Stoch. Kern über Rechteckmenge < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe hier einen Satz und verstehe u.a nicht dei Anwendung über
Rechteckmengen.
Vorab als erstes die mir zur Verfügung stehende Definition der stoch. Kerns.
Definition :
[mm] ( \Omega_1,\mathcal A_1 ), ( \Omega_2, \mathcal A_2 ) [/mm] seien Meßräume. Eine Abbildung [mm] {K}^1_2 : } \Omega_1 \times \mathcal A_2 \to \left[0,1 \right] [/mm] heißt stoch. Kern von [mm] ( \Omega_1,\mathcal A_1 ), ( \Omega_2, \mathcal A_2 ) [/mm], falls gilt:
(i) [mm] A_2 \to {K}^1_2 : } (w_1, A_2 ) [/mm] Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \Omega_2 \forall w_1 \in \Omega_1 [/mm]
(ii) [mm] \omega_1 \to {K}^1_2 : } (w_1, A_2 ) [/mm] [mm] ( \mathcal A_1, \mathcal B ) [/mm] - messbar [mm] \forall A_2 \in \mathcal A_2 [/mm].
Der Satz ist der folgende:
Satz :
Sei [mm] P_1 [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] ( \Omega_1, \mathcal A_1 ] [/mm]. Sei [mm] A \in \mathcal A_1 \times \mathcal A_2 [/mm] . Dann wird durch
[mm] ( P_1 \times {K}^1_2 ) (A) := \integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{A} ( \omega_1, \omega_2 ) {K}^1_2 ( \omega_1, d \omega_2) P_1 ( d\omega_1) [/mm]
ein wahrscheinlichkeitsmaß definiert.
Bemerkung :
Bei Rechteckmengen [mm] A = A_1 \times A_2 [/mm] ergibt sich
( [mm] P_1 \times {K}^1_2 [/mm] ) (A) := [mm] \integral_{ A_1} {K}^1_2 [/mm] ( [mm] \omega_1, A_2) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1) [/mm] [/mm]
Wie kommt man auf diese Gleichung???? Dass die Indikatorfunktion weg ist, ist klr, da wir in der Rechteckmenge sind, aber warum integrier ich nur noch über eine Menge und warum ist im stoch Kern dieses [mm] A_2 [/mm] anstatt [mm] d \omega_2 [/mm] ???
Vielen dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Fr 11.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo alle zusammen!
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> Ich habe hier einen Satz und verstehe u.a nicht dei
> Anwendung über
> Rechteckmengen.
> Vorab als erstes die mir zur Verfügung stehende
> Definition der stoch. Kerns.
>
> Definition :
> [mm]( \Omega_1,\mathcal A_1 ), ( \Omega_2, \mathcal A_2 )[/mm]
> seien Meßräume. Eine Abbildung [mm]{K}^1_2 : } \Omega_1 \times \mathcal A_2 \to \left[0,1 \right][/mm]
> heißt stoch. Kern von [mm]( \Omega_1,\mathcal A_1 ), ( \Omega_2, \mathcal A_2 ) [/mm],
> falls gilt:
>
> (i) [mm]A_2 \to {K}^1_2 : } (w_1, A_2 )[/mm] Wahrscheinlichkeitsmaß
> auf [mm]\Omega_2 \forall w_1 \in \Omega_1[/mm]
>
> (ii) [mm]\omega_1 \to {K}^1_2 : } (w_1, A_2 )[/mm] [mm]( \mathcal A_1, \mathcal B )[/mm]
> - messbar [mm]\forall A_2 \in \mathcal A_2 [/mm].
>
>
> Der Satz ist der folgende:
>
> Satz :
>
> Sei [mm]P_1[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm]( \Omega_1, \mathcal A_1 ] [/mm].
> Sei [mm]A \in \mathcal A_1 \times \mathcal A_2[/mm] . Dann wird
> durch
>
> [mm]( P_1 \times {K}^1_2 ) (A) := \integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{A} ( \omega_1, \omega_2 ) {K}^1_2 ( \omega_1, d \omega_2) P_1 ( d\omega_1) [/mm]
>
> ein wahrscheinlichkeitsmaß definiert.
>
>
> Bemerkung :
>
> Bei Rechteckmengen [mm]A = A_1 \times A_2[/mm] ergibt sich
>
> ( [mm]P_1 \times {K}^1_2[/mm] ) (A) := [mm]\integral_{ A_1} {K}^1_2[/mm] (
> [mm]\omega_1, A_2) P_1[/mm] ( [mm]d\omega_1)[/mm] [/mm]
>
> Wie kommt man auf diese Gleichung???? Dass die
> Indikatorfunktion weg ist, ist klr, da wir in der
> Rechteckmenge sind, aber warum integrier ich nur noch über
> eine Menge und warum ist im stoch Kern dieses [mm]A_2[/mm] anstatt [mm]d \omega_2[/mm]
> ???
>
> Vielen dank für die Hilfe!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
>
[mm] (P_1\times K^1_2)(A_1\times A_2)=\integral_{\Omega_1}\integral_{ \Omega_2}1_{A_1\times A_2}(\omega_1,\omega_2)K^1_2(\omega_1,d \omega_2)P_1(d\omega_1)=\integral_{\Omega_1}\integral_{\Omega_2}1_{A_1}(\omega_1)1_{A_2}(\omega_2)K^1_2(\omega_1,d\omega_2)P_1(d\omega_1)
[/mm]
[mm] =\integral_{\Omega_1}1_{A_1}(\omega_1)\Big(\integral_{\Omega_2}1_{A_2}(\omega_2)K^1_2(\omega_1,d\omega_2)\Big)P_1(d\omega_1)=\integral_{\Omega_1}1_{A_1}(\omega_1)K^1_2(\omega_1,A_2)P_1(d\omega_1)=\integral_{A_1}K^1_2(\omega_1,A_2)P_1(d\omega_1) [/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Als erstes, vielen Dank für die sehr schnelle Antwort!!!
Ich habe nur noch eine Unklarheit, zwar bei dieser Gleichheit:
[mm] \integral_{\Omega_1}1_{A_1}(\omega_1)\Big(\integral_{\Omega_2}1_{A_2}(\omega_2)K^1_2(\omega_1,d\omega_2)\Big)P_1(d\omega_1)=\integral_{\Omega_1}1_{A_1}(\omega_1)K^1_2(\omega_1,A_2)P_1(d\omega_1)=\integral_{A_1}K^1_2(\omega_1,A_2)P_1(d\omega_1)[/mm]
Ich verstehe nicht, warum nach dem Gleichheitszeichen im
[mm] K^1_2(\omega_1,A_2) [/mm] das [mm] A_2 [/mm] steht???
Ich denke, dass ich irgendwie Verständnisprobleme beim Thema
stoch.Kern habe und deswegen da nicht direkt durchsteige :-(.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 11.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
> Als erstes, vielen Dank für die sehr schnelle Antwort!!!
> Ich habe nur noch eine Unklarheit, zwar bei dieser
> Gleichheit:
>
> [mm]\integral_{\Omega_1}1_{A_1}(\omega_1)\Big(\integral_{\Omega_2}1_{A_2}(\omega_2)K^1_2(\omega_1,d\omega_2)\Big)P_1(d\omega_1)=\integral_{\Omega_1}1_{A_1}(\omega_1)K^1_2(\omega_1,A_2)P_1(d\omega_1)=\integral_{A_1}K^1_2(\omega_1,A_2)P_1(d\omega_1)[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, warum nach dem Gleichheitszeichen im
> [mm]K^1_2(\omega_1,A_2)[/mm] das [mm]A_2[/mm] steht???
>
> Ich denke, dass ich irgendwie Verständnisprobleme beim
> Thema
> stoch.Kern habe und deswegen da nicht direkt durchsteige
> :-(.
Ach, das ist wie mit den Wald und den Bäumen. Nehmen wir mal ein paar Bäume (Zeichen) weg:
[mm] \mu(A_2):=K^1_2(\omega_1,A_2)
[/mm]
ist ja ein Maß.
In der Maßtheorie ist dann folgende Schreibweise/Definition üblich:
[mm] \mu(A)=\integral_A d\mu=\integral_\Omega 1_{A}(\omega)d\mu(\omega)
[/mm]
Das ist alles.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Ja,  ...jetzt ist alles klar !
Danke!
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