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Stochastik-Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Mo 28.06.2004
Autor: ziska


> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Hallo!
Wir haben heute dieses Thema angefangen. Das Problem ist, dass ein Klassenkamerad den unterricht führt. Da ich schon seit eh und jeh Probleme mit diesem Thema habe, komme ich mi den gestellten Hausaufgaben nicht klar. WÄre nett, wenn ihr mir zumindestens Ansätze zeigen könntet, mit denen ich die Aufgaben lösen kann.

Aufgaben:
1) Hr M. fährt mehrmals die Woche mit der Straßenbahn von der Haltestelle Zoo nach Hause. Umsteigen am Postplatz.
Vom Zoo bis zum Postplatz kann er Linie 1 oder 2 nehmen. Linie 1 benötigt bis zum Postplatz vier Minuten, Linie 2 sieben Minuten.
Ab Postplatz kann er in Linie 7, 10 oder 11 umsteigen. Linie 7 benötigt bis zu Hr. Müllers Endhaltestelle neun Minuten, Linie 10 zwölf Minuten und Linie 11 sechs Minuten.
Die Straßenbahn fährt immer streng nach Fahrplan! Hr. M. fährt immer mit der zufällig als nächste erreicharen Linie. Beim Umsteigen benötigt er stets eine Minute.
a) Geben Sie eine Zufallsgrößße an mit den Werten "Fahrzeit über 15 Minuten" und "Fahrtzeit höchstens 15 Minuten" .

Ich kann mi der Aufgabenstellung absolut nix anfangen!

2) Bei einer TV_show sollen 3 Mathematikern die Geburtstjahre 1623, 1777 und 1707 zugeordnet werden. Der Kanidat muss raten.
Geben Sie eine Zufallsgröße an, die die Anzahl der richtigen Antworten beschreibt.

3) Eine Münze wird 5mal hintereinander geworfen. Es wird jeweils W für Wappen und Z für Zahl notiert. Gleiche hintereinader stehende buchstaben bilden einen Block; auch einzelne Buchstaben zählen als Block. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Blöcke.
Welches Ergebnis wird von X auf 2 abgebildet?

Was wollen die von mir?

4) Ein gleichmäßig gearbeiteter Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 wird zweimal geworfen. Worauf würden Sie eher wetten: "Die erste Augenzahl ist größer als die zweite" oder "Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9"?

Hier versteh ich zwar die aufgabenstellung, aber ich weiß nicht, wie ich das erklären bzw. mir eine Meinung bilden kann.

5) Ein Kasten enthält 2 schwarze, 2 rote und 6 grüne Kugeln.Es werden drei Kugeln nacheinander gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit drei verschiedene Farben zu erhalten, wenn
a) ohne Zurücklegen gezogen wird.
b) mit Zurücklegen gezogen wird.

Ich wär auch sehr sehr sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet. bin eigentlich gut in Mathe, aber Wahrscheinlichkeitsrechnung ist für mich ein absolutes Grauen!!!!  Danke im Voraus!

LG,
ziska


        
Bezug
Stochastik-Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Mo 28.06.2004
Autor: Brigitte

Hallo Ziska!


> Aufgaben:
>  1) Hr M. fährt mehrmals die Woche mit der Straßenbahn von
> der Haltestelle Zoo nach Hause. Umsteigen am Postplatz.
>
> Vom Zoo bis zum Postplatz kann er Linie 1 oder 2 nehmen.
> Linie 1 benötigt bis zum Postplatz vier Minuten, Linie 2
> sieben Minuten.
>  Ab Postplatz kann er in Linie 7, 10 oder 11 umsteigen.
> Linie 7 benötigt bis zu Hr. Müllers Endhaltestelle neun
> Minuten, Linie 10 zwölf Minuten und Linie 11 sechs
> Minuten.
>  Die Straßenbahn fährt immer streng nach Fahrplan! Hr. M.
> fährt immer mit der zufällig als nächste erreicharen Linie.
> Beim Umsteigen benötigt er stets eine Minute.
>  a) Geben Sie eine Zufallsgrößße an mit den Werten
> "Fahrzeit über 15 Minuten" und "Fahrtzeit höchstens 15
> Minuten" .

Also ich finde die Aufgabenstellung auch nicht gelungen. Die Zufallsgröße, um die es hier geht, ist meiner Ansicht nach die Fahrzeit (dazu muss man nichts mehr angeben). Gefragt ist vielmehr nach der Verteilung der Zufallsgröße, also welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und mit welcher Wahrscheinlichkeit sie das tut. Nennen wir die Zufallsgröße mal $X$. Dann interpretiere ich die Aufgabenstellung so, dass man die Wahrscheinlichkeit $P(X> 15)$, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Fahrzeit über 15 Minuten dauert, herausfinden soll. Und dann noch [mm] $P(X\le [/mm] 15)$, das ist dann die Gegenwahrscheinlichkeit, also $1-P(X>15)$.

Diese Aufgabe kannst Du lösen, indem Du mal einen Wahrscheinlichkeitsbaum aufstellst (das kennst Du doch, oder?), und für alle möglichen Ergebnisse die Fahrzeit samt Wahrscheinlichkeit abliest.
Beispiel: Er steigt mit Wkt. 1/2 zunächst in Linie 1 und anschließend mit Wkt. 1/3 in Linie 7. Die zugehörige Fahrzeit ist 4+9+1=14 (eine für's Umsteigen), also

[mm]P(X=14)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/mm]

Für $P(X>15)$ zählst Du dann alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zusammen, für die X>15 erfüllt ist.

> 2) Bei einer TV_show sollen 3 Mathematikern die
> Geburtstjahre 1623, 1777 und 1707 zugeordnet werden. Der
> Kanidat muss raten.
> Geben Sie eine Zufallsgröße an, die die Anzahl der
> richtigen Antworten beschreibt.

Ähnliches Problem. Erstmal solltest Du überlegen, welche Anzahlen an richtigen Antworten in Frage kommen. Dann schreibst Du Dir alle möglichen Ergebnisse auf und notierst die Wahrscheinlichkeiten, die zu einem bestimmten Ergebnis gehören.
Beispiel: Nennen wir die Mathematiker A, B und C. Dann gibt es 3*2*1 Möglichkeiten, die Jahreszahlen den Mathematikern zuzuordnen. Genau eine Möglichkeit davon ordnet alle drei Zahlen richtig zu, also gilt für die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl an richtigen Antworten beschreibt

[mm] P(X=3)=\frac{1}{6}[/mm]

> 3) Eine Münze wird 5mal hintereinander geworfen. Es wird
> jeweils W für Wappen und Z für Zahl notiert. Gleiche
> hintereinader stehende buchstaben bilden einen Block; auch
> einzelne Buchstaben zählen als Block. Die Zufallsgröße X
> beschreibt die Anzahl der Blöcke.
>  Welches Ergebnis wird von X auf 2 abgebildet?

Eine Zufallsgröße ist eigentlich eine Abbildung, die bestimmten Ergebnissen bei einem Zufallsversuch eine reelle Zahl zuordnet. Bei Aufgabe 1) wurde einer Kombination von Straßenbahnlinien die Fahrzeit zugeordnet, bei Aufgabe 2) wurde einer Zuordnung von Zahlen die Anzahl der richtigen Antworten zugeordnet. Mathematisch:

[mm]X:\Omega\to\IR[/mm]

wobei [mm] $\Omega$ [/mm] die Ergebnismenge ist, also die Menge aller Ergebnisse des Zufallsversuchs. In der konkreten Aufgabe besteht [mm] $\Omega$ [/mm] z.B. aus Fünfertupeln $(a,b,c,d,e)$, wobei jeder Buchstabe entweder W oder Z ist. Also z.B. [mm] $(Z,Z,W,W,W)\in\Omega$. [/mm] Wenn Du magst, kannst Du ja mal alle Ergebnisse aufschreiben, damit Du siehst, wie groß [mm] $\Omega$ [/mm] ist. Jetzt wird jedem [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] eine Zahl zugeordnet, hier gerade die Anzahl an Blöcken. Bei unserem Beispiel wird dem Ergebnis $(Z,Z,W,W,W)$ die Zahl 2 zugeordnet, da 2 Blöcke vorkommen. Nun geht es darum, noch andere Fünfertupel zu finden, die auch zwei Blöcke haben. Da jedes Fünfertupel gleichwahrscheinlich ist und es insgesamt [mm] $2^5$ [/mm] Möglichkeiten für dieses Tupel gibt, folgt

[mm] P(X=2)=\frac{\mbox{Anzahl der 5-Tupel mit 2 Blöcken}}{2^5}[/mm]

Ein Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, heißt übrigens Laplace-Experiment. Der Münzwurf und auch der Würfelwurf sind dafür typische Beispiele.

> 4) Ein gleichmäßig gearbeiteter Würfel mit den Zahlen 1 bis
> 6 wird zweimal geworfen. Worauf würden Sie eher wetten:
> "Die erste Augenzahl ist größer als die zweite" oder "Das
> Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9"?

Auch hier würde ich zunächst mal alle Ergebnisse aufschreiben und zählen, wieviele Ergebnisse jeweils zu dem genannten Ereignis in der Aufgabenstellung gehören. Ein Ereignis besteht aus mehreren Ergebnissen, ist also eine Menge von Ergebnissen und immer eine Teilmenge von [mm] $\Omega$. [/mm] Wenn Du ganz [mm] $\Omega$ [/mm] aufgeschrieben hast, musst Du nur zählen, wieviele Ergebnisse zum Ereignis gehören und durch die Gesamtzahl an Ergebnissen teilen. Das funktioniert aber nur beim Laplace-Experiment. Wenn Du die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse vergleichst, wirst Du auch die Frage beantworten können.

> 5) Ein Kasten enthält 2 schwarze, 2 rote und 6 grüne
> Kugeln.Es werden drei Kugeln nacheinander gezogen.
> Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit drei verschiedene
> Farben zu erhalten, wenn
> a) ohne Zurücklegen gezogen wird.
>  b) mit Zurücklegen gezogen wird.

Vielleicht probierst Du es mit den anderen Hinweisen erst mal alleine, diese Aufgabe zu lösen. Die Vorgehensweise ist wieder dieselbe. Viel Glück!
Falls es nicht klappen sollte, melde Dich noch mal.
  
Liebe Grüße
Brigitte

Bezug
                
Bezug
Stochastik-Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mo 28.06.2004
Autor: ziska

Hi!
Erst einmal ein großes Dankeschön an dich!!!
Du meinst doch jetzt ein Baumdiagramm, mit dessen Hilfe ich die aufgaben lösen kann, oder? wir hatten heut in der Schule auch den Begriff der Fakultät und eine Formel, die lautete:
n*(n-1)*(n-2)*....*(n(k-1))             zumindesten, wenn ich mich jetzt net  
                                                       täusche- hab mein Mathezeug nicht vor-                                                       liegen.
Kennst du die Formel?

Bezug
                        
Bezug
Stochastik-Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Di 29.06.2004
Autor: Brigitte

Hallo Ziska!

> Erst einmal ein großes Dankeschön an dich!!!
> Du meinst doch jetzt ein Baumdiagramm, mit dessen Hilfe ich
> die aufgaben lösen kann, oder?

Ja, so ein Diagramm lernt man normalerweise in der 8. Klasse kennen. Die Zweige führen hin zu Ereignissen, und auf den Zweigen stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Entlang eines Zweigs (oder auch Pfades) werden die Wkt. multipliziert, die Wkt. ganzer Zweige werden ggfs. (je nach Aufgabenstellung) addiert.

>  wir hatten heut in der
> Schule auch den Begriff der Fakultät und eine Formel, die
> lautete:
> n*(n-1)*(n-2)*....*(n(k-1))             zumindesten, wenn
> ich mich jetzt net  
> täusche- hab mein Mathezeug nicht vor-                      
>                                  liegen.
>  Kennst du die Formel?

Ihr nehmt also Abzählregeln durch. $n!$ ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine $n$-elementige Menge in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen (Beispiel: Einlauf von 8 Läufern beim 100m-Lauf).
Die Formel, die Du meinst, ist wohl

[mm]n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot....\cdot(n-(k-1)).[/mm]

Das ist die Anzahl an Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge $k$ Elemente in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen (Beispiel: ersten 3 beim 100m-Lauf). Für $k=n$ ist man wieder bei $n!$.

Bist Du denn nun mit den Aufgaben zurecht gekommen?

Liebe Grüße
Brigitte

Bezug
                                
Bezug
Stochastik-Aufgaben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Di 29.06.2004
Autor: ziska


>Bist Du denn nun mit den Aufgaben zurecht gekommen?
ja, doch, hat so ungefähr geklappt. Ich habs mir viel komplizierter vorgestellt, dabei sollten wir die Aufgaben auch mit Hilfe der Baumdiagramme lösen! naja, ich probier mich dann mal an den neuen hausaufgaben. ;-)

danke nochmal!!!!

LG,
ziska
  


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