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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mo 18.10.2004 | | Autor: | quiesel |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo. Hier meine Frage, wuerd mich freuen, wenn mir einer helfen kann!
Wie viele Moeglichkeiten gibt es eine vierstellige Zahl abcd (wobei a groesser 0 und maximal 9, die anderen 0 bis 9) so anzuordnen, dass a kleiner b kleiner c kleiner d?
Wie viele Moeglichkeiten gibt es, wenn a=d?
Wie viele Moeglichkeiten gibt es, wenn b kleiner oder gleich c?
Wie viele Moeglichkeiten gibt es sie so anzuordnen, dass a+b+c+d eine gerade Zahl ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo quiesel!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie viele Moeglichkeiten gibt es eine vierstellige Zahl
> abcd (wobei a groesser 0 und maximal 9, die anderen 0 bis
> 9) so anzuordnen, dass a kleiner b kleiner c kleiner d?
Ist damit $a<b<c<d$ gemeint oder [mm] $a\le b\le c\le [/mm] d$? Ich gehe der Einfachheit halber mal vom ersten Fall aus. Eine komplette Lösung kann ich Dir hier nicht präsentieren, aber ich denke, dass folgende Umformulierung des PRoblems hilfreich sein könnte.
Betrachte statt Zahlen $abcd$ die Zuwächse zwischen den einzelnen Ziffern (und der Null für die erste Ziffer). Den Zuwächsen 1111 entspricht dann die Zahl 1234. Genauso entspricht 3221 der Zahl 3578 (bijektive Abbildung). Dann geht es darum, die Möglichkeiten der Zuwächse zu zählen. So ein Zuwachs muss 4 natürliche Zahlen enthalten, deren Summe nicht größer als 9 sein darf. Ich gebe zu, dass es damit immer noch nicht gelöst ist, aber nun kann man sich die einzelnen Möglichkeiten systematisch (zunächst ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) aufschreiben:
$1111, [mm] 2111,\ldots, [/mm] 6111$,
[mm] $2211,3211,\ldots,5211$ [/mm] usw.
Dann muss man sich nur noch überlegen, dass es z.B. für die 1111 nur eine Möglichkeit gibt, für die 2111 vier Möglichkeiten, für 2211 [mm] ${4\choose 2}$ [/mm] Möglichkeiten usw.
Na ja, ist nur eine Anregung. Ich wollte halt das Problem mit der aufsteigenden Reihenfolge vermeiden. Ich denke, man kann es auch direkt (systematisch) aufschreiben. Mein Ergebnis ist
126.
> Wie viele Moeglichkeiten gibt es, wenn a=d?
Das kann aber nicht mit $a<b<c<d$ zusammenpassen. Oder ist das eine ganz neue Aufgabe?
> Wie viele Moeglichkeiten gibt es, wenn b kleiner oder
> gleich c?
> Wie viele Moeglichkeiten gibt es sie so anzuordnen, dass
> a+b+c+d eine gerade Zahl ist?
Auch hier: ist das eine neue Aufgabe?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Di 19.10.2004 | | Autor: | quiesel |
Hallo Brigitte!
Ja, es handelt sich bei den Fragen um jeweils einzelne Aufgabenteile (haette ich auch dazuschreiben sollen...). Also in Teil 1 ist a <b <c <d und im zweiten Teil ist a=d und nicht mehr a <b <c <d ...
Vielen Dank schonmal fuer deine Hilfe!!
Viel Gruesse!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Di 19.10.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Um Unklarheiten zu vermeiden - es sind 4 verschiedene Aufgaben.
a) bezieht sich auf die Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl $abcd$ zu bilden (mit $a,b,c,d [mm] \in \{0, \ldots, 9\}$), [/mm] so dass $a < b < c < d$.
Die anderen Aufgaben sind von dieser verschieden.
Gruß,
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Di 19.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo quiesel
ich würde die Aufgaben etwa so angehen und will das anhand von Aufgabe a) zeigen:
(Ob es für die anderen Aufgaben auch so funktioniert, habe ich allerdings nicht untersucht. Das ist dann eben deine Aufgabe, und bei Fragen dazu kannst du diech ja sicher wieder melden)
Ich beginne einfach mal systematisch:
1234
1235
1236
1237
1238
1239
------------> 6 Möglichkeiten
1245
1246
1247
1248
1249
------------> 5 Möglichkeiten
...
Und jetz erscheint doch schon das Gesetz: mit der 1 als 1. Ziffer ergibt sich die Summe von 1 bis 6 (2. Ziffer 2) plus
die Summe von 1 bis 5 (2. Ziffer 3) plus
die Summe von 1 bis 4 (2. Ziffer 4) plus
...
Mit der 2 als 1. Ziffer
die Summe von 1 bis 5 (2. Ziffer 3) plus
die Summe von 1 bis 4 (2. Ziffer 4) plus
die Summe von 1 bis 3 (2. Ziffer 5) plus
...
Mit der 3 als 1. Ziffer die Summe von 1 bis 4 plus ...
....
Die Summe von 1 bis 6 kommt 1 mal vor;
Die Summe von 1 bis 5 kommt 2 mal vor;
Die Summe von 1 bis 4 kommt 3 mal vor;
...
Insgesamt also:
$\sum_{k=1}^{6}\left ( (7-k)*\sum_{i=1}^{k}i\right)$
Jetzt brauchst du nur noch auszumultiplizieren und die bekannten Summenformeln auszumultiplizieren anzuwenden. 
$\sum_{i=1}^{n}{i}=\bruch{n(n+1)}{2}$
$\sum_{i=1}^{n}{i^{2}}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{i=1}^{n}{i^{3}}=\bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Di 19.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo quiesel
ich hatte in der Antwort unabsichtlich eine böse Abkürzung eingebaut.
Diese ist in der 1. Revision jetzt ausgemerzt!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 19.10.2004 | | Autor: | Richter |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hi, zu den restlichen fragen habe ich folgendes herausbekommen wäre nett könnte mich jemand bestätigen ;)
b) da d1=d2 folgt 900 möglichkeiten da: 90*10*10
c) habe ich eine Aufsummierung : 90+180+270+ . . .
= 90* \summe_{i=1}^{10}
d) x} 900*5 möglichkeiten sprich 4500
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Richter |
stimmt sollte eine 9 sein ;)
ich habe mir folgendes überlegt:
d1+d2+d3+d4=2n
für d1=1
d1=1
d2=0 5 möglichkeiten
d3=0
für
1
0 auch 5
1
. . .. .
also für
1 10*5 möglichkeiten
0
es folgt für 1 also 100*5 möglichkeiten und für den gesamtraum also 900*5 möglichkeiten also 4500
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
(Du meinst 9*10*10)
