [mm] $\dots$, $x_{10000} [/mm] = 10000$, [mm] $x_n [/mm] = 1$ fuer $n > 100000$ konvergiert auch gegen 1. Fuer sie klappt es ebenfalls.
> Macht es Sinn bei solchen Fuktionen von Stetigkeit zu
> sprechen bzw. ist es aus irgendwelchen Gründen garnicht
> möglich den Begriff der Stetigkeit auf solche Abbildungen
> anzuwenden?
Nun, bei [mm] $\IN$ [/mm] mit der Spurtopologie macht es nicht ganz so viel Sinn -- dann ist jede Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] offen, und somit jede Funktion von [mm] $\IN$ [/mm] weg stetig.
Interessant wird es erst, wenn du [mm] $\IN$ [/mm] mit einer anderen Topologie ausstattest.
> Muss für Stetigkeit der Definitionsbereich und/oder
> Bildbereich immer ein Intervall der reellen Zahlen sein?
Nein. Du brauchst topologische Raeume.
Lies mal ein wenig den Wikipedia-Artikel.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Di 17.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Sei $D [mm] \subseteq \IR$, x_0 \in \IR [/mm] und [mm] \delta>0 [/mm] so, dass
(*) $D [mm] \cap (x_0- \delta, x_0+ \delta) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Ist dann $f: D [mm] \cup \{x_0 \} \to \IR$ [/mm] eine Funktion, so gilt: f ist stetig in [mm] x_0
[/mm]
Beweis: Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in $D [mm] \cup \{x_0 \} [/mm] $ mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] , so gilt wegen (*): [mm] x_n= x_0 [/mm] für fast alle n. Somit ist [mm] f(x_n)=f(x_0) [/mm] für fast alle n. Daher konvergiert [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen [mm] f(x_0)
[/mm]
FRED
|
|
|
|
