Stochastische Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Di 02.12.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Geben sie möglich einfache Beispiele(auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum) von je drei Ereignissen $A,B$ und $C $mit folgenden Eigenschaften an:
$a) P( A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)*P(B)*P(C),$aber $A,B $und $C $sind nicht unabhängig.
$b)$ $ A,B $ und $ C$ sind paarweise unabhängig,aber nicht unabhängig |
$a)$
ich hab mir das erst mal so gedacht ,ich weis nicht ,ob das falsch oder richtig ist
$P( A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)*P(B)*P(C)$
$P( A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)*P(B)$
$P( A [mm] \cap [/mm] C) = P(A)*P(C)$
$P( B [mm] \cap [/mm] C) = P(B)*P(C)$
aber ich weis nichts damit anzufangen
zur $b) $hab ich keine Ahnung
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Di 02.12.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo LGS,
es geht darum Beispiele für die jeweiligen Aussagen zu finden.
Noch einmal die Definition von (stochastisch) unabhängig. [mm] (A_i)_{i\in I} [/mm] heißen stochastisch unabhängig bzgl. P, ganau dann, wenn [mm] \forall m\in\IN [/mm] und [mm] $i_1,...,i_m\in [/mm] I$ paarweise verschieden gilt [mm] P(A_{i_1}\cap...\cap A_{i_m})=P(A_{i_1})\cdot...\cdot P(A_{i_m}).
[/mm]
Ein Beispiel für b):
Ein Beispiel für A,B,C nicht stochastisch unabhängig, wäre:
[mm] \Omega=\{1,...,6\}^2, [/mm] Laplace-Experiment.
[mm] A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\}
[/mm]
[mm] B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\}
[/mm]
[mm] C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\}
[/mm]
Offensichtlich: [mm] $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{6}$. [/mm] Zwar sind A,B,C paarweise stochastisch unabhängig, was man leicht zeigen kann, aber sie sind nicht stochastisch unabhängig, denn
[mm] $P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{36}\neq(\frac{1}{6})^3=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C)$.
Vielleicht hast du jetzt einen Ansatz für a). Ein Ansatz:
[mm] \Omega=\{1,...,6\}, [/mm]
[mm] p(1)=p(2)=p(3)=\frac{1}{3}
[/mm]
$p(4)=p(5)=p(6)=0$.
Wie können bei diesem Wurf mit einem gezinkten Würfel die Mengen A,B,C aussehen, die das geforderte leisten? Also [mm] $P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C)$.
MfG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 03.12.2014 | | Autor: | LGS |
Hi Ladon,
wenn ich das nochmal rekapitulieren darf,
$ [mm] A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\} [/mm] , |A| [mm] :=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\}$
[/mm]
$ [mm] B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\} [/mm] , |B|:= [mm] \{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}$
[/mm]
$ [mm] C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\} [/mm] , |C|:= [mm] \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$
[/mm]
$ [mm] \Omega=\{1,...,6\}^2, [/mm] $
$ [mm] \frac{|P(A)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}$
[/mm]
$ [mm] \frac{|P(B)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}$
[/mm]
$ [mm] \frac{|P(C)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}$
[/mm]
[mm] $\frac{|P(A \cap B)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} [/mm] = P(A)*P(B) [mm] \Rightarrow [/mm] $stoch. unabhängig.
[mm] $\frac{|P(A \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} [/mm] = P(A)*P(C) [mm] \Rightarrow [/mm] $stoch. unabhängig.
[mm] $\frac{|P(B \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} [/mm] = P(B)*P(C) [mm] \Rightarrow [/mm] $stoch. unabhängig.
[mm] $\frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} \neq [/mm] P(A)*P(B) *P(C) = [mm] \frac{1}{6}*\frac{1}{6}*\frac{1}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{216}$
[/mm]
ich hab jetzt einen Plan wie das system abläuft,wie man sowas prüft!!danke Ladon,jedoch weiss ich nicht wie ich für die Ereignisse A,B und C deine Hilfe verwenden kann,sodass ich aufgabenstellung a) lösen kann,....:(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Ladon |
> Hi Ladon,
>
> wenn ich das nochmal rekapitulieren darf,
>
> [mm]A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\} , |A| :=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\}[/mm]
>
> [mm]B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\} , |B|:= \{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}[/mm]
>
> [mm]C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\} , |C|:= \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}[/mm]
Du meinst sicherlich
[mm]A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\}=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\}[/mm], $|A|=6$
[mm]B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\}= \{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}[/mm], $|B|=6$
[mm]C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\}= \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}[/mm], $|C|=6$
> [mm]\frac{|P(A)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}[/mm]
>
> [mm]\frac{|P(B)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}[/mm]
>
> [mm]\frac{|P(C)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}[/mm]
>
> [mm]\frac{|P(A \cap B)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(A)*P(B) \Rightarrow [/mm]stoch.
> unabhängig.
>
> [mm]\frac{|P(A \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(A)*P(C) \Rightarrow [/mm]stoch.
> unabhängig.
>
> [mm]\frac{|P(B \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(B)*P(C) \Rightarrow [/mm]stoch.
> unabhängig.
>
> [mm]\frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} \neq P(A)*P(B) *P(C) = \frac{1}{6}*\frac{1}{6}*\frac{1}{6} = \frac{1}{216}[/mm]
Ansonsten OK. Ich würde aber
[mm]\frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} \neq \frac{1}{216}=\frac{1}{6}*\frac{1}{6}*\frac{1}{6} =P(A)*P(B) *P(C) [/mm]
schreiben.
EDIT: Die Folgerung
[mm]\frac{|P(A \cap B)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(A)*P(B) \Rightarrow [/mm]stoch. unabhängig
ist nicht zulässig. Aus
[mm] $P(A\cap [/mm] B)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(B)$ UND
[mm] $P(A\cap [/mm] C)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(C)$ UND
[mm] $P(B\cap [/mm] C)= [mm] P(B)\cdot [/mm] P(C)$
folgt, dass A,B,C paarweise stochastisch unabhängig sind. Mach dir die Definitionen noch mal klar. A,B,C sind stochastisch unabhängig, wenn zusätzlich zu [mm] $P(A\cap [/mm] B)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(B)$ UND [mm] $P(A\cap [/mm] C)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(C)$ UND [mm] $P(B\cap [/mm] C)= [mm] P(B)\cdot [/mm] P(C)$ auch noch $ [mm] P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C) $ gilt!
>
> ich hab jetzt einen Plan wie das system abläuft,wie man
> sowas prüft!!danke Ladon,jedoch weiss ich nicht wie ich
> für die Ereignisse A,B und C deine Hilfe verwenden
> kann,sodass ich aufgabenstellung a) lösen kann,....:(
Zu a):
$ [mm] \Omega=\{1,...,6\}, [/mm] $
$ [mm] p(1)=p(2)=p(3)=\frac{1}{3} [/mm] $
$ p(4)=p(5)=p(6)=0 $.
Wie können bei diesem Wurf mit einem gezinkten Würfel die Mengen A,B,C aussehen, die das geforderte leisten? Also $ [mm] P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C) $. (Zitat aus Antwort oben)
Zu a) suchst du dir also Mengen [mm] A,B,C\subseteq \Omega, [/mm] für die zwar $ [mm] P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C) $, aber
[mm] $P(A\cap B)\neq P(A)\cdot [/mm] P(B)$ oder
[mm] $P(A\cap C)\neq P(A)\cdot [/mm] P(C)$ oder
[mm] $P(B\cap C)\neq P(B)\cdot [/mm] P(C)$.
LG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Do 04.12.2014 | | Autor: | LGS |
Ladon :)
ich finde zu deinem Suggestionen keine Ereignisse A,B und C.
jedoch sind mir andere eingefallen
vorrausgesetzt fairer Würfel
[mm] $\Omega [/mm] := [mm] \{1,..,6\}$
[/mm]
$A:= [mm] \{k : k \in \{1,2,3\} \}$
[/mm]
$B:= [mm] \{\emptyset\}$
[/mm]
$C:= [mm] \{j : j \in \{3,4,5\} \}$
[/mm]
$ [mm] \frac{|P(A)|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] \frac{|P(B)|}{|\Omega|}= [/mm] 0$
$ [mm] \frac{|P(C)|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] \frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} =\frac{|P( \emptyset)|}{|\Omega|} [/mm] = 0= P(A)*P(B)*P(C)= [mm] \frac{1}{2}*0*\frac{1}{2}$
[/mm]
also sind sie unabhängig
nun paarweise überprüfung
$ [mm] \frac{|P(A \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{|P( 1)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{6} \neq [/mm] P(A)*P(C)= [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}.
[/mm]
ich glaube ,dass das so ok ist,aber wenn es falsch ist ,bitte belehre mich eines Besseren, dennoch möchte ich mich entschuldigen,dass ich deine Tipps nicht umsetzen konnte,die du mir indeinem Ansatz für die $ a) $ geliefert hast, pardon ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Fr 05.12.2014 | | Autor: | luis52 |
> ich glaube ,dass das so ok ist,aber wenn es falsch ist
> ,bitte belehre mich eines Besseren,
Moin, kleine Korrektur: Schreibe [mm] $B=\emptyset$ [/mm] und nicht [mm] $B=\{\emptyset\}$.
[/mm]
Letzteres ist eine einlelementige Menge.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Fr 05.12.2014 | | Autor: | LGS |
Ist die aufgabe jetzt so richtig bearbeitet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Ladon |
Dein Beispiel ist in der Tat richtig, wenn man von ein paar Schreibfehlern absieht. Es muss
[mm] B=\emptyset
[/mm]
$ [mm] P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}= [/mm] 0 $
$ [mm] P(C)=\frac{|C|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$ P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap C)=\frac{|A \cap B \cap C|}{|\Omega|} =\frac{| \emptyset|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] 0=\frac{1}{2}\cdot{}0\cdot{}\frac{1}{2}= P(A)\cdot{}P(B)\cdot{}P(C) [/mm] $ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stochastisch unabhängig.
$ P(A [mm] \cap C)=\frac{|A \cap C|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{|\{3\}|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{6} \neq \frac{1}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{2} [/mm] = P(A)*P(C) . $ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht paarweise stochastisch unabhängig.
heißen! Achte auf deine Notation!
[mm] \emptyset [/mm] entspricht in der Realität einem unmöglichen Ergebnis. Allerdings finde ich den Weg direkt über [mm] \emptyset [/mm] zu gehen etwas "unelegant".
Mein Beispiel wäre z.B. folgendes gewesen:
$ [mm] \Omega=\{1,...,6\}, [/mm] $
$ [mm] p(1)=p(2)=p(3)=\frac{1}{3} [/mm] $
$ p(4)=p(5)=p(6)=0 $. "unfairer Würfel"
[mm] A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{5\}. [/mm] Dann ist
[mm] $P(A\cap B\cap C)=P(\emptyset)=0=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C)$.
Aber [mm] $P(A\cap B)=P(\emptyset)=0\neq\frac{1}{9}=P(A)\cdot [/mm] P(B)$.
Vielleicht siehst du jetzt auch, warum ich $ p(4)=p(5)=p(6)=0 $ gewählt habe. So komme ich ohne die leere Menge aus.
MfG
Ladon
|
|
|
|
