Stichprobenvarianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Mi 07.11.2012 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | Seien [mm] (X_{n})_{n} [/mm] unabhängige, identisch verteilte ZV mit Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und Varianz [mm] \sigma^{2}. [/mm] Sei [mm] \overline{X}_{n} [/mm] das arithmetische Mittel der ersten n und [mm] S^{2}_{n}:= \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} (X_{k}-\overline{X}_{n})^{2}. [/mm] Untersuchen Sie [mm] S^{2}_{n} [/mm] auf P-fast sichere Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert. |
Hallo!
Das Ding soll wohl auch fast sicher konvergieren, wohl gegen [mm] \sigma^{2}, [/mm] was ja der Erwartungswert ist, wie wir schon berechnet haben. Um die Konvergenz zu zeigen, soll man wohl wie das beim arithmetischen Mittel auch geht das Starke Gesetz der Großen Zahlen anwenden, doch sehe ich nicht, wie man das hierauf anwenden könnte.
Man kann das ganze Ding ja mal nen bisschen anders hinschreiben:
[mm] S^{2}_{n}= \frac{1}{n-1} \sum_{k} X_{k}^{2} [/mm] - [mm] \overline{X}_{n}^{2}
[/mm]
oder
= [mm] \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} (X_{k}-\mu)^{2} [/mm] + 2 ( [mm] X_{k}- \mu [/mm] ) ( [mm] \overline{X}_{n} [/mm] - [mm] \mu [/mm] ) + ( [mm] \mu [/mm] - [mm] \overline{X}_{n})^{2}
[/mm]
Wie die erste Darstellung helfen kann, sehe ich nicht. Bei der zweiten sollten "vorne" und "hinten" fast sicher gegen 0 konvergieren.
Was übrig bleibt ist
- [mm] \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} [/mm] ( [mm] X_{k} [/mm] - [mm] \mu [/mm] ) ( [mm] \sum_{l=1}^{n} X_{l}- \mu [/mm] )
Warum das aber fast sicher gegen [mm] \sigma^{2} [/mm] konvergieren sollte, sehe ich nicht, find ich nichtmal plausibel, also muss schon oben irgendwas falsch sein...
|
|
| |
|
Hi,
> Seien [mm](X_{n})_{n}[/mm] unabhängige, identisch verteilte ZV mit
> Erwartungswert [mm]\mu[/mm] und Varianz [mm]\sigma^{2}.[/mm] Sei
> [mm]\overline{X}_{n}[/mm] das arithmetische Mittel der ersten n und
> [mm]S^{2}_{n}:= \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} (X_{k}-\overline{X}_{n})^{2}.[/mm]
> Untersuchen Sie [mm]S^{2}_{n}[/mm] auf P-fast sichere Konvergenz und
> bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.
> Man kann das ganze Ding ja mal nen bisschen anders
> hinschreiben:
> [mm]S^{2}_{n}= \frac{1}{n-1} \sum_{k} X_{k}^{2}[/mm] - [mm]\overline{X}_{n}^{2}[/mm]
Das stimmt leider schon nicht.
> oder
> = [mm] \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n}\red{\left(} (X_{k}-\mu)^{2} \red{-} [/mm] 2 ( [mm] X_{k}- \mu) [/mm] ( [mm] \overline{X}_{n} [/mm] - [mm] \mu) [/mm] + ( [mm] \mu- \overline{X}_{n})^{2}\red{\right)} [/mm]
Verwende Klammern, damit deutlich wird, was summiert wird. Dann war da noch ein Vorzeichenfehler.
>
> Wie die erste Darstellung helfen kann, sehe ich nicht. Bei
> der zweiten sollten "vorne" und "hinten" fast sicher gegen 0 konvergieren.
Das würde ich nicht unterschreiben. Bedenke nur [mm] E(X_k-\mu)^2 =\sigma^2
[/mm]
> Was übrig bleibt ist
> - [mm]\frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n}[/mm] ( [mm]X_{k}[/mm] - [mm]\mu[/mm] )
> ( [mm]\sum_{l=1}^{n} X_{l}- \mu[/mm] )
> Warum das aber fast sicher gegen [mm]\sigma^{2}[/mm] konvergieren
> sollte, sehe ich nicht, find ich nichtmal plausibel, also
> muss schon oben irgendwas falsch sein...
Machen wir's anders
[mm] $S^{2}_{n}=\frac{1}{n-1} \left[\left(\sum_{k} X_{k}^{2}\right) -2\overline{X}_n\sum_k X_k+ n\overline{X}_n^2\right]$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{\frac{n}{n-1}\frac{1}{n}\sum_k X_k^2}_{\to E(X_1)^2 \text{ f.s.}}-2\underbrace{\overline{X}_n\frac{1}{n-1}\sum_k X_k}_{\to\mu^2 \text{ f.s.}}+\underbrace{\frac{n}{n-1}\overline{X}_n^2}_{\to \mu^2 \text{ f.s.}}\to\sigma^2$ \text{f.s}
[/mm]
LG
|
|
|
|
