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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:59 So 05.07.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Definition:
n Ereignisse [mm] A_1, [/mm] ..., [mm] A_n [/mm] heißen unabhängig (oder vollständig unabhängig), falls für jede Zahl k = 2, ..., n und jede nichtleere k-elementige Teilmenge [mm] {i_1, i_2, ..., i_k} [/mm] von {1, ..., n}
[mm] P(A_i_1 \cap A_i_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_i_k [/mm] ) = [mm] P(A_i_1) [/mm] * [mm] P(A_i_2) [/mm] * ... * [mm] P(A_i_k)
[/mm]
gilt.
Beispiel (so steht es in einem Lehrbuch):
Ω = {1,2,3,4}, P({i}) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] für i = 1, ..., 4.
Die Ereignisse A = {1,2}, B = {1,3}, C = {2,3} sind wegen
P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) * P(B) = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
P(A [mm] \cap [/mm] C) = P(A) * P(C) = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
P(B [mm] \cap [/mm] C) = P(B) * P(C) = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
zwar paarweise unabhängig, aber wegen P(A [mm] \cap [/mm] B \ cap C) = 0 und P(A) * P(B) * P(C) = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] nicht (vollständig) unabhängig. |
Hallo,
ich habe Fragen zur Definition und zu dem Beispiel, denn ich glaube das Buch hat da einen Schönheitsfehler gemacht.
Die Definition von Wikipedia z.B. sagt, zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn
P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) * P(B)
gilt. Entsprechend wären drei Ereignisse A, B, C unabhängig, wenn
P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) = P(A) * P(B) * P(C)
gilt, usw.
Bei der oben gezeigten Definition steht das zwar auch so da, nur was soll das k = 2, ... n? Ich sehe nirgendwo eine Laufvariable bei 2 beginnen und das hat mich total verwirrt. Von sowas lasse ich mich aus dem Konzept bringen.
Das gleiche gilt für das Beispiel. Für mich steht da: "Es gibt in Ω 4 Ereignisse (1,2,3 und 4), die jeweils die Wahrscheinlichkeit P(i) = [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] i = 1,...,4 haben.
Ich hätte nun für die Ereignisse A = {1,2}, B = {1,3}, C = {2,3} folgendes gerechnet:
P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) * P(B) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
P(A [mm] \cap [/mm] C) = P(A) * P(C) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
P(B [mm] \cap [/mm] C) = P(B) * P(C) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
Entsprechen für
P(A) * P(B) * P(C) = [mm] \bruch{1}{64}
[/mm]
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Während ich das hier tippe habe ich eine Eingebung, warum mal wieder ich und nicht das Buch falsch liege:
Ereignis A tritt ein, wenn 1 oder 2 "gezogen" wird, daher ist
P(A) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
Analog für P(B) und P(C).
P(A [mm] \cap [/mm] B \ cap C) = 0, mit der Begründung, dass es kein Element gibt, das in allen drei Ereignissen vorkommt oder?
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Dann wäre mit klar, wie das Buch auf die Wahrscheinlichkeiten kommt, bliebe (immerhin) noch die Frage mit der Laufzeitvariablen von k = 2,...,n
lg,
magics
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 So 05.07.2015 | | Autor: | magics |
Die Frage hat sich erledigt... kann irgendjemand eine Proforma Antwort geben, damit das Ding grün wird? (⌐■_■)
lg,
magics
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