Stetigkeitsbeweis < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 09.08.2007 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Überprüfen sie, ob die Funktion stetig, gleichmäßig stetig oder Lipschitz stetig ist.
f(x)=x*ln(x) |
Hi,
ich geh jetzt mal nur auf den ersten Fall ein. Die anderen krieg ich vielleicht hin, wenn mir jemand dabei geholfen hat das erste hinzukriegen. Ich denke ich weiss worum es geht, aber ich kann es irgendwie nicht umsetzen.
Also:
Ich muss das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] auf die Funktion anwenden aber unter der Voraussetzung der punktweisen Konvergenz. Denn wenn die Funktion gleichmäßig stetig ist, dann würde sie ja gleichmäßig konvergieren und das wäre dann ja eine andere Voraussetzung.
Da ja genau das der Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig ist, oder etwa nicht!?
Punktweise Konvergenz bedeutet doch:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] \forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon), [/mm] so dass [mm] \forall [/mm] n > [mm] N(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] |f_{n}(x)-f(x_{0})|<\varepsilon
[/mm]
Im Grunde bedeutet es doch, das ich mir ein [mm] \varepsilon [/mm] und ein x [mm] \in \ID [/mm] vorgebe und zeige das für dieses x und für dieses Epsilon das Kriterium gilt oder aber nicht, also das gilt:
[mm] \exists \varepsilon>0 [/mm] und [mm] \exists \delta>0 [/mm] mit: [mm] |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon
[/mm]
Nur wie gehe ich genau vor? Ich habe absolut keine Ahnung. Ich habe mich schon an meinem Skript versucht zu orientieren, aber im Moment weiss ich nicht weiter.
Gruß,
clwoe
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> Überprüfen sie, ob die Funktion stetig, gleichmäßig stetig
> oder Lipschitz stetig ist.
>
> f(x)=x*ln(x)
> Hi,
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> ich geh jetzt mal nur auf den ersten Fall ein. Die anderen
> krieg ich vielleicht hin, wenn mir jemand dabei geholfen
> hat das erste hinzukriegen. Ich denke ich weiss worum es
> geht, aber ich kann es irgendwie nicht umsetzen.
>
> Also:
>
> Ich muss das [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] auf die Funktion
> anwenden aber unter der Voraussetzung der punktweisen
> Konvergenz. Denn wenn die Funktion gleichmäßig stetig ist,
> dann würde sie ja gleichmäßig konvergieren und das wäre
> dann ja eine andere Voraussetzung.
> Da ja genau das der Unterschied zwischen stetig und
> gleichmäßig stetig ist, oder etwa nicht!?
>
> Punktweise Konvergenz bedeutet doch:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon),[/mm]
> so dass [mm]\forall[/mm] n > [mm]N(\varepsilon)[/mm] gilt:
> [mm]|f_{n}(x)-f(x_{0})|<\varepsilon[/mm]
Du machst ein Durcheinander zwischen der gefragten Diskussion der Stetigkeit (gleichmässigen Stetigkeit, Lipschitz-Stetigkeit) einer Funktion und den Begriffen der punktweisen bzw. gleichmässigen Konvergenz einer Folge von Funktionen.
1. Stetigkeit von $f$ bedeutet
[mm]\forall x_0\in D_f \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x\in D_f \big(|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\big)[/mm]
Eventuell ist dieser Beweis für [mm] $f(x)=x\cdot \ln(x)$ [/mm] allerdings eine Trivialität: falls Du nämlich weisst und benutzen darfst, dass das Produkt stetiger Funktionen stetig ist (sowie dass [mm] $x\mapsto [/mm] x$ und [mm] $x\mapsto \ln(x)$ [/mm] stetig sind).
Falls Du dies aber nicht benutzen darfst gehst Du etwa so vor: Seien [mm] $x_0\in D_f$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig(gegeben). Gesucht ist ein [mm] $\delta$ [/mm] so dass für alle [mm] $x\in D_f$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt:
[mm]|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon[/mm]
Dann wirst Du versuchen, das gesuchte [mm] $\delta$ [/mm] aufgrund der Stetigkeit von [mm] $x\mapsto [/mm] x$ und [mm] $x\mapsto \ln(x)$ [/mm] zu bestimmen. Dazu verwendet man einen allseits beliebten Trick der Abschätzung von oben der folgenden Art:
[mm]|x\ln(x)-x_0\ln(x_0)|=|(x-x_0)\ln(x)+x_0(\ln(x)-\ln(x_0)|< |x-x_0|\cdot |\ln(x)|+|x_0|\cdot |\ln(x)-\ln(x_0)| \overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
2. Gleichmässige Stetigkeit von $f$ bedeutet:
[mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x, x_0\in D_f\big(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\big)[/mm]
Hier muss man also ein [mm] $\delta>0$ [/mm] aufgrund der alleinigen Kenntnis von [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ wählen können: ohne [mm] $x_0\in D_f$ [/mm] schon zu kennen.
Anschaulich gesprochen besteht der dringende Verdacht, dass $f$ nicht gleichmässig stetig ist, weil der Graph von $f$ mit [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] zunehmende Steigung hat. Diese anschaulich begründete Vermutung verweist auf die Möglichkeit, die gleichmässige Stetigkeit von $f$ mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung zu widerlegen. Die Ableitung von $f$ ist ja [mm] $f'(x)=\ln(x)+1$. [/mm] Der Mittelwertsatz besagt nun, dass es zu [mm] $x,x_0\in D_f$ [/mm] (mit, o.b.d.A. [mm] $x_0< [/mm] x$) ein [mm] $\xi\in \;]x_0;x[$ [/mm] gibt, so dass gilt:
[mm]f(x)-f(x_0) = f'(\xi)\cdot (x-x_0)[/mm]
bzw. wenn man die Beträge nimmt:
[mm]|f(x)-f(x_0)| = |f'(\xi)|\cdot |(x-x_0)|[/mm]
Nun benutzt Du also diese Beziehung und die Tatsache, dass [mm] $f'(\xi)>f'(x_0) \underset{x_0\uparrow \infty}{\rightarrow} +\infty$, [/mm] um zu zeigen, dass $f$ nicht gleichmässig stetig ist.
3. Lipschitz-Stetigkeit von $f$ ist eine stärkere Aussage als gleichmässige Stetigkeit von $f$ (die wir in 2. schon widerlegt haben), so dass $f$ auch nicht Lipschitz-stetig sein kann, weil $f$ noch nicht einmal gleichmässig stetig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Do 09.01.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Anschaulich gesprochen besteht der dringende Verdacht, dass
> [mm]f[/mm] nicht gleichmässig stetig ist, weil der Graph von [mm]f[/mm] mit [mm]x\rightarrow +\infty[/mm] zunehmende Steigung hat.
da verwechselst du gleichmäßige mit Lipschitz-Stetigkeit.
Es gibt sehr wohl gleichmäßig stetige Funktionen, deren Ableitung gegen unendlich geht.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Fr 10.08.2007 | | Autor: | clwoe |
Danke für die Antwort.
Allerdings verstehe ich nicht, warum du bei der ersten Abschätzung ein Gleichheitszeichen zwischen dem ersten und zweiten Ausdruck machst. Ich kann nicht erkennen wie der zweite Ausdruck zustande kommt. Und warum habe ich durch diese Abschätzung mein Delta abgeschätzt. Es steht doch nur dort das das Ganze dann kleiner als Epsilon ist, aber wie resultiert daraus mein Delta?
Oder bedeutet das, das egal für welches Delta, die Ungleichung immer erfüllt ist und somit ja auch die stetigkeit bewiesen ist??? Das ist das Einzige was mir plausibel erscheint.
Vielleicht könntest du die Antwort noch ein bisschen erörtern? Wäre echt super. Ich versuch es derweil mal zu durchdenken und es besser zu verstehen.
Gruß,
clwoe
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> Danke für die Antwort.
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> Allerdings verstehe ich nicht, warum du bei der ersten
> Abschätzung ein Gleichheitszeichen zwischen dem ersten und
> zweiten Ausdruck machst.
Du kannst ja das, was nach dem ersten Gleichheitszeichen im Betrag drin steht ausmultiplizieren: das sollte dann das selbe geben: andernfalls hätte ich einen Fehler gemacht. Lass mich dies gleich mal kontrollieren:
[mm](x-x_0)\ln(x)+x_0(\ln(x)-\ln(x_0)=x\ln(x)-x_0\ln(x)+x_0\ln(x)-x_0\ln(x_0)=x\ln(x)-x_0\ln(x_0)[/mm]
Dies scheint also richtig zu sein. Das erste Gleichheitszeichen gilt hier wegen blossen Ausmultiplizierens, das zweite, weil sich die beiden mittleren Terme gegenseitig aufheben, so dass nur der gewünschte Term [mm] $x\ln(x)-x_0\ln(x_0)$ [/mm] übrig bleibt.
> Ich kann nicht erkennen wie der
> zweite Ausdruck zustande kommt.
Die Ideengeschichte dieses Tricks ist wieder eine ganz andere Frage. Du kannst ihn vielleicht mit der sogenannten Produktregel der Differentialrechnung vergleichen.
> Und warum habe ich durch
> diese Abschätzung mein Delta abgeschätzt. Es steht doch nur
> dort das das Ganze dann kleiner als Epsilon ist, aber wie
> resultiert daraus mein Delta?
Ich habe deshalb ja über das kleiner-als Zeichen $<$ ein Ausrufezeichen gesetzt: um damit anzudeuten, dass das Ziel ist zu zeigen, dass diese Ungleichheit gilt ("!" := "soll gelten"), sofern [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] ist, für ein geeignet gewähltes [mm] $\delta$.
[/mm]
Dieses [mm] $\delta$ [/mm] musst Du nun aufgrund des Ausdrucks auf der linken Seite des Ungleichheitszeichens $<$ geeignet wählen. Weil z.B. [mm] $\ln(x)$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, kannst Du mit genügend kleinem [mm] $\delta$ [/mm] erzwingen, dass [mm] $|\ln(x)|$ [/mm] nur wenig von [mm] $|\ln(x_0)|$ [/mm] abweicht. Genauso kannst Du mit genügend kleinem [mm] $\delta$ [/mm] erzwignen, dass [mm] $|\ln(x)-\ln(x_0)|$ [/mm] genügend klein wird. Da Du [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] kennst, kannst Du aufgrund solcher Überlegungen den Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung kleiner als das vorgegebene [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] d.h. die rechte Seite der Ungleichung, machen, sofern nur [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] ist.
> Oder bedeutet das, das egal für welches Delta, die
> Ungleichung immer erfüllt ist
Nein, nein (siehe oben): das Delta muss so gewählt werden, dass das abschliessende Ungleichheitszeichen $<$ für das vorgegebene [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $x_0\in D_f$ [/mm] auch tatsächlich gilt. Was ich Dir geliefert habe ist nicht eine Vorlage zur Abschrift, sondern einen (allerdings doch schon relativ weit geführten) Lösungshinweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Fr 10.08.2007 | | Autor: | clwoe |
Ok alles klar, ich denke ich habe es soweit verstanden.
Nur jetzt kommt genau mein Problem. Wie soll ich Delta denn wählen, damit die Ungleichung erfüllt ist???
Und wenn ich eines gewählt habe muss ich ja noch zeigen das die Ungleichung auch wirklich erfüllt ist.
Könntest du mir vielleicht mal einen Vorschlag machen diesbezüglich.
PS: Ich hasse diese Stetigkeitsbeweise, da bin ich immer total planlos.
Ich kenne zwar die Definitionen, aber das Problem ist die Durchführung.
Gruß,
clwoe
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> Ok alles klar, ich denke ich habe es soweit verstanden.
>
> Nur jetzt kommt genau mein Problem. Wie soll ich Delta denn
> wählen, damit die Ungleichung erfüllt ist???
>
> Und wenn ich eines gewählt habe muss ich ja noch zeigen das
> die Ungleichung auch wirklich erfüllt ist.
Ich möchte nun nicht wirklich einen Roman schreiben. Also gebe ich einfach mal nur das Nötigste durch:
Da [mm] $\ln(x)$ [/mm] stetig ist, gibt es ein [mm] $\delta_1>0$, [/mm] so dass gilt:
[mm]|x-x_0|< \delta_1 \Rightarrow |\ln(x)|< |\ln(x_0)|+1[/mm]
und ein [mm] $\delta_2>0$, [/mm] so dass gilt:
[mm]|x-x_0|< \delta_2 \Rightarrow |\ln(x)-\ln(x_0)|< \frac{\varepsilon}{2|x_0|}[/mm]
(Wir nehmen hier an, dass [mm] $x_0> [/mm] 0$ ist. Wem dies nicht gefällt, der wähle [mm] $\delta_2>0$ [/mm] einfach so, dass sogar [mm] $|x-x_0|<\delta_2\Rightarrow |\ln(x)-\ln(x_0)| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}$ [/mm] gilt.)
Wenn wir nun davon ausgehen, dass wir das gesuchte [mm] $\delta$ [/mm] jedenfalls nicht grösser als [mm] $\min(\delta_1,\delta_2)$ [/mm] wählen und also zumindest [mm] $|x-x_0|< \delta \leq \delta_1,\delta_2$ [/mm] gilt, dann können wir die linke Seite der noch zu beweisenden Ungleichung:
[mm]|x-x_0|\cdot |\ln(x)|+|x_0|\cdot |\ln(x)-\ln(x_0)| \overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
wie folgt nach oben abschätzen:
[mm]|x-x_0|\cdot |\ln(x)|+|x_0|\cdot |\ln(x)-\ln(x_0)| \leq |x-x_0|\cdot (|\ln(x_0)|+1)+|x_0|\cdot \frac{\varepsilon}{2|x_0|} = |x-x_0|\cdot (|\ln(x_0)|+1)+\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
Daher müssen wir nur noch sicherstellen, dass [mm] $\delta$ [/mm] auch klein genug ist, so dass folgende Ungleichung gilt:
[mm]|x-x_0|\cdot (|\ln(x_0)|+1)+\frac{\varepsilon}{2} \overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
Isolieren wir in dieser Ungleichung [mm] $|x-x_0|$ [/mm] auf der linken Seite, so besagt dies, dass
[mm]|x-x_0|< \frac{\varepsilon}{2(|\ln(x_0)|+1)}[/mm]
gelten muss. Damit haben wir das gesuchte [mm] $\delta>0$ [/mm] endgültig bestimmt: wir setzen einfach [mm] $\delta [/mm] := [mm] \min(\delta_1,\delta_2,\frac{\varepsilon}{2(|\ln(x_0)|+1)})$.
[/mm]
Nachtrag (Revision 1): Man könnte das gesuchte [mm] $\delta [/mm] > 0$ auch mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung bestimmen. Dies wäre vielleicht sogar eine Spur einfacher. (Siehe dazu auch meine früheren Bemerkungen zum Beweis, dass [mm] $f(x)=x\ln(x)$ [/mm] nicht gleichmässig stetig ist (ebenfalls mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung).
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Guten Abend,
ich stehe vor der selben Aufgabenstellung und habe den Beweis für die Stetigkeit schon gut hin bekommen. Aber bei dem Beweis zur gleichmäßigen Stetigkeit hänge ich noch an dem Beweis mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Ich habe die Funktion f(x)=x*ln(x) mit x Element aus (0,1] und soll dafür die gleichmäßige Stetigkeit zeigen bzw. widerlegen.
Am besten soll es wohl mit dem Mittelwertsatz gehen aber wie genau mach ich das (besonders für das Intervall)?
Ich weiß ich muss [mm] f'(\xi) [/mm] bilden, also den Mittelwert.
Dann gibt es die Gleichung [mm] |f(x)-f(x_0)|=|f'(\xi)|*|(x-x_0)|
[/mm]
Und wie oben gelesen sollte ich mit dieser Gleichung und der Tatsache, dass [mm] f'(\xi)>f'(x_0)-> [/mm] +unendlich geht, zeigen können, dass die Funktion (nicht) gleichmäßig stetig ist. Wie genau geht das...Stehe leider auf dem Schlauch.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Mfg Canonforever1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Do 09.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da war doch
[mm] \delta=min( [/mm] , , [mm] f(x_0))) [/mm] kannst du dür alle x aus dem Intervall [mm] f(x_0) [/mm] durch eine feste Größe abschätzen?
Gruss leduart
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Hallo,
Ich habe bei der Stetigkeit ein [mm] \delta:=(\delta_1, \delta_2,\bruch{\epsilon}{2*(|ln(x_0)|+1)} [/mm] ) heraus bekommen.
Wenn ich in [mm] 2*(|ln(x_0)|+1) [/mm] das [mm] x_0 [/mm] immer kleiner werden lasse wird auch der Gesamte Ausdruck immer kleiner. Da dieser im Nenner steht das gesamte [mm] \bruch{\epsilon}{2*(|ln(x_0)|+1)} [/mm] immer größer. Also besteht keine Abhängigkeit von [mm] \delta, [/mm] da [mm] \delta< \bruch{\epsilon}{2*(|ln(x_0)|+1)} [/mm] sein muss. Damit ist die Funktion im Intervall gleichmäßig stetig...Meintest du das so ?
Grüße, Canonforever1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Do 09.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, genau umgekehrt zu einem festen [mm] \epsilon>0 [/mm] musst du [mm] \delta [/mm] immer kleiner wählen abhängig von [mm] x_0 [/mm] also ist die fkt nicht gleichmäsig stetig, du kannst kein [mm] \delta [/mm] unabh, von [mm] x_0 [/mm] wählen!
Gruß leduart
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Hallo,
okay vielen Dank schonmal, jetzt habe ich es glaube ich verstanden. Ein Denkfehler hat sich da wohl eingeschlichen
Noch eine Frage zur Notation.
Ich würde es so aufschreiben:
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 fest.
Abhängig von [mm] x_0 [/mm] muss man das [mm] \delta [/mm] immer kleiner wählen, damit die Ungleichung erfüllt ist => Es ist nicht möglich ein [mm] \delta [/mm] unabhängig von [mm] x_0 [/mm] zu wählen => Funktion ist nicht gleichmäßig stetig im Intervall xE (0,1].
Das würde die Aufgabe vollständig lösen oder ?
Mfg Canonforever1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Fr 10.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Text ist richtig, muss aber durch Formeln, bzw Abschätzungen gezeigt werden, so ist das nur eine Beschreibung für nicht glm. stetig.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Leduart hatte ja schon was zu der "nicht glm. Stetigkeit" gesagt. Ich gebe
Dir mal den Tipp, wenn Du [mm] $f(x):=x\ln(x)\,$ [/mm] hast, entweder nachzugucken, dass
ihr einen Satz der Art "glm. stetige Funktionen bilden Cauchyfolgen auf
Cauchyfolgen ab", hattet - sowas kann man hier anwenden (Widerspruchsbeweis).
Oder aber Du plottest Dir mal einfach
$0 < x [mm] \mapsto x*\ln(x)\,.$
[/mm]
Die "nicht vorhandende glm. Stetigkeit" scheint sich dann doch so beweisen
zu lassen - Idee: Wenn ich nur mit [mm] $x,y\,$ [/mm] "weit genug nach rechts" gehe,
dann wird, auch, wenn ich den Abstand zwischen [mm] $x,y\,$ [/mm] konstant lasse, der
Abstand der zugehörigen Funktionswerte wachsen. Jetzt das ganze 'formaler':
1. Wir betrachten mal $x > [mm] 0\,.$ [/mm]
2. Sei nun $0 < [mm] \delta'$ [/mm] fest. Weil $0 < x [mm] \mapsto [/mm] x * [mm] \ln(x)$ [/mm] für genügend große
[mm] $x\,$ [/mm] (streng) wachsend ist, können wir (für diese genügend großen [mm] $x\,$) [/mm]
[mm] $|f(x)-f(x+\delta')|$ [/mm] so ausrechnen:
[mm] $|f(x)-f(x+\delta')|=f(x+\delta')-f(x)=(x+\delta')\ln(x+\delta')-x\ln(x)\,.$
[/mm]
Zudem können wir auch $x > [mm] 1\,$ [/mm] einschränkungslos annehmen, dann
[mm] $|f(x)-f(x+\delta')|=\delta'\ln(x+\delta')+x\ln(x+\delta')-x\ln(x)=\delta'\ln(x+\delta')+x*\ln(\tfrac{x+\delta'}{x})$
[/mm]
[mm] $=\delta'\ln(x+\delta')+x*\ln(1+\tfrac{\delta'}{x}) \;\ge\;\delta' \ln(x+\delta').$
[/mm]
Überlege Dir, inwiefern Dir das hilft, um einzusehen, dass die Funktion nicht
glm. stetig ist.
Hinweis: Die Ungleichung zeigt hier viel mehr als das, was man eigentlich
braucht. Nötig wäre nur:
Es gibt ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass gilt: Für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt es mindestens ein Paar
[mm] $(x_\delta,y_\delta)$ [/mm] (mit [mm] $x_\delta, y_\delta [/mm] > 0$) so, dass [mm] $|x_\delta-y_\delta| [/mm] < [mm] \delta,$ [/mm] aber
[mm] $|f(x_\delta)-f(y_\delta)| \ge \epsilon_0\,.$ [/mm]
Wir können oben sogar unendlich viele solcher Paare hinschreiben, und das
eigentlich auch noch zu sogar jedem [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$.
(Hinweis für ein spezielles [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$:
Betrachte mal [mm] $\epsilon_0:=1/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wie kann man, wenn $0 < [mm] \delta'$ [/mm] vorgegeben ist,
dann $x > 0$ so wählen, dass
[mm] $\delta'*\ln(x+\delta') \ge [/mm] 1/2$
gilt?)
Was Du aber auf jeden Fall machen solltest:
a) Überlege Dir/Finde ein $x' > 0$ so, dass die Einschränkung der Funktion auf
[mm] $[x',\infty)$ [/mm] auch (streng) wachsend ist und beweise diese Behauptung!
b) Begründe meine Abschätzung detailliert - beachte dabei auch, dass
$x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] für $x > [mm] 1\,$ [/mm] stets echt positiv ist!
Gruß,
Marcel
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