Störfaktor nicht definierbar < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 12.03.2012 | | Autor: | HiitNiit |
| Aufgabe | | [mm] y''+8y'+16y=e^{-4x} [/mm] |
N'abend. Ich rechne grade an Differentialgleichungen 2ter Ordnung herum und kriege keine Lösung.
Linker Teil hat die Nullstelle p1=p2=-4
der Störfaktor ist
[mm] y=Ae^{-4x}
[/mm]
y'=-4Ae{^-4x}
y''=16Ae{^-4x}
eingesetzt in den Ursprung ist das nach Elimination von [mm] e^{-4x}
[/mm]
(16-32+16)A = 1
Fehler in der Rechnung? Und wenn nicht, wie formuliere ich, dass das nicht lösbar ist?
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Hallo HiitNiit,
> [mm]y''+8y'+16y=e^{-4x}[/mm]
> N'abend. Ich rechne grade an Differentialgleichungen 2ter
> Ordnung herum und kriege keine Lösung.
>
> Linker Teil hat die Nullstelle p1=p2=-4
>
> der Störfaktor ist
> [mm]y=Ae^{-4x}[/mm]
> y'=-4Ae{^-4x}
> y''=16Ae{^-4x}
>
> eingesetzt in den Ursprung ist das nach Elimination von
> [mm]e^{-4x}[/mm]
> (16-32+16)A = 1
>
> Fehler in der Rechnung? Und wenn nicht, wie formuliere ich,
> dass das nicht lösbar ist?
Das Problem ist, daß die rechte Seite der DGL ebenfalls Lösung
der homogenen DGL ist.
Da die Nullstelle -4 die Vielfachheit 2 besitzt, ist der normale Ansatz mit [mm]x^{2}[/mm] zu multiplizieren:
[mm]y_{p}\left(x\right)=A*\blue{x^{2}}*e^{-4x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 12.03.2012 | | Autor: | HiitNiit |
Cool, bekomme schon mal andere Werte, hab aber noch nicht fertig gerechnet, kleine Frage noch, bevor alle ins Bett gewandert sind. Sagen wir ich hänge wieder mal fest und die Nullstelle ist nicht 4, was mach ich dann?
9 wird zu [mm] x^3?
[/mm]
5 zu ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Cool, bekomme schon mal andere Werte, hab aber noch nicht
> fertig gerechnet, kleine Frage noch, bevor alle ins Bett
> gewandert sind. Sagen wir ich hänge wieder mal fest und
> die Nullstelle ist nicht 4, was mach ich dann?
> 9 wird zu [mm]x^3?[/mm]
> 5 zu ???
wie kommst Du dazu?
Beantworte mal zwei Fragen:
Was ist denn die Vielfachheit einer Nullstelle? Und welche hatte Mathepower hier gemeint?
Tipp:
[mm] $$(r+4)^\red{2}=r^2+8*r+16\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 12.03.2012 | | Autor: | HiitNiit |
Die Vielfacheinheit einer NST ist Gesamtanzahl der NST einer Funktion und ihrer Ableitungen. Wenn also f(irgendwas) an der Stelle 1 eine NST hat, f' und f'' auch, f''' aber nicht, ist die Vielfacheinheit 3. Hab aber keine Ahnung wie mir das hier weiter helfen soll, das ich kein f' der Ursprünglichen Gleichung habe und das weder in vorherigen noch nachfolgenden Aufgaben meiner Übungen vorkommt. Ich könnte es mir also lediglich damit erklären (und zur Regel machen), dass bei -4 zwei Nullstellen sind und ich das deshalb mit einfügen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Vielfacheinheit einer NST ist Gesamtanzahl der NST
> einer Funktion und ihrer Ableitungen.
bitte? ![[]](/images/popup.gif) Nachlesen.
Dass "Deine Definition" nicht stimmen kann, zeigt doch schon [mm] $f(x)=x^3\,,$ [/mm] welche an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] eine 3-fache Nullstelle hat (und nicht eine 3+2=5-fache).
Oder noch schlimmer:
[mm] $\sin(.)$ [/mm] hat unendlich viele Nullstellen, und [mm] $\cos(.)$ [/mm] auch. Nach "Deiner Definition" wäre etwa (ja: welche Stelle eigentlich? Du zeichnest ja keine mehr aus - jede? Oder jede Nullstelle?) unendlichfache NST.
Aber gemäß Wiki:
[mm] $\sin(\pi)=0$ [/mm] und [mm] $\sin'(\pi)=\cos(\pi)=-1 \not=0\,,$ [/mm] also ist [mm] $x=\pi$ [/mm] einfache NST.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 12.03.2012 | | Autor: | HiitNiit |
Hänge wieder fest :(
y= A [mm] x^{2} e^{-4x}
[/mm]
y'=-4 A 2x [mm] e^{-4x}
[/mm]
y''= 16 A 2 [mm] e^{-4x}
[/mm]
in den Ursprung:
(16 A 2 [mm] e^{-4x}) [/mm] + 8(-4 A 2x [mm] e^{-4x}) [/mm] + 16(A [mm] x^{2} e^{-4x}) [/mm] = [mm] e^{-4x}
[/mm]
geteilt durch [mm] e^{-4x}
[/mm]
(16 A 2) + x(-32 2) + [mm] x^{2}(16 [/mm] A) = 1
32A - 64Ax + [mm] 32Ax^{2} [/mm] = 1 oder anders geschrieben;
32A - x(64A) + [mm] x^{2}(32A) [/mm] = 1
Da der X-Faktor des linken Teils gleich dem X-Faktor des rechten Teils ist,
1 keinen hat, genauso wenig wie 32A, ist 32A=1 und A=1/32.
Das eingesetzt in den x und den [mm] x^{2} [/mm] Faktor ergibt 2x und [mm] 1x^{2}. [/mm] Keine abwegigen Werte für eine Übungsaufgabe, nur habe ich leider keine Ahnung, wie mich das der Lösung weiter bringt. X ist offensichtlich 0. Ist meine Schlusslösung [mm] y^{homogen} [/mm] + [mm] y^{Störfaktor} [/mm] = y dann:
[mm] C1*e^{-4x} [/mm] + [mm] C2*x*e^{-4x} +1/32e^{-4x}?
[/mm]
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> Hänge wieder fest :(
>
> y= A [mm]x^{2} e^{-4x}[/mm]
> y'=-4 A 2x [mm]e^{-4x}[/mm]
> y''= 16 A 2 [mm]e^{-4x}[/mm]
hallo,
was für kuriose rechenregeln hast du denn da erfunden?
schon einmal etwas von der berühmt berüchtigten "produktregel" gehört??
>
> in den Ursprung:
>
> (16 A 2 [mm]e^{-4x})[/mm] + 8(-4 A 2x [mm]e^{-4x})[/mm] + 16(A [mm]x^{2} e^{-4x})[/mm]
> = [mm]e^{-4x}[/mm]
>
> geteilt durch [mm]e^{-4x}[/mm]
>
> (16 A 2) + x(-32 2) + [mm]x^{2}(16[/mm] A) = 1
> 32A - 64Ax + [mm]32Ax^{2}[/mm] = 1 oder anders geschrieben;
> 32A - x(64A) + [mm]x^{2}(32A)[/mm] = 1
>
> Da der X-Faktor des linken Teils gleich dem X-Faktor des
> rechten Teils ist,
> 1 keinen hat, genauso wenig wie 32A, ist 32A=1 und
> A=1/32.
> Das eingesetzt in den x und den [mm]x^{2}[/mm] Faktor ergibt 2x und
> [mm]1x^{2}.[/mm] Keine abwegigen Werte für eine Übungsaufgabe, nur
> habe ich leider keine Ahnung, wie mich das der Lösung
> weiter bringt. X ist offensichtlich 0. Ist meine
> Schlusslösung [mm]y^{homogen}[/mm] + [mm]y^{Störfaktor}[/mm] = y dann:
>
> [mm]C1*e^{-4x}[/mm] + [mm]C2*x*e^{-4x} +1/32e^{-4x}?[/mm]
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Di 13.03.2012 | | Autor: | HiitNiit |
y= [mm] Ax^{2}*e^{-4x}
[/mm]
[mm] y'=2Ax*e^{-4x} [/mm] - [mm] 4Ax^{2}*e^{-4x}
[/mm]
[mm] y''=2A*e^{-4x} [/mm] + [mm] 2Ax*(-4)e^{-4x} [/mm] - [mm] 8Ax*e^{-4x} [/mm] + [mm] 4Ax^{2}*(-4)e^{-4x}
[/mm]
[mm] y''=2Ae^{-4x} [/mm] - [mm] 16Ax^{2}e^{-4x}
[/mm]
In den Ursprung:
[mm] 2Ae^{-4x} -16Ax^{2} [/mm] - [mm] 16Axe^{-4x} [/mm] + [mm] 32Ax^{2}e^{-4x} [/mm] + [mm] 16Ax^{2}e^{-4x} [/mm] = [mm] e^{-4x}
[/mm]
geht runter auf
[mm] 32Ax^{2} [/mm] - 16Ax + 2A = 1 ... und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Di 13.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
y'' falsch zusammengefasst.
auch wie du eingesett hast sieht danach noch falsch aus.
einfach langsamer rechnen, spart viel zeit.
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 13.03.2012 | | Autor: | HiitNiit |
y= [mm] Ax^{2}*e^{-4x}
[/mm]
[mm] y'=2Ax*e^{-4x} [/mm] + [mm] Ax^{2}*(-4)e^{-4x}
[/mm]
[mm] y'=2Ax*e^{-4x} [/mm] - [mm] 4Ax^{2}*e^{-4x}
[/mm]
[mm] y''=2A*e^{-4x} [/mm] + [mm] 2Ax*(-4)e^{-4x} [/mm] - [mm] 8Ax*e^{-4x} [/mm] + [mm] 4Ax^{2} [/mm] * [mm] (-4)e^{-4x}
[/mm]
[mm] y''=2Ae^{-4x} [/mm] - [mm] 8Axe^{-4x} +8Axe^{-4x} [/mm] - [mm] 16Ax^{2}e^{-4x}
[/mm]
y''
Kein Plan wo da der Fehler ist.
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Hallo HiitNiit,
> y= [mm]Ax^{2}*e^{-4x}[/mm]
>
> [mm]y'=2Ax*e^{-4x}[/mm] + [mm]Ax^{2}*(-4)e^{-4x}[/mm]
> [mm]y'=2Ax*e^{-4x}[/mm] - [mm]4Ax^{2}*e^{-4x}[/mm]
>
> [mm]y''=2A*e^{-4x}[/mm] + [mm]2Ax*(-4)e^{-4x}[/mm] - [mm]8Ax*e^{-4x}[/mm] + [mm]4Ax^{2}[/mm] *
> [mm](-4)e^{-4x}[/mm]
Da sind ein paar Vorzeichenfehler drin:
[mm]y''=2A*e^{-4x} + 2Ax*(-4)e^{-4x} - 8Ax*e^{-4x} \blue{-} 4Ax^{2} * (-4)e^{-4x}[/mm]
> [mm]y''=2Ae^{-4x}[/mm] - [mm]8Axe^{-4x} +8Axe^{-4x}[/mm] - [mm]16Ax^{2}e^{-4x}[/mm]
Hier ebenso:
[mm]y''=2Ae^{-4x} - 8Axe^{-4x} \blue{-}8Axe^{-4x} \blue{+} 16Ax^{2}e^{-4x}[/mm]
> y''
>
> Kein Plan wo da der Fehler ist.
Gruss
MathePower
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