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Forum "Uni-Stochastik" - Stochastische Unabhängigkeit
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Stochastische Unabhängigkeit: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Di 24.04.2018
Autor: AragornII

Aufgabe
Seien A und B Ereignisse. Zeige oder widerlege die folgenden Aussagen:
(a) Gilt A = B, so können A und B nicht unabhängig sein.
(b) Aus P(A) = 0 folgt im Allgemeinen, dass A und B unabhängig sind.
(c) Sind A und B unabhängig, so sind im Allgemeinen auch A und [mm] B^c [/mm] unabhängig.
(d) Ist A unabhängig von B und B unabhängig von C, so ist auch A unabhängig von C

Guten Tag,

zu a)

Wenn A=B gilt, dann

$P(A [mm] \cap [/mm] A) = P(A)*P(A)= [mm] P(A)^2$ [/mm]

Daraus folgt $P [mm] \in [/mm] (0,1)$

zu b)

$P(A [mm] \cap B)=P(A)*P(B)=p(0\cap [/mm] B)= P(B)$

zu c)

$ P(A [mm] \cap B^c)=P(A|B)$ [/mm]
$P(A [mm] \cap B^c) [/mm] = P(A|(A [mm] \cap [/mm] B))$
$P(A [mm] \cap B^c)=P(A)-P(A \cap [/mm] B)$
$P(A [mm] \cap B^c)= [/mm] P(A)-P(A)*P(B)$
$P(A [mm] \cap B^c)=P(A)*(1-P(B))$ [/mm]
$P(A [mm] \cap B^c)= P(A)*P(B^c)$ [/mm]

zu d) habe ich keinen Ansatz

Ich bin mir bei a)-c) nicht sicher, ob es richtig ist. Ich bitte um Hilfe.

Danke.

LG

        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Di 24.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

beachte, dass es in der Aufgabe heißt:

> Zeige oder widerlege die
> folgenden Aussagen:

> zu a)

>

> Wenn A=B gilt, dann

>

> [mm]P(A \cap A) = P(A)*P(A)= P(A)^2[/mm]

>

> Daraus folgt [mm]P \in (0,1)[/mm]

Das verstehe ich nicht. Es ist offensichtlich

[mm] P(A\cap{B})=P(A\cap{A})=P(A). [/mm]

Nimmt man mal Unabhängigkeit an, dann folgt daraus die Gleichung

[mm] P(A)^2=P(A), [/mm] welche genau zwei Lösungen besitzt...

>

> zu b)

>

> [mm]P(A \cap B)=P(A)*P(B)=p(0\cap B)= P(B)[/mm]

Auch hier kann man nicht nachvollziehen, was du tun möchtest. Sei [mm]A=\emptyset[/mm] und wir betrachten

[mm]P(A \cap B)=P(\emptyset \cap B)=0[/mm]

(das ist offensichtlich). Auf der anderen Seite haben wir

[mm]P(\emptyset)*P(B)=0*P(B)=0[/mm]

Also folgt die Behauptung.

EDIT: in einer weiteren Antwort hat Gonozal_IX ja eine andere Vorgehensweise vorgeschlagen. Ich würde dir zur Sicherheit raten, seine Version zu verwenden.

> zu c)

>

> [mm]P(A \cap B^c)=P(A|B)[/mm]
> [mm]P(A \cap B^c) = P(A|(A \cap B))[/mm]
> [mm]P(A \cap B^c)=P(A)-P(A \cap B)[/mm]

>

> [mm]P(A \cap B^c)= P(A)-P(A)*P(B)[/mm]
> [mm]P(A \cap B^c)=P(A)*(1-P(B))[/mm]

>

> [mm]P(A \cap B^c)= P(A)*P(B^c)[/mm]

Hier verstehe ich wiederum die Grundidee nicht. Ab der dritten Zeile ergibt die Rechnung jedoch Sinn und ist korrekt.

Meintest du das so:

[mm]\begin{aligned} P\left ( A \cap B^C \right )&=P\left ( A \setminus B \right )\\ &=P\left ( A \right )-P\left ( A \cap B \right )\\ &=P\left ( A \right )-P\left ( A \right )*P\left ( B \right )\\ &=P\left ( A \right )*\left ( 1-P\left ( B \right ) \right )\\ &=P\left ( A \right )*P\left ( B^C \right ) \end{aligned}[/mm]
?

>

> zu d) habe ich keinen Ansatz

>

Über d) muss ich auch noch nachdenken.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Di 24.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  > zu b)

> […]
> Also folgt die Behauptung.

hm nein, leider nicht. Die Umformungen waren ja nur für $A = [mm] \emptyset$, [/mm] gegeben ist aber ein beliebiges A mit $P(A) = 0$.
Da gibt es mehr als nur $A= [mm] \emptyset$. [/mm]

Gruß,
Gono.

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 Di 24.04.2018
Autor: Diophant


> > > zu b)
> > […]
> > Also folgt die Behauptung.

>

> hm nein, leider nicht. Die Umformungen waren ja nur für [mm]A = \emptyset[/mm],
> gegeben ist aber ein beliebiges A mit [mm]P(A) = 0[/mm].
> Da gibt es
> mehr als nur [mm]A= \emptyset[/mm].

Könntest du das näher erläutern? Für mich heißt ein Ereignis A mit P(A)=0 unmögliches Ereignis und wird mit der leeren Menge identifiziert.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Di 24.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Könntest du das näher erläutern? Für mich heißt ein
> Ereignis A mit P(A)=0 unmögliches Ereignis

Ja.

> und wird mit der leeren Menge identifiziert.

Nein. Die leere Menge ist nur ein unmögliches Ereignis.
Mengen mit $P(A) = 0$ nennt man []Nullmenge (siege sogar dem expliziten Hinweis dort zur leeren Menge)

Nimm bspw. eine reellwertige stetige Zufallsvariable X, dann ist für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] das Ereignis [mm] $\{X = x\}$ [/mm]  eine Nullmenge, aber im Allgemeinen nicht leer.

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Di 24.04.2018
Autor: Diophant

Hallo Gono,

> Hiho,

>

> > Könntest du das näher erläutern? Für mich heißt ein
> > Ereignis A mit P(A)=0 unmögliches Ereignis

>

> Ja.

>

> > und wird mit der leeren Menge identifiziert.
> Nein. Die leere Menge ist nur ein unmögliches Ereignis.
> Mengen mit [mm]P(A) = 0[/mm] nennt man
> []Nullmenge (siege
> sogar dem expliziten Hinweis dort zur leeren Menge)

>

> Nimm bspw. eine reellwertige stetige Zufallsvariable X,
> dann ist für jedes [mm]x\in\IR[/mm] das Ereignis [mm]\{X = x\}[/mm] eine
> Nullmenge, aber im Allgemeinen nicht leer.

Das ist mir schon klar, ich sehe nur den Unterschied nicht ganz, den das macht. Also wieso man in diesem Zusammenhang Nullmengen und die leere Menge nicht gleichsetzen darf.

Kann es sein, dass dies eine recht technische Argumentation ist, die man im Sinne von absolut präziser Formulierung verwendet (wogegen ich nichts einwenden möchte), die aber durchaus nicht durchgängig üblich ist?


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Di 24.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das ist mir schon klar, ich sehe nur den Unterschied nicht
> ganz, den das macht. Also wieso man in diesem Zusammenhang
> Nullmengen und die leere Menge nicht gleichsetzen darf.

Na ein essenzieller Unterschied wäre schon mal, dass die leere Menge eben leer ist… eine Nullmenge es aber nicht sein muss.

Ich verstehe deinen Einwand aber ehrlich gesagt auch nicht wirklich… würde die Aufgabenstellung beginnen mit "Zeige für alle natürlich Zahlen…" und die Lösung würde nur den Fall $n=1$ behandeln, wäre die Aufgabe dann deiner Auffassung nach vollständig gelöst?
Meiner Meinung nach nicht… und ebenso ist es hier. Eine Aussage ist für alle Nullmengen zu zeigen, da kann man sich eben nicht nur eine bestimmte raussuchen und das reicht dann.
Oder man muss eben begründen, warum man alle anderen Fälle auf den behandelten Fall zurückführen kann… das sehe ich hier aber bei deiner Lösung auch noch nicht.

> Kann es sein, dass dies eine recht technische Argumentation
> ist, die man im Sinne von absolut präziser Formulierung
> verwendet (wogegen ich nichts einwenden möchte), die aber
> durchaus nicht durchgängig üblich ist?

Ganz im Gegenteil… ich würde behaupten, dass in keinem einzigen stochastischen Lehrbuch Nullmengen mit der leeren Menge gleichgesetzt werden.
Ich bin aber offen für Gegenbeispiele (die mich aber ziemlich erschrecken würden…)

Gruß,
Gono

Bezug
                                                        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Di 24.04.2018
Autor: Diophant

Hallo nochmals,

> > Das ist mir schon klar, ich sehe nur den Unterschied nicht
> > ganz, den das macht. Also wieso man in diesem Zusammenhang
> > Nullmengen und die leere Menge nicht gleichsetzen darf.

>

> Na ein essenzieller Unterschied wäre schon mal, dass die
> leere Menge eben leer ist… eine Nullmenge es aber nicht
> sein muss.

Ja, das ist mir wie gesagt klar. Meine Frage war vielleicht auch unpräzise. Ich meinte das eingeschränkt ausschließlich auf diese Fragestellungen rund um den elementaren Ereignis-Begriff.

> Ich verstehe deinen Einwand aber ehrlich gesagt auch nicht
> wirklich… würde die Aufgabenstellung beginnen mit "Zeige
> für alle natürlich Zahlen…" und die Lösung würde nur
> den Fall [mm]n=1[/mm] behandeln, wäre die Aufgabe dann deiner
> Auffassung nach vollständig gelöst?

Der Vergleich hinkt jetzt aber gewaltig. Es ist ja doch offensichtlich so, dass sich die leere Menge und Nullmengen im allgemeinen hinsichtlich der vorliegenden Frage insofern nicht unterscheiden, als dass sie sich eben gleich verhalten. Ich habe das halt einfach angenommen und verwendet und lasse mich gern eines besseren belehren, dass man das so ohne weiteres nicht darf.

Dann hättest du aber wiederum weiter oben mir den Begriff unmögliches Ereignis auch nicht bestätigen dürfen, denn wir sprechen dann hier von fast unmöglichen Ereignissen, oder sehe ich auch das wieder falsch?

> Meiner Meinung nach nicht… und ebenso ist es hier. Eine
> Aussage ist für alle Nullmengen zu zeigen, da kann man
> sich eben nicht nur eine bestimmte raussuchen und das
> reicht dann.
> Oder man muss eben begründen, warum man alle anderen
> Fälle auf den behandelten Fall zurückführen kann… das
> sehe ich hier aber bei deiner Lösung auch noch nicht.

Nein, denn ich habe es ja wie gesagt angenommen.

> > Kann es sein, dass dies eine recht technische Argumentation
> > ist, die man im Sinne von absolut präziser Formulierung
> > verwendet (wogegen ich nichts einwenden möchte), die aber
> > durchaus nicht durchgängig üblich ist?
> Ganz im Gegenteil… ich würde behaupten, dass in keinem
> einzigen stochastischen Lehrbuch Nullmengen mit der leeren
> Menge gleichgesetzt werden.
> Ich bin aber offen für Gegenbeispiele (die mich aber
> ziemlich erschrecken würden…)

Nee, also an meine Bücherregale gehe ich heute Abend nicht mehr.

Nichts für ungut (ich habe ja meine Antwort oben auch nacheditiert): mir ging es in erster Linie darum, dass da nicht nur steht, dass etwas falsch ist, sondern auch klar wird, was und weshalb. Ich denke, das hat unsere Diskussion ja jetzt ziemlich gut aufgezeigt.

Für mich ist die (Uni)-Mathematik heute eher ein Hobby, Stochastik brauche ich im Beruf nur für die Nachhilfe. Also unterläuft mir sicherlich ab und an ein solcher Fehler, und ich bedanke mich auch hier ausdrücklich für die Klarstellung. Nur wie gesagt: es war mir wichtig, das in aller Ausführlichkeit zu klären.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Di 24.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
> Wenn A=B gilt, dann

>  
> [mm]P(A \cap A) = P(A)*P(A)= P(A)^2[/mm]
>  
> Daraus folgt [mm]P \in (0,1)[/mm]

Unsaubere Notation!
Sauberer: $P(A) [mm] \in \{0,1\}$ [/mm]


zu b)
Nutze die Umformungen aus a) um zu zeigen: Aus $P(A) = 0$ folgt $P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)*P(B)$

> zu d) habe ich keinen Ansatz

Betrache A mit $P(A) > 0$ sowie $C=A$.
Verwende dann $a)$ um das auf einen Widerspruch zu führen.

Gruß,
Gono


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