Stochastik: Operationscharakteristik/OC-Funktion < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Conney |
Hi! :)
Wäre toll, wenn mir jemand mit der OC-Funktion helfen könnte. (Für den Anfang erstmal nur die rechtsseitige)
Meine Frage: Warum und wie spielt das Signifikanzniveau eine Rolle bei der OC-Funktion?
Wie hängt eigentlich das Signifikanzniveau und (alpha) zusammen? Ich dachte bis jetzt eigentlich, dass (alpha) das Signifikanzniveau ist, und nun steht im Beispiel zur OC-Funtion im meinem Mathebuch alpha=0,0325 und Signifikanzniveau=5% ???
Danke für Eure Hilfe im voraus!!!
ciao
Conney
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Hallo!
> Wäre toll, wenn mir jemand mit der OC-Funktion helfen
> könnte. (Für den Anfang erstmal nur die rechtsseitige)
Zunächst mal eine Gegenfrage: welcher spezielle Test gehört zu dem Beispiel? Ich denke, dass damit die Ausdrücke "rechtsseitig" und "linksseitig" genauer beschrieben werden könnten. DIe OC-Funktion gibt allgemein die Wahrscheinlichkeit dafür an, mit der Testgröße nicht im kritischen Bereich (Ablehnungsbereich) zu liegen (d.h. die Entscheidung würde aufgrund der beobachteten Daten lauten, die Nullhypothese abzulehnen). Diese Wahrscheinlichkeit hängt aber vom unbekannten Parameter ab (für den der Test durchgeführt wird) und auch von der Nullhypothese, nach der der Ablehnungsbereich aufgestellt wird. Auch von daher wäre es gut, wenn Du das Beispiel in Deinem Mathebuch ausführlicher erläuterst.
> Meine Frage: Warum und wie spielt das Signifikanzniveau
> eine Rolle bei der OC-Funktion?
Das Signifikanzniveau spielt deshalb eine Rolle, weil dieses Niveau die Wahrscheinlichkeit angibt, den Test abzulehnen, obwohl die Nullhypothese stimmt (sog. Fehler 1. Art). Es gilt also:
[mm]P_{H_0}(Testgroesse\; liegt\; im\; Ablehnungsbereich)\le\alpha.[/mm]
[mm]P_{H_0}[/mm] soll dabei heißen, dass die Nullhypothese in Wahrheit zutrifft.
Für diejenigen Parameterwerte, bei denen die Nullhypothese zutrifft, nimmt die OC-Funktion Werte über [mm]1-\alpha[/mm] an, wenn wir das Signifikanzniveau (wie üblich) [mm]\alpha[/mm] nennen. Dabei wird von obiger Formel einfach die Gegenwahrscheinlichkeit gebildet:
[mm]P_{H_0}(Testgroesse\; liegt\; nicht\; im\; Ablehnungsbereich)=1-P_{H_0}(Testgroesse\; liegt\; im\; Ablehnungsbereich)\ge1-\alpha.[/mm]
> Wie hängt eigentlich das Signifikanzniveau und (alpha)
> zusammen? Ich dachte bis jetzt eigentlich, dass (alpha) das
> Signifikanzniveau ist, und nun steht im Beispiel zur
> OC-Funtion im meinem Mathebuch alpha=0,0325 und
> Signifikanzniveau=5% ???
Das ist mir auch nicht ganz klar. Dafür müsste ich das ganze Beispiel sehen. Vielleicht gibst Du mal Dein Lehrbuch an. Dann hat zumindest Stefan große Chancen, sich das genau anzuschauen, weil er nahezu jedes Buch daheim hat  Normalerweise bezeichnet man mit [mm]\alpha[/mm] das Signifikanzniveau. Daneben gibt es noch die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (zumeist als [mm]\beta[/mm] bezeichnet):
[mm]P_{H_1}(Testgroesse\; liegt\; nicht\; im\; Ablehnungsbereich)[/mm]
Also die Wkt., die Nullhypothese nicht abzulehnen, obwohl die Alternativhypothese [mm]H_1[/mm] stimmt. Das generelle Problem bei statistischen Tests ist, dass man [mm]\alpha[/mm] im Griff hat (gibt man sich ja möglichst klein vor), aber je kleiner [mm]\alpha[/mm] ist, desto größer wird [mm]\beta[/mm]. Die Wahrscheinlichkeiten entwickeln sich entgegengesetzt.
Hoffe, das hat schon ein wenig geholfen.
Grüße
Brigitte
> Danke für Eure Hilfe im voraus!!!
>
> ciao
> Conney
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Conney |
Hi! :)
> Zunächst mal eine Gegenfrage: welcher spezielle Test gehört
> zu dem Beispiel? Ich denke, dass damit die Ausdrücke
> "rechtsseitig" und "linksseitig" genauer beschrieben werden
> könnten.
Es handelt sich um den Signifikanztest.
Mein Mathebuch: Mathematik Stochastik vom Cornelsen Verlag ISBN 3-590-12320
(Seiten: 142-145)
Beispiel: (so habe ich es zumindest verstanden, bin für Korrekturen offen)
Eine Gruppe von Forschern hat ein neues Medikament entwickelt und will nun wissen, ob es besser ist als das alte. Die Erfolgswahrscheinlichkeit vom alten Medikament beträgt 0,5 und das neue soll nun besser sein p>0,5.
[mm] H_0 [/mm] = altes Medikament wirkt
[mm] H_1 [/mm] = neues Medikament wirkt
[mm] \alpha-Fehler: [/mm] Entscheidung gegen [mm] H_0 [/mm] obwohl "wahr" (begrenzt man selbst)
[mm] \beta-Fehler: [/mm] Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] obwohl [mm] H_1 [/mm] "wahr" (hier ist p>0,5, hatte nur schlechte Stichprobe)
also: um so höher p ist, um so niedriger ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur 31 der 50 Patienten geheilt werden.
Um diesen Verlauf darzustellen braucht man die OC-Funktion.
Die Wahrscheinlichkeiten für eine Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] werden den "wahren" Werten von p zugeordnet.
OC(p)=P(Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] | p ist der "wahre" Parameter)
Nun hab ich gedacht, ich hätte alles verstanden, aber das wäre zu einfach gewesen...
Tut mir leid ich versteh immmer noch nicht, wie [mm] \alpha [/mm] die (rechtsseitige) OC-Funktion beeinflusst...
Ich hab gedacht, man würde auf der x-Achse die Werte von p eintragen und dann auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeit für einen [mm] \beta-Fehler.
[/mm]
also ungefähr so: OC(p)=F(n;p;k) (wobei p die Laufvariabel ist...also wie x)
In diesem Beispiel wäre das dann: OC(p)=F(50;p;31)
Das ist wahrscheinlich falsch, da alpha gar nicht berücksichtigt wird, oder???
Wie rechnet man denn das Signifkanzniveau aus?
Im Buch ist das so, dass man sich eins aussucht z.B. 5% und dann rechnet man irgendwas.
hier: [mm] P(X>k|H_0)=1-F(50;0,5;k)=\alpha
[/mm]
*Erleuchtung*
Ach, ich glaube, jetzt habe ich es kapiert. (Ich hab das jetzt bestimmt schon hundermal gelesen)
Man sucht sich die 5% aus, dann sucht man ein belieges k aus, so dass ungefähr die 5% rauskommen, aber weil es kein k gibt bei dem genau 5% rauskommen, nimmt man das was direkt darunter liegt, also hier k=31 [mm] \alpha=0,0325<0,05
[/mm]
Das stimmt aber jetzt, oder etwa nicht???
Oh ich glaube, heute ist mein Erleuchtungstag!
Zur 1. Frage: *Erleuchtung*
[mm] \alpha [/mm] beeinflusst die OC-Funktion indirekt, denn durch eine Veränderung von [mm] \alpha [/mm] wird auch k verändert? *bitte lass das richtig sein*
Danke für Deine Hilfe!!! 8)
Conney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Conney!
Natürlich habe ich das Buch, das hatte Brigitte schon richtig vermutet. 
> Beispiel: (so habe ich es zumindest verstanden, bin für
> Korrekturen offen)
> Eine Gruppe von Forschern hat ein neues Medikament
> entwickelt und will nun wissen, ob es besser ist als das
> alte. Die Erfolgswahrscheinlichkeit vom alten Medikament
> beträgt 0,5 und das neue soll nun besser sein p>0,5.
> [mm] [b]H_0 [/mm] = altes Medikament wirkt[/b]
> [mm] [b]H_1 [/mm] = neues Medikament wirkt[/b]
Ich würde es exakter so auschreiben wir auf Seite 137:
[mm] $H_0$ [/mm] : $p=0,5$, d.h. die neue Therapie ist (lediglich) so erfolgreich wie die herkömmliche Therapie
[mm] $H_1$ [/mm] : $p>0,5$, d.h. die neue Therapie ist erfolgreicher als die herkömmliche Therapie.
> [mm] \alpha-Fehler: [/mm] Entscheidung gegen [mm] H_0 [/mm] obwohl "wahr"
> (begrenzt man selbst)
> [mm] \beta-Fehler: [/mm] Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] obwohl [mm] H_1 [/mm] "wahr" (hier
> ist p>0,5, hatte nur schlechte Stichprobe)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also: um so höher p ist, um so niedriger ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass nur 31 der 50 Patienten geheilt
> werden.
> Um diesen Verlauf darzustellen braucht man die
> OC-Funktion.
> Die Wahrscheinlichkeiten für eine Entscheidung für [mm] H_0 [/mm]
> werden den "wahren" Werten von p zugeordnet.
> OC(p)=P(Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] | p ist der "wahre"
> Parameter)
> Nun hab ich gedacht, ich hätte alles verstanden, aber das
> wäre zu einfach gewesen...
> Tut mir leid ich versteh immmer noch nicht, wie [mm] \alpha [/mm] die
> (rechtsseitige) OC-Funktion beeinflusst...
>
> Ich hab gedacht, man würde auf der x-Achse die Werte von p
> eintragen und dann auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeit
> für einen [mm] \beta-Fehler.
[/mm]
Wenn $p>0,5$ ist, dann ist $OC(p)$ in der Tat der [mm] $\beta$-Fehler.
[/mm]
> also ungefähr so: OC(p)=F(n;p;k) (wobei p die Laufvariabel
> ist...also wie x)
> In diesem Beispiel wäre das dann: OC(p)=F(50;p;31)
> Das ist wahrscheinlich falsch, da alpha gar nicht
> berücksichtigt wird, oder???
Doch, aber das schreibst du ja später selber.
> Wie rechnet man denn das Signifkanzniveau aus?
> Im Buch ist das so, dass man sich eins aussucht z.B. 5% und
> dann rechnet man irgendwas.
> hier: [mm] P(X>k|H_0)=1-F(50;0,5;k)=\alpha
[/mm]
> *Erleuchtung*
> Ach, ich glaube, jetzt habe ich es kapiert. (Ich hab das
> jetzt bestimmt schon hundermal gelesen)
> Man sucht sich die 5% aus, dann sucht man ein belieges k
> aus, so dass ungefähr die 5% rauskommen, aber weil es kein
> k gibt bei dem genau 5% rauskommen, nimmt man das was
> direkt darunter liegt, also hier k=31 [mm] \alpha=0,0325<0,05
[/mm]
> Das stimmt aber jetzt, oder etwa nicht???
![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Das steht doch so mehr oder weniger auch auf Seit 142 oben.
> Oh ich glaube, heute ist mein Erleuchtungstag!
> Zur 1. Frage: *Erleuchtung*
> [mm] \alpha [/mm] beeinflusst die OC-Funktion indirekt, denn durch
> eine Veränderung von [mm] \alpha [/mm] wird auch k verändert? *bitte
> lass das richtig sein*
Besser als du hätte man es nicht zusammenfassen können.
Ich bin begeistert! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 So 30.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Conney!
Nur im Falle $p>0,5$ ist
[mm]OC(p)=P(\mbox{Entscheidung für}\ H_0\,|\, p\ \mbox{ist der "`wahre"' Parameter})[/mm]
der [mm] [b]$\beta$-Fehler[/b], [/mm] denn nur in diesem Fall ist ja [mm] $H_1$ [/mm] erfüllt, aber ich entscheide mich trotzdem für [mm] $H_0$.
[/mm]
Im Falle, wo $p [mm] \le [/mm] 0,5$ gilt, ist ja [mm] $H_0$ [/mm] erfüllt, und ich entscheide mich auch für [mm] $H_0$. [/mm] Dort mache ich also gar keinen Fehler. Aber: Wenn ich
[mm]1-OC(p) = P(\mbox{Entscheidung für}\ H_1\, |\, p\ \mbox{ist der "`wahre"' Parameter})[/mm]
berechne, dann ist [mm] $H_0$ [/mm] erfüllt, aber ich entscheide mich für [mm] $H_1$, [/mm] mache also einen [mm] $\alpha$-Fehler. [/mm]
Demnach ist im Falle $p [mm] \le [/mm] 0,5$ der Ausdruck $1-OC(p)$ der Wert für den [mm] $\alpha$-Fehler.
[/mm]
Und das siehst du auch im Graphen auf Seite 144. Schau dir mal den Wert an der Stelle $0,5$ an. Der ist nicht genau gleich $1$, sondern etwas kleiner. Wenn man genau messen würde, wäre er gleich $0,9675$, und dann ist:
[mm] $\alpha [/mm] = 1 - OC(0,5) = 1 - 0,9675 = 0,0325$.
Für $p<0,5$ sind die Werte noch viel, viel dichter an $1$, d.h. der [mm] $\alpha$-Fehler [/mm] wird immer kleiner - ist ja auch logisch: Wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, bei dessen Eintreten ich die Nullhypothese ablehne, immer kleiner wird (und das wird es ja, wenn $p$ kleiner wird!), dann wird auch die Wahrscheinlichkeit kleiner, dass ich zu Unrecht ablehne.
Aber: Die Werte von $OC(p)$ sind auch für $p<0,5$ nie ganz gleich $1$, sondern nur sehr, sehr dicht dran an der $1$. Das sieht man nur an dem Graphen auf Seite 144 nicht, aus zeichentechnischen Gründen.
Jetzt alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 30.05.2004 | | Autor: | Conney |
achso,
das heißt selbst die Werte [mm] p\le0,5 [/mm] kann ich ganz normal mit F(50;p;31) bestimmen, oder?
Das heißt aber auch, dass die OC-Funktion [mm] p\le0,5 [/mm] nicht mehr die Wahrscheinlichkeit eines [mm] \beta-Fehlers [/mm] angibt.
(oder doch) (Man entscheidet sich ja absichtlich und richtigerweise für [mm] H_0)...
[/mm]
Noch eine Frage zur Gütefunktion, die Gütefunktion ist hier doch einfach 1-F(50;p;31), oder?
Danke!
Conney
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Hallo Conney,
> achso,
> das heißt selbst die Werte [mm] p\le0,5 [/mm] kann ich ganz normal mit
> F(50;p;31) bestimmen, oder?
Genau. Das geht für jedes $p$, egal ob mit diesem $p$ [mm] $H_0$ [/mm] richtig ist oder nicht.
> Das heißt aber auch, dass die OC-Funktion [mm] p\le0,5 [/mm] nicht
> mehr die Wahrscheinlichkeit eines [mm] \beta-Fehlers [/mm] angibt.
Genau. Da macht man ja eigentlich keinen Fehler. Zumindest wenn man
die Nullhypothese zu [mm] $H_0:p\le [/mm] 0.5$ erweitert. Sonst weiß man ja gar nichts über den Bereich $p<0.5$. Aber das ist ein wenig Erbsenzählerei
> (oder doch) (Man entscheidet sich ja absichtlich und
> richtigerweise für [mm] H_0)...
[/mm]
Ja.
> Noch eine Frage zur Gütefunktion, die Gütefunktion ist hier
> doch einfach 1-F(50;p;31), oder?
Exakt. Ich glaube, jetzt hast Du den Durchblick
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:16 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Tomcat |
Hallo!
Wie liest man denn den Graph einer OC-Funktion, wenn auf der
x-Achse nicht die Wahrscheinlichkeit p sondern der Erwartungswert
steht?
Was sagen denn dann die verschiedenen Erwartungswerte aus?
Gruß
Tomcat
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