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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Di 13.01.2009 | | Autor: | Vitalis |
| Aufgabe | | Eine Urne soll gleich viele weiße und schwarze Kugeln enthalten. Bei 100 Ziehungen mit Zurücklegen erhält man 30 schwarze Kugeln. Was ist zu diesem Stichprobenergebnis zu sagen? |
Habe zwar die Lösung, verstehe eine Sache allerdings nicht.
Die Kettenlänge ist n= 100 und die Wahrscheinlichkeit p= 0, 5 aber weshalb beträgt Z= Anzahl der schwarzen Kugeln [mm] Z\le [/mm] 30 ? Warum beträgt Z nicht Z=30?
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Hallo Vitalis,
> Eine Urne soll gleich viele weiße und schwarze Kugeln
> enthalten. Bei 100 Ziehungen mit Zurücklegen erhält man 30
> schwarze Kugeln. Was ist zu diesem Stichprobenergebnis zu
> sagen?
> Habe zwar die Lösung, verstehe eine Sache allerdings
> nicht.
> Die Kettenlänge ist n= 100 und die Wahrscheinlichkeit p=
> 0, 5 aber weshalb beträgt Z= Anzahl der schwarzen Kugeln
> [mm]Z\le[/mm] 30 ? Warum beträgt Z nicht Z=30?
Es wurde ja nicht eine Ziehung gemacht, du musst die Aussage so verstehen, dass man höchstens 30 schwarze Kugeln gezogen hat, also jedenfalls nicht mehr und nicht die behaupteten ca. 50 Kugeln.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Vitalis |
Wiese will man wissen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist höchstens 30 und nicht genau 30 zu erhalten? So richtig versteh ich das ehrlich gesagt noch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mi 14.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Ich verstehe die Aufgabe so: Man moechte entscheiden, ob in der Urne gleichviel Kugeln von jeder Sorte vorhanden sind (Hypothese H). Was
laesst uns daran zweifeln? Z.B. Wenn in 100 Zuegen (m.Z.) keine weisse oder 100 weisse Kugeln gezogen werden. Auch ein "legitimes" Kriterium ist es zu zweifeln, wenn 0 oder 1 bzw 99 oder 100 weisse Kugeln gezogen werden. Man kann also Grenze [mm] $k_1$ [/mm] oder [mm] $k_2$ [/mm] vorzugeben, von den man sagt: "Ich bezweifle H, wenn hoechstens [mm] $k_1$ [/mm] oder mindestens [mm] $k_2$ [/mm] weisse Kugeln gezogen werden."
Die Zahl 30 kannst du als eine derartige Grenze [mm] k_1 [/mm] begreifen, und wir
fragen danach "Ist es sehr (un)wahrscheinlich, hoechstens 30 Kugeln zu erhalten, wenn H zutrifft?"
Die Kenntnis der Wsk $P(Z=30)$ ist in diesem Zusammenhang nicht sehr
hilfreich. In der Tat: Man berechnet $P(Z=30)=0.0000232$, wenn H
zutrifft. Aber spricht das dafuer, dass H zutrifft oder nicht?
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mi 14.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
um an die Worte meines Vorredners (informix) anzuknuepfen: Man
interessiert sich dafuer, "wie wahrscheinlich" es ist, hoechstens 30
schwarze Kugeln zu ziehen, wenn beide Kugelarten im selben Verhaeltnis
vorhanden sind, was ja behauptet wird.
vg Luis
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> Eine Urne soll gleich viele weiße und schwarze Kugeln
> enthalten. Bei 100 Ziehungen mit Zurücklegen erhält man 30
> schwarze Kugeln. Was ist zu diesem Stichprobenergebnis zu
> sagen?
> Habe zwar die Lösung, verstehe eine Sache allerdings
> nicht.
> Die Kettenlänge ist n= 100 und die Wahrscheinlichkeit p=
> 0, 5 aber weshalb beträgt Z= Anzahl der schwarzen Kugeln
> [mm]Z\le[/mm] 30 ? Warum beträgt Z nicht Z=30?
Hallo Vitalis,
Man kann schon ohne Rechnung vermuten, dass
das Ereignis "Z=30" wohl sehr unwahrscheinlich
ist. Ein Ereignis wie etwa "Z=48" oder "Z=55"
würde man dagegen als ziemlich "normal" einstufen.
Allerdings hat das Ereignis "Z=55" eine Wahrschein-
lichkeit unter 5 Prozent.
Am Ereignis "Z=30" ist erstaunlich, wie weit
unterhalb des Erwartungswertes 50 es liegt. Auch
die Ereignisse "Z=29", "Z=28", ... , "Z=0" wären
ebenso auffällig. Wenn man also zeigen kann, dass
das gesamte Ereignis [mm] "0\le Z\le [/mm] 30" schon sehr
unwahrscheinlich ist, dann wird mit einem Schlag
die Unwahrscheinlichkeit aller so grossen Abwei-
chungen nach unten deutlich gemacht.
Zur Aufgabenstellung, die du angegeben hast, ist
allerdings zu sagen, dass sie präziser sein dürfte.
Wenn da nur gefragt ist: "Was ist dazu zu sagen ?",
kann man sich auch recht verschiedene Antworten
vorstellen, die alle richtig wären.
LG
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In der Aufgabenstellung heisst es:
"Eine Urne soll gleich viele weiße und schwarze
Kugeln enthalten."
Was ist damit genau gemeint, insbesondere mit
dem "soll" ? Ist es nun so, dass die Urne tatsächlich
gleich viele weisse und schwarze Kugeln enthält,
oder ist damit gemeint: "da ist jemand, der behaup-
tet, in der Urne seien gleichviele schwarze und
weisse Kugeln" ?
Im ersten Fall, wenn gesichert ist, dass gleich
viele schwarze und weisse Kugeln drin waren,
kann man das Ziehungsergebnis nur zur Kenntnis
nehmen und feststellen, dass soeben ein sehr
unwahrscheinliches Ergebnis eingetreten ist.
Im zweiten Fall, wenn die genaue Zahl der weissen
und schwarzen Kugeln in der Urne unbekannt ist
und nur eine Behauptung vorliegt (dass gleich viele
schwarze und weisse Kugeln in der Urne seien)
kann man das unter dieser Annahme sehr unwahr-
scheinliche Ergebnis zum Anlass nehmen, um die
Behauptung mit statistischen Mitteln in Frage zu
ziehen. Das Mass der Unwahrscheinlichkeit des
festgestellten Ziehungsergebnisses unter der
Annahme der Gleichverteilung ist dann ein fast
erdrückendes Argument gegen diese Hypothese.
LG
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