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| Aufgabe | Eine Firma stellt drei versch. Artikel her, Sie bereichtet, dass von 1000 befragten Haushalten :
i) 70 besitzen a,b
ii) 98 besitzen b,c
iii) 119 besitzen a,c
iv) 49 besitzen alle 3
V) 190 besitzen mindestens 2
Kann man diesen Angaben Glaube schenken? untersuchen sie dafür die Kardinalität der Menge aller Haushalte, die mindestens 2 Artikel benutzen: |
Hallo ihr Lieben,
wir haben kürzlich diese Aufgabe behandelt. Allerdings kann ich den Lösungsweg nicht richtig nachvollziehen und hoffe hier auf Hilfe.
Lösung:
wir definieren:
[mm] A_{1}: [/mm] Menge aller Haushalte, die mindestens a und b besitzen
[mm] A_{2}: [/mm] Menge aller Haushalte, die mindestens a und c besitzen
[mm] A_{3}: [/mm] Menge aller Haushalte, die mindestens b und c besitzen
B: Menge aller Haushalte, die alle 3 besitzen
C: Menge aller Haushalte, die mindestens 2 Besitzen
So, bis hierhin komme ich noch mit, ist ja auch nicht so schwer.
dann gilt:
B= [mm] A_{1} \cap A_{2} =A_{1} \cap A_{3} =A_{3} \cap A_{2} [/mm]
das verstehe ich schon nicht. Denn der Inhalt der Menge [mm] A_{1} \cap A_{2} [/mm] ist doch einzig {b} und damit besitze ich doch einzig eines der Produkte. Ich hätte eher alle 3 Mengen vereinigt, anstatt sie zu schneiden. Denn dann wären ja aufjedenfall alle 3 Artikel a,b und c enthalten
dann haben wir aber auch noch aufgeschrieben:
C= [mm] A_{1} \cup A_{2}\cup A_{3}
[/mm]
wenn ich diese 3 Ereignisse vereinige habe ich aber doch {a,b,c} und dann widerum hätte ich ja genau 3 Artikel und nicht nur mindestens 2..verstehe ich leider auch nicht
dann haben wir die Kardinalität von C ausgerechnet:
#C = #( [mm] A_{1} \cup A_{2}\cup A_{3})=#A_{1}+#A_{2}+#A_{3}- A_{1} \cap A_{2} -A_{1} \cap A_{3} -A_{3} \cap A_{2}+ [/mm] #( [mm] A_{1} \cap A_{2}\cap A_{3})= [/mm] 70+98+118-49-49-49+49=189
nach der obigen Auflistung, verstehe ich das Einsetzen der Werte. Allerdings verstehe ich auch nicht, wieso dieser Teil : [mm] \cap A_{2} -A_{1} \cap A_{3} -A_{3} \cap A_{2}+ [/mm] #( [mm] A_{1} \cap A_{2}\cap A_{3}) [/mm] noch zur Rechnung gehört.
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand hier auf die Sprünge helfen kann!
danke
LG
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Hiho,
> Denn der Inhalt der Menge [mm]A_{1} \cap A_{2}[/mm] ist doch einzig {b} und damit besitze ich doch einzig eines der Produkte.
Nein:
[mm] A_1 [/mm] ist die Menge aller Haushalte, die mindestens a und b besitzen, d.h. alle Haushalte, die ausschließlich a und b besitzen, aber auch diejenigen, die sowohl a und b als auch c besitzen.
[mm] A_2 [/mm] eben analog für a und c.
Schneidet man nun [mm] A_1 [/mm] mit [mm] A_2 [/mm] erhält man alle Haushalte, die eben sowohl mindestens a und b besitzen, als auch mindestens a und c.
Zusammen also alle Haushalte, die a,b und c besitzen.
Hättest du alle drei vereinigt, hättest du stattdessen die Menge aller Haushalte bekommen, die mindestens 2 Artikel (egal welche) erhalten haben.
Denn: $C = [mm] A_1 \cup A_2 \cup A_3$ [/mm] ist die Menge aller Haushalte, die mindestens die Artikel a und b erhalten haben [mm] (A_1) [/mm] ODER mindestens die Artikel a und c erhalten haben [mm] (A_2) [/mm] ODER mindestens die Artikel b und c erhalten haben [mm] (A_3).
[/mm]
Zum Letzten Schritt: Schon einmal etwas von der Einschluß-Ausschluß-Formel gehört? Wende diese iterativ an.
Gruß,
Gono
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Hallo,
Vielen Dank für die Antwort. Das Schnitt- bzw. das Vereinigungszeichen verwechsel ich leider immer mit dem aus der Analysis. Jetzt habe ich es aber mit Hilfe der Definition verstanden [mm] \cup [/mm] = alle beide...
Die Ein-Ausschluss Formel kenne ich, nur leider verstehe ich momentan den zusammenhang nicht. Die Form gibt mir doch die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an. Hier ist hingegen doch die Kardinalität gesucht, oder?
LG
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Hiho,
> Das Schnitt- bzw. das Vereinigungszeichen verwechsel ich leider immer mit dem aus der Analysis.
Da gibt es nichts zu verwechseln, das ist identisch.
Allerdings hast du wohl nicht verstanden, was die Elemente in [mm] A_1 [/mm] bzw [mm] A_2 [/mm] sind. Das sind eben nicht die Artikel a,b und c, sondern die Familien, die Artikel erhalten haben!
> Jetzt habe ich es aber mit Hilfe der Definition verstanden [mm]\cup[/mm] = alle beide...
Ja, das ist aber auch in der Analysis so.
> Die Ein-Ausschluss Formel kenne ich, nur leider verstehe
> ich momentan den zusammenhang nicht. Die Form gibt mir doch
> die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an. Hier ist
> hingegen doch die Kardinalität gesucht, oder?
Die Kardinalität hängt auf endlichen Mengen doch direkt mit dem geeignet gewählten Wahrscheinlichkeitsmaß zusammen!
Wähle $P(A) = [mm] \bruch{\#A}{\#\Omega}$, [/mm] wobei [mm] \Omega [/mm] die Menge aller möglichen Ereignisse ist, man nennt das Ding auch "Zählmaß".
Wende auf dieses Maß die Ein-Ausschluss Formel an und multipliziere dann beide Seiten der Gleichung mit [mm] $\#\Omega$.
[/mm]
Und wenn dir das zu umständlich ist, schau dir den Beweis der Ein-Ausschlußformel nochmal an und mach dir klar, dass er ganz genauso auch für endliche Kardinalitäten gilt!
Da ist das meiner Meinung nach sogar noch plausibler, denn für zwei Mengen lautet ja die Ein-Ausschlußformel:
[mm] $\#(A\cup [/mm] B) = [mm] \#A [/mm] + [mm] \#B [/mm] - [mm] \#(A\cap [/mm] B)$
Oder in Worten: Die Anzahl an Elementen der Vereinigung sind die Anzahl der Elemente aus A plus die Anzahl der Elemente aus B und dann muss man die abziehen, die man eben in beiden und damit doppelt gezählt hat.
Gruß,
Gono
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Hey
ich habe es mal versucht, aber ich kommenicht zu richtig weiter..
Die ein Ausschluss Formel, damit mindestens k (hier ja mindestens eins der Ereignisse eintreten) lautet ja:
P(C)* [mm] #\Omega= \sum_{k=1}^{3}(-1)^{k-1} [/mm] * [mm] \sum_{J \subset {1,..,3} ; #J=k}#A_{J}
[/mm]
hier komme ich allerdings nicht so ganz weiter.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 17.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ich habe jetzt genau dieselbe Aufgabe.
Könnte man erfahren, welche Uni diese Aufgabe letztes Jahr gestellt hat?
Meine Uni war es nicht ^^
wäre schön wenn ich eine zweite Quelle hätte damit ich halt besser lernen kann.
LG
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wie es aussieht ist das eine Standardaufgabe