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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Sa 07.07.2007 | | Autor: | serser |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,P) [/mm] ein W-Raum und [mm] X_1,X_2:\Omega\to\IN_6 [/mm] zwei unabhängige ZVen, welche den weifachen unabhängige Wurf mit einem fairen Würfel modellieren.
Setze
[mm] G:=P_X_1=P_X_2.
[/mm]
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1. Kann mir jemand sagen wie ich die Verteilung der (vektorwerigen) abbildung [mm] X:=(X_1,X_2):\Omega\to\IN_6\times\IN_6 [/mm] in Termen der Verteilung G angebe?
2.Gegeben ist [mm] Y:=X_1+X_2 [/mm] , wie kann ich die [mm] E_p(Y) [/mm] und [mm] V_p(Y) [/mm] bestimmen.
3. Ein Ereignis [mm] A\inP(\Omega) [/mm] sei definiert durch
[mm] A:=\{w\in\Omega||X_1(w)+X_2(w)-7|\ge4\}.
[/mm]
Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit P(A) von (A) mit Hilfe der Tschebyschev'schen Ungleichung abschätzen?
Ich danke euch im Voraus.
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zu 1.): [mm] X_{1} [/mm] sowie [mm] X_{2} [/mm] sind Laplace-verteilt. Jede Augenzahl hat also die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit. Sei [mm] x=(x_{1}, x_{2}), [/mm] dann ist
die Verteilung von X demnach: P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(X_{1} \le x_{1}, X_{2} \le x_{2}) [/mm] = [mm] G(x_{1})*G(x_{2}) [/mm] (Da [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] stoch. unabhängig sind.)
zu 2.) E(Y) = [mm] E(X_{1} [/mm] + [mm] X_{2}) [/mm] = E [mm] (X_{1}) [/mm] + [mm] E(X_{2}) [/mm] = 7. Du kannst also beide EWerte einfach zusammenrechnen.
Var(Y) = E(Y [mm] -EY)^{2} [/mm] = [mm] E((X_{1}+X_{2})^{2} -2E(X_{1}+X_{2})* (X_{1}+X_{2})+ (E(X_{1}+X_{2}))^{2}). [/mm] Dies ausrechnen.
zu 3.) Wie ich oben schon errechnet habe, ist E(Y) = 7, nach der Tscheb. UGL. gilt nun: P(|Y-E(Y)| [mm] \ge [/mm] 4) [mm] \le 4^{-2}*V(Y). [/mm] Die Varianz von Y sollst Du ja mal alleine ausrechnen, die kannst Du dann einsetzen und weisst, dass die linke Seite dann auf alle Fälle kleiner gleich der rechten ist.
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