Stochastik - Maß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Irina09 |
| Aufgabe | [mm] \mu_n [/mm] (n=1,2,...) sind Maße über einem messbaren Raum [mm] (\Omega,\mathcal{A}).
[/mm]
Sei [mm] \mu: \mathcal{A} \ni [/mm] A [mm] \mapsto \mu(A):=\summe_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(A) \in \overline{\IR}.
[/mm]
Zu zeigen: Dann ist [mm] \mu [/mm] ein Maß über [mm] (\Omega,\mathcal{A}). [/mm] |
Hi,
Stochastik kann extrem abstrakt sein... Daher sitze ich an der obigen Aufgabe und weiß nicht weiter.
Erste Frage: Muss ich zeigen, dass die leere Menge das Maß null hat, die Eigenschaft der Positivität und die Eigenschaft der Sigma-Additivität? Oder noch mehr?
Weitere Fragen (müssen leider) folgen...
LG
Irina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Do 06.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Irina
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> Erste Frage: Muss ich zeigen, dass die leere Menge das Maß
> null hat, die Eigenschaft der Positivität und die
> Eigenschaft der Sigma-Additivität? Oder noch mehr?
Du musst genau die Eigenschaften nachweisen, wodurch ein Mass definiert ist, nicht mehr und nicht weniger.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Do 06.01.2011 | | Autor: | Irina09 |
Vielen Dank! Okay, dann probiere ich es einmal:
Da [mm] \mu_n [/mm] (n=1,2,...) Maße sind, besitzen diese die Eigenschaft [mm] \mu_n(\emptyset)=0. [/mm] Dann gilt für das Maß [mm] \mu:
[/mm]
[mm] \mu(\emptyset)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(\emptyset)=0. [/mm] Also wird diese Eigenschaft erfüllt. Ist das so korrekt?
Da [mm] \mu_n [/mm] (n=1,2,...) Maße sind, besitzen diese die Eigenschaft der Positivität [mm] (\mu_n(A)\ge [/mm] 0 für alle [mm] \mathcal{A} [/mm] in A). Dann gilt für das Maß [mm] \mu:
[/mm]
[mm] \mu(A)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(A) \ge \summe_{n=1}^{\infty}0 [/mm] = 0. Also ist auch diese Eigenschaft erfüllt. Ist das korrekt?
Wie zeigt man nun die Sigma-Additivität?
Gruß
Irina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank! Okay, dann probiere ich es einmal:
>
> Da [mm]\mu_n[/mm] (n=1,2,...) Maße sind, besitzen diese die
> Eigenschaft [mm]\mu_n(\emptyset)=0.[/mm] Dann gilt für das Maß
> [mm]\mu:[/mm]
> [mm]\mu(\emptyset)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(\emptyset)=0.[/mm]
> Also wird diese Eigenschaft erfüllt. Ist das so korrekt?
Ja
>
> Da [mm]\mu_n[/mm] (n=1,2,...) Maße sind, besitzen diese die
> Eigenschaft der Positivität [mm](\mu_n(A)\ge[/mm] 0 für alle
> [mm]\mathcal{A}[/mm] in A). Dann gilt für das Maß [mm]\mu:[/mm]
> [mm]\mu(A)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(A) \ge \summe_{n=1}^{\infty}0[/mm]
> = 0. Also ist auch diese Eigenschaft erfüllt. Ist das
> korrekt?
Ja
>
> Wie zeigt man nun die Sigma-Additivität?
Mit der Sigma-Additivität der $ [mm] \mu_n [/mm] $
FRED
>
> Gruß
> Irina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Do 06.01.2011 | | Autor: | Irina09 |
Okay. Ich dachte, dass das schwieriger wäre... 
Zu zeigen ist die Sigma-Additivität von [mm] \mu. [/mm] Da [mm] \mu_{n} [/mm] für n = 1,2,... Maße sind, gilt für diese die Sigma-Additivität, also: [mm] \mu_{n}(\summe_{i=1}^{\infty}A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}\mu_{n}(A_i) [/mm] für alle [mm] A_i \in \mathcal{A}.
[/mm]
Dann gilt für [mm] \mu [/mm] folgendes:
[mm] (\summe_{i=1}^{\infty}A_i)\overbrace{=}^{Def.}\summe_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(\summe_{i=1}^{\infty}A_i)\overbrace{=}^{\sigma Add. von \mu_{n}} \summe_{n=1}^{\infty}\summe_{i=1}^{\infty}\mu_{n}(A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\mu(A_i). [/mm] Ist das so korrekt?
Jetzt kommt noch eine schwierige Aussage, die ich zeigen soll:
Gegeben ist eine endlich [mm] \mu-integrierbare [/mm] Funktion f: [mm] \Omega \to \overline{\IR}. [/mm] Dann gilt, dass f für jedes n [mm] \in \IN [/mm] endlich [mm] \mu_{n}-integrierbar, [/mm] es gilt: [mm] \integral [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \integral [/mm] f [mm] d\mu_{n}
[/mm]
Das erscheint mir ziemlich schwierig. Ich hatte mir gesacht, den Sachverhalt erstmal für [mm] \mu [/mm] = [mm] \mu_{1} [/mm] + [mm] \mu_{2} [/mm] zu zeigen. Doch wie stelle ich das an?
Ich danke Euch sehr!
Gruß
Irina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Do 06.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> Okay. Ich dachte, dass das schwieriger wäre...
>
> Zu zeigen ist die Sigma-Additivität von [mm]\mu.[/mm] Da [mm]\mu_{n}[/mm]
> für n = 1,2,... Maße sind, gilt für diese die
> Sigma-Additivität, also:
> [mm]\mu_{n}(\summe_{i=1}^{\infty}A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}\mu_{n}(A_i)[/mm]
> für alle [mm]A_i \in \mathcal{A}.[/mm]
> Dann gilt für [mm]\mu[/mm]
> folgendes:
>
> [mm](\summe_{i=1}^{\infty}A_i)\overbrace{=}^{Def.}\summe_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(\summe_{i=1}^{\infty}A_i)\overbrace{=}^{\sigma Add. von \mu_{n}} \summe_{n=1}^{\infty}\summe_{i=1}^{\infty}\mu_{n}(A_{i})[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\mu(A_i).[/mm] Ist das so korrekt?
Fast. Wieso darfst du die Summen vertauschen?
>
> Jetzt kommt noch eine schwierige Aussage, die ich zeigen
> soll:
>
> Gegeben ist eine endlich [mm]\mu-integrierbare[/mm] Funktion f:
> [mm]\Omega \to \overline{\IR}.[/mm] Dann gilt, dass f für jedes n
> [mm]\in \IN[/mm] endlich [mm]\mu_{n}-integrierbar,[/mm] es gilt: [mm]\integral[/mm] f
> [mm]d\mu[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \integral[/mm] f [mm]d\mu_{n}[/mm]
>
> Das erscheint mir ziemlich schwierig. Ich hatte mir
> gesacht, den Sachverhalt erstmal für [mm]\mu[/mm] = [mm]\mu_{1}[/mm] +
> [mm]\mu_{2}[/mm] zu zeigen. Doch wie stelle ich das an?
>
> Ich danke Euch sehr!
>
> Gruß
> Irina
Koenntest du bitte *neue* Fragen in einem *neuen* Thread stellen. Es droht sonst ein unentwirrbares Kuddelmuddel.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Do 06.01.2011 | | Autor: | Irina09 |
Mache ich...
Warum ich das vertauschen darf, ist eine sehr gute Frage von dir. Mir fällt jetzt keine genaue Begründung ein. Kannst du sie mir bitte nennen?
Gruß
Irina
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Huhu,
Tip: Absolute Konvergenz
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 06.01.2011 | | Autor: | Irina09 |
Hi,
leider stehe ich da trotzdem auf dem Schlauch.
Sind Maße i.A. absolut konvergent, oder wo gilt das?
Gruß
Irina
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Huhu,
hier gehts ja nicht um die Maße, sondern um die Summenzeichen, die du vertauschst. Das entspricht einer Umordnung der Reihe.
Wann darfst du Reihen denn Umordnen?
(Und das ist jetzt Stoff, der nichts mit Maßen zu tun hat )
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 06.01.2011 | | Autor: | Irina09 |
Na klar. Vielen Dank.
Man darf eine Reihe umorden, wenn sie absolut konvergent ist. Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutglieder konvergiert. Da Maße nichtnegativ sind, sind die Absolutbeträge der Maße gleich den Maßen und es darf umgeordnet werden, korrekt?
Gruß
Irina
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Huhu,
> Man darf eine Reihe umorden, wenn sie absolut konvergent
> ist. Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
> ihrer Absolutglieder konvergiert. Da Maße nichtnegativ
> sind, sind die Absolutbeträge der Maße gleich den Maßen
> und es darf umgeordnet werden, korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 06.01.2011 | | Autor: | sinalco |
In meiner Vorlesung wurde ein Wahrscheinlichkeitsmaß nur über die zwei Bedingungen
a) [mm] P(\omega) [/mm] = 1 (hier ist eigentlich groß Omega gemeint)
b) [mm] P[\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k] [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} P[A_k] [/mm] - für disjunkte Ereignisse [mm] A_k [/mm] mit [mm] A_1, A_2, [/mm] ... [mm] \subset \mathcal{A}
[/mm]
definiert ... also über das Komplementärereignis, das Irina beschrieben hat und die Sigma-Additivität - weshalb ist die Positivität trotzdem gegeben?
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Huhu,
> In meiner Vorlesung wurde ein Wahrscheinlichkeitsmaß nur
> über die zwei Bedingungen
ja, du redest hier von einem W-Maß und nicht allgemein über ein Maß.
Und auch du hast 3 Eigenschaften.
> a) [mm]P(\omega)[/mm] = 1 (hier ist eigentlich groß Omega gemeint)
>
> b) [mm]P[\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k][/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} P[A_k][/mm]
> - für disjunkte Ereignisse [mm]A_k[/mm] mit [mm]A_1, A_2,[/mm] ... [mm]\subset \mathcal{A}[/mm]
>
> definiert ... also über das Komplementärereignis, das
> Irina beschrieben hat und die Sigma-Additivität - weshalb
> ist die Positivität trotzdem gegeben?
Die ist nicht gegeben, die ist Voraussetzung.
In deiner VL steht garantiert:
"Eine nichtnegative Funktion P heißt W-Maß..."
oder
"Eine Funktion [mm] $P:\mathcal{F} \to [/mm] [0,1]$ heisst W-Maß, wenn gilt ...."
Das hast du hier nur unterschlagen 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Do 06.01.2011 | | Autor: | sinalco |
das zweite ist der Fall (in einer Fußnote) ...
Danke ...
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