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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 23.06.2007 | | Autor: | serser |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,P) [/mm] ein W-Raum und B [mm] \subset \Omega [/mm] mit p(B) > 0.
Durch die Vorschrift:
[mm]P_B(A):=P(A \cap B)/P(B)[/mm]
wird eine Abbildung [mm] P_B:P(\Omega)\to\IR
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1. Wie kann ich, dass [mm] P_B [/mm] W-Maß über [mm] \Omega [/mm] zeigen?
2. Wie gebe ich ein Teilmenge [mm] N\subset\Omega [/mm] mit [mm] P_B(N)=0 [/mm] an?
Ich danke euch im Voraus.
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> Sei [mm](\Omega,P)[/mm] ein W-Raum und B [mm]\subset \Omega[/mm] mit p(B) >
> 0.
> Durch die Vorschrift:
> [mm]P_B(A):=P(A \cap B)/P(B)[/mm]
> wird eine Abbildung [mm]P_B:P(\Omega)\to\IR[/mm]
>
Dieser Aufgabentext ist leider etwas bruchstückhaft.
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> 1. Wie kann ich, dass [mm]P_B[/mm] W-Maß über [mm]\Omega[/mm] zeigen?
Du musst einfach zeigen, dass [mm]P_B[/mm] alle Eigenschaften eines W-Masses hat. Schau in Deinem Lehrtext nach, was dies bedeutet und weise es für [mm]P_B[/mm] schrittweise nach.
> 2. Wie gebe ich ein Teilmenge [mm]N\subset\Omega[/mm] mit [mm]P_B(N)=0[/mm]
> an?
Dürfte nicht allzu schwierig sein. Die leere Menge wäre sicherer ein Kandidat. Aber auch jede Teilmenge von [mm]\Omega\backslash B[/mm], weil dann ja [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] und somit [mm]P_B(N)=0[/mm] für jedes [mm]N\subseteq \Omega\backslash B[/mm].
Da wir aber [mm]B[/mm] nicht kennen ([mm]B[/mm] könnte im Prinzip auch gleich [mm]\Omega[/mm] sein: was natürlich ziemlich witzlos wäre, weil dann [mm]P_B=P[/mm]), können wir über solche Mengen [mm]N[/mm] nicht viel Gescheiteres sagen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 24.06.2007 | | Autor: | serser |
| Aufgabe | Du musst einfach zeigen, dass $ [mm] P_B [/mm] $ alle Eigenschaften eines W-Masses hat. Schau in Deinem Lehrtext nach, was dies bedeutet und weise es für $ [mm] P_B [/mm] $ schrittweise nach.
Meinst du genau die (Nichtnegativität) und die (Normierheit) ?
Nichtnegativität : P(A)>=0 [mm] (A\subset\Omega)
[/mm]
Nomierheit : [mm] P(\Omega)=1
[/mm]
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>Du musst einfach zeigen, dass $ [mm] P_B [/mm] $ alle Eigenschaften eines >W-Masses hat. Schau in Deinem Lehrtext nach, was dies bedeutet und >weise es für $ [mm] P_B [/mm] $ schrittweise nach.
Meinst du genau die (Nichtnegativität) und die (Normierheit) ?
Nichtnegativität : [mm]P(A)\ge0[/mm] [mm](A\subset\Omega)[/mm]
Nomierheit : [mm] P(\Omega)=1
[/mm]
Oder meinst du was anderes? Ich verstehe die Antwort nicht ganz.
könntest du mir bitte die ersten Lösungsschritte nennen? Oder auch ein einfaches Beispiel, wie ich zur Lösung komme?
Vielen Dank für deine Hilfe.
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> Du musst einfach zeigen, dass [mm]P_B[/mm] alle Eigenschaften eines
> W-Masses hat. Schau in Deinem Lehrtext nach, was dies
> bedeutet und weise es für [mm]P_B[/mm] schrittweise nach.
> Meinst du genau die (Nichtnegativität) und die
> (Normierheit) ?
> Nichtnegativität : P(A)>=0 [mm](A\subset\Omega)[/mm]
> Nomierheit : [mm]P(\Omega)=1[/mm]
Ja, dies gehört dazu (allerdings mussts Du es für [mm]P_B[/mm] beweisen: darfst diese Eigenschaften aber von [mm]P[/mm] voraussetzen): es erklärt aber nur das "W" im Ausdruck "W-Mass". Zusätzlich musst Du (zumindest theoretisch, aber vielleicht gilt dies als zu trivial) die eigentlichen Masseigenschaften von [mm]P_B[/mm] nachweisen.
Der Nachweis der Normiertheit wäre etwa folgendes:
[mm]P_B(\Omega)=\frac{P(\Omega\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1[/mm].
Der Nachweis der Nicht-Negativität, andererseits:
[mm]P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \geq 0[/mm]
da [mm]P(A)\geq 0[/mm] (nach Voraussetzung über [mm]P[/mm]) und [mm]P(B)> 0[/mm] (nach Voraussetzung über [mm]B[/mm]).
Zu den Masseigenschaften: dass [mm]P_B[/mm] auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] definiert ist, ist wohl klar: man nimmt dieselbe [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die man für [mm]P[/mm] voraussetzen darf.
Dann gilt es noch die [mm]\sigma[/mm]-Addititivät für [mm]P_B[/mm] nachzuweisen (auch nur eine Fingerübung). Sei also [mm](A_n)_{n\in \IN}[/mm] eine abzählbare Familie paarweise diskunkter Mengen aus der zugrundeliegenden [mm]\sigma[/mm]-Algebra. Wir müssen zeigen, dass gilt:
[mm]P_B\Big(\bigcup_{n\in\IN} A_n\Big) = \sum_{n\in \IN}P_B(A_n)[/mm]
Es ist im Prinzip möglich, dass Dir der Begriff [mm]\sigma[/mm]-Algebra bzw. der [mm]\sigma[/mm]-Additivität zur Zeit noch nichts sagt: in diesem Falle hast Du diesen Teil der Theorie einfach noch nicht gehabt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 So 24.06.2007 | | Autor: | serser |
An dieser Stelle möchte ich mich noch einmal herzlich bei Ihnen bedanken.
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