Stichprobenvarianz bei N-Vert. < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien n unabhängig normalverteilte (mit Parametern [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma) [/mm] ZVen [mm] X_i [/mm] mit Erwartungswert [mm] \mu [/mm] (bekannt) und unbekannter Varianz [mm] \sigma^2.
[/mm]
Sei [mm] S_n^2=\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2 [/mm] die Stichprobenvarianz.
Zu zeigen ist (u.a.), dass [mm] Var(S_n^2)=\bruch{2\sigma^4}{n-1} [/mm] für alle n [mm] \geq [/mm] 2. Weiters ist zu zeigen (bzw. folgt sofort), dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Var(S_n^2)=0 [/mm] und daher die Schätzfolge [mm] (S_n^2)_n\in\IN [/mm] konsistent ist. |
Ich hätte mir überlegt das eventuell mittels Induktion zu zeigen, hab aber schon beim Induktionsanfang so meine Probleme, weil ich für n=2 nicht auf das richtige Ergebnis komme.
Frage: Ist der Ansatz mittels Induktion sinnvoll oder sieht jemand einen besseren Weg.
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Das sollte auch direkt gehen: Zeig erstmal, dass [mm]E(S_n^2) = \sigma^2[/mm] und setz alles in die Formel für die Varianz ([mm]Var(X) = E(X - E(X))^2[/mm]) ein. Beim Vereinfachen sollten alle µ wegfallen.
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Ok, danke für den Hinweis.
Ich bin dem ganzen jetzt schon näher gekommen.
[mm] E[S_n^2]=\sigma^2 [/mm] hab ich gezeigt, in weiterer Folge auch
[mm] E[[S_n^2]^2]=\bruch{3\sigma^4}{n-1}.
[/mm]
Jetzt wäre die Varianz aber [mm] \bruch{3\sigma^4}{n-1}-\sigma^4. [/mm] Irgendwo muss also noch ein Fehler versteckt sein. (Ich sollte ja insgesamt auf [mm] \bruch{2\sigma^4}{n-1} [/mm] kommen.)
Andere Frage: Wenn ich weiß, dass [mm] E[\overline{X_n}]=\lambda, [/mm] darf ich dann
[mm] E[\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2] [/mm] durch [mm] E[\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2] [/mm] ersetzen?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 03.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Jetzt wäre die Varianz aber
> [mm]\bruch{3\sigma^4}{n-1}-\sigma^4.[/mm] Irgendwo muss also noch
> ein Fehler versteckt sein. (Ich sollte ja insgesamt auf
> [mm]\bruch{2\sigma^4}{n-1}[/mm] kommen.)
Ich glaube, ich habe dir schon einmal
Introduction to the Theory of Statistics (McGraw-Hill Series in
Probability and Statistics) (Hardcover) by Alexander McFarlane Mood
(Author), Franklin A. Graybill (Author), Duane C. Boes
empfohlen. Schau dort mal auf Seite 229-230.
>
> Andere Frage: Wenn ich weiß, dass
> [mm]E[\overline{X_n}]=\lambda,[/mm] darf ich dann
> [mm]E[\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2][/mm]
> durch [mm]E[\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2][/mm]
> ersetzen?
Hae? [mm] $\lambda$? $\mu$? [/mm] Bin verwirrt? Ausserdem ist das ein neues Fass...
lg Luis
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War gestern auf der Uni-Bibliothek. Das Buch is bis nächste Woche ausgeborgt. Könntest du mir evntuell die Seiten scannen oder einen kurzen Lösungsweg posten. Wäre toll, da ich es bis Donnerstag bräuchte und das Gefühl hab schon recht nah an der Lösung zu sein.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 04.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Tut mit Leid, habe mich geirrt. Es wird nur
[mm] $\operatorname{E}[S_n^2]=\sigma^2$ [/mm] gezeigt. Der Rest soll in einer
Aufgabe bewiesen werden:
Folgende Tipps werden gegeben:
[mm] $\sum(X_i-\bar X)^2=\sum(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2$
[/mm]
[mm] $\bar X-\mu=\frac{1}{n}\sum(X_i-\mu)$
[/mm]
[mm] $S_n^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-X_j)^2/(2n(n-1))$
[/mm]
Diese zu beweisen ist nicht schwer, aber wie man damit die eigentliche Behauptung zeigt,
ist mir noch unklar. Vielleicht hilft's dir ja auf die Spruenge.
Gruesse Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Di 04.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Jetzt habe ich doch noch einen Beweis hinbekommen. Hier ist er in groben
Zuegen, jedoch muss ich einiges als bekannt voraussetzen
1) Sind [mm] $Z_1,...,Z_n$ [/mm] unabhaengige Zufallsvariablen mit [mm] $Z_i\sim [/mm] N(0,1)$,
so ist [mm] $W=\sum_{i=1}^nZ_i^2\sim\chi^2(n)$. [/mm] Ferner ist
[mm] $\operatorname{E}[W]=n$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[W]=2n$.
[/mm]
2) Das vierte zentrale Moment der Normalverteilung mit [mm] $\operatorname{E}[X]=\mu$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[X]=\sigma^2$
[/mm]
ist gegeben durch [mm] $\operatorname{E}[(X-\mu)^4]=3\sigma^4$.
[/mm]
Ich benutze die Gleichungen [mm] $(n-1)S_n^2=U-V$ [/mm] mit
[mm] $U=\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$ [/mm] und [mm] $V=n(\bar X-\mu)^2=\sum_i\sum_j(X_i-\mu)(X_j-\mu)/n$
[/mm]
wegen [mm] $\bar X-\mu=\sum(X_i-\mu)/n$.
[/mm]
Bekanntlich gilt
[mm] $\operatorname{Var}[U-V]=\operatorname{Var}[U]+\operatorname{Var}[V]-2\operatorname{Cov}[U,V]$.
[/mm]
Wir erhalten
[mm] $U=\sigma^2\sum_{i=1}^n((X_i-\mu)/\sigma)^2\sim \sigma^2\chi^2(n)$, [/mm] so dass [mm] $\operatorname{E}[U]=n\sigma^2$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[U]=2n\sigma^4=:a$.
[/mm]
[mm] $V=n(\sigma^2/n)((\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}))^2\sim\sigma^2\chi^2(1)$, [/mm] so dass [mm] $\operatorname{E}[V]=\sigma^2$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[V]=2\sigma^4=:b$.
[/mm]
Fuer die Berechnung der Kovarianz nutzen wir aus [mm] $\operatorname{Cov}[U,V]=\operatorname{E}[UV]-\operatorname{E}[U]\operatorname{E}[V]$.
[/mm]
Wir erhalten
[mm] $\operatorname{E}[UV]= \operatorname{E}[\sum_{k=1}^n(X_k-\mu)^2\sum_i\sum_j(X_i-\mu)(X_j-\mu)/n] =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\operatorname{E}[(X_k-\mu)^2(X_i-\mu)(X_j-\mu)]$
[/mm]
Die Summanden verschwinden nicht unter zwei Bedingungen:
$k=i=j$: Diese $n$ Summanden liefern die Summe [mm] $3\sigma^4=:c$
[/mm]
$i=j$ und [mm] $i\ne [/mm] k$: Diese [mm] $n^2-n$ [/mm] Summanden liefern [mm] $(1/n)(n^2-n)\sigma^4=(n-1)\sigma^4=:d$.
[/mm]
Schliesslich ist noch [mm] $\operatorname{E}[U]\operatorname{E}[V]=n\sigma^4=:e$.
[/mm]
Fassen wir die Ergebnisse zusammen:
[mm] $(n-1)^2\operatorname{Var}[S_n^2]=\operatorname{Var}[U-V]=a+b-2(c+d-e)=2(n-1)\sigma^4$
[/mm]
lg Luis
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Danke für diese sehr schöne Lösung. Hab sie im Wesentlichen nachvollziehen können, an einer Stelle häng ich aber noch:
> [mm]\operatorname{E}[UV]= \operatorname{E}[\sum_{k=1}^n(X_k-\mu)^2\sum_i\sum_j(X_i-\mu)(X_j-\mu)/n] =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\operatorname{E}[(X_k-\mu)^2(X_i-\mu)(X_j-\mu)][/mm]
>
> Die Summanden verschwinden nicht unter zwei Bedingungen:
>
> [mm]k=i=j[/mm]: Diese [mm]n[/mm] Summanden liefern die Summe [mm]3\sigma^4=:c[/mm]
> [mm]i=j[/mm] und [mm]i\ne k[/mm]: Diese [mm]n^2-n[/mm] Summanden liefern
> [mm](1/n)(n^2-n)\sigma^4=(n-1)\sigma^4=:d[/mm].
>
> Schliesslich ist noch
> [mm]\operatorname{E}[U]\operatorname{E}[V]=n\sigma^4=:e[/mm].
Wieso verschwinden die Summanden genau dann nicht und woher kommt der Wert für den zweiten Fall?
Danke!
Ansonsten ists klar! Vielen Dank für die Mühe!
P.S.: Hab die zwei Seiten aus dem Buch organisieren können. [mm] E[S_n^2]=\sigma^2 [/mm] wird hier in der Tat sehr schön gezeigt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Mi 05.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> > Die Summanden verschwinden nicht unter zwei Bedingungen:
> >
> > [mm]k=i=j[/mm]: Diese [mm]n[/mm] Summanden liefern die Summe [mm]3\sigma^4=:c[/mm]
> > [mm]i=j[/mm] und [mm]i\ne k[/mm]: Diese [mm]n^2-n[/mm] Summanden liefern
> > [mm](1/n)(n^2-n)\sigma^4=(n-1)\sigma^4=:d[/mm].
> >
> > Schliesslich ist noch
> > [mm]\operatorname{E}[U]\operatorname{E}[V]=n\sigma^4=:e[/mm].
> Wieso verschwinden die Summanden genau dann nicht
Betrachte beispielsweise
[mm] $\operatorname{E}[(X_k-\mu)^2(X_i-\mu)(X_j-\mu)] [/mm] $.
fuer $i=k$ und [mm] $i\ne [/mm] j$. Wegen der Unabhaengigkeit ist dann
[mm] $\operatorname{E}[(X_k-\mu)^3(X_j-\mu)]=\operatorname{E}[(X_k-\mu)^3]\operatorname{E}[(X_j-\mu)]=0 [/mm] $.
lg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mi 05.12.2007 | | Autor: | chimneytop |
Aahhh!!!
Alles klar.
Vielen Dank nochmal.
Schön, wenn man so ein Bsp.endlich erfolgreich abschließen kann!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mi 05.12.2007 | | Autor: | chimneytop |
Hab grad noch eine andere (weit "billigere") Lösung gefunden. Setzt man etwas mehr voraus (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Beziehung_zur_Chi-Quadrat-Verteilung, zweite Bemerkung) bekommt man die Aussage direkt:
[mm] Var[S_n^2]=\bruch{\sigma^4}{(n-1)^2}Var[\chi^2(n-1)]=\bruch{2\sigma^4}{n-1}.
[/mm]
Natürlich weit nicht so interessant und aufregend zu rechnen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Mi 05.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hab grad noch eine andere (weit "billigere") Lösung
> gefunden. Setzt man etwas mehr voraus (siehe
> http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Beziehung_zur_Chi-Quadrat-Verteilung,
> zweite Bemerkung) bekommt man die Aussage direkt:
>
> [mm]Var[S_n^2]=\bruch{\sigma^4}{(n-1)^2}Var[\chi^2(n-1)]=\bruch{2\sigma^4}{n-1}.[/mm]
>
Auch huebsch. Warum bin ich nicht darauf gekommen :-( 
lg
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