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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Störfunktion cos(x)
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Störfunktion cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Di 18.09.2018
Autor: Spirik

Aufgabe
[mm] \ddot{x}+2*D*\omega_{0}*\dot{x}+\omega_{0}^{2}*x=\bruch{F_{0}}{m}*cos(\Omega*t) [/mm]

Hallo liebe Matheprofis,

Oben gegebene DGL möchte ich gerne lösen.

Ich habe mich nun schon alleine bis zur Lösung des homogenen Teils geschlagen:

Lösung der homogenen DGL:
[mm] x=e^{-D*\omega_{0}*t}*(a*sin(i*\omega_{0}*\wurzel{1-D^{2}}*t)+b*cos(i*\omega_{0}*\wurzel{1-D^{2}}*t)) [/mm]
Hier weiß jedoch auch nicht wie ich das a und b bestimme.

Nun stecke ich jedoch bei der Lösung der Störfunktion vollkommen fest.

Lösung der Störfunktion:
Lösungsansatz: [mm] x_{p}(t)=X*cos(\Omega*t-\phi) [/mm]

Nun bilde ich doch die 1. und 2. Ableitung des Lösungsansatzes und setze diese in die homogene DGL. Anschließend fasse ich zusammen und bekomme die Lösung über den Koeffizientenvergleich.

Bei dem Zusammenfassen komme ich jedoch auf keinen grünen Zweig.

Warum verwende ich nicht als Lösungsansatz: [mm] x_{p}(t)=A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x) [/mm]

Die ganzen Zwischenschritte sind jedenfalls von meinem Professor komplett ausgelassen worden. Differentialgleichungen wurden halt auch schon im Bachelor behandelt, durch den ich mich hervorragend - ohne zu wissen was DGL sind - gemogelt habe.

Rauskommen soll:
[mm] X=\bruch{\bruch{F_{0}}{m} }{\wurzel{(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2})^{2}+4*D^{2}*\omega_{0}^{2}*\Omega^{2}}} [/mm]

Keine Ahnung wie ich darauf kommen soll.

Ich hoffe auf Eure Hilfe!

Liebe Grüße
Max

        
Bezug
Störfunktion cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Mi 19.09.2018
Autor: Martinius

Hallo Spirik,

hast Du schon bei Wolfram alpha geguckt?

[]http://m.wolframalpha.com/input/?i=x%28t%29%27%27%2B2*D*w*x%28t%29%27%2Bw%5E2*x%28t%29%3D0

LG, Martinius



Bezug
                
Bezug
Störfunktion cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Mi 19.09.2018
Autor: Spirik

Hallo Martinius,

habe es mir gerade angeschaut, jedoch muss ich für die step by step Lösung leider zahlen.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mich hier jemand durch diese DGL führen könnte.

LG Spirik


Bezug
                        
Bezug
Störfunktion cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 19.09.2018
Autor: Martinius

Hallo Spirik,

ich hatte Dir den Link geschrieben, damit Du siehst, dass Deine Lösung der homogenen DGL nicht richtig ist.

[mm] $x(t)''+2*D*\omega_0*x(t)'+\omega_0^2*x(t)\;=\;0$ [/mm]

Charakteristische Gleichung:

[mm] $\lambda^2+2*D*\omega_0*\lambda+\omega_0^2\;=\;0$ [/mm]

In der Schule hattest Du bestimmt eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelernt: die pq-Formel oder die Mitternachtsformel ...


LG, Martinius



Bezug
                                
Bezug
Störfunktion cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:26 Do 20.09.2018
Autor: Martinius

Hallo Spirik,

> Hallo Spirik,
>  
> ich hatte Dir den Link geschrieben, damit Du siehst, dass
> Deine Lösung der homogenen DGL nicht richtig ist.
>  
> [mm]x(t)''+2*D*\omega_0*x(t)'+\omega_0^2*x(t)\;=\;0[/mm]
>  
> Charakteristische Gleichung:
>  
> [mm]\lambda^2+2*D*\omega_0*\lambda+\omega_0^2\;=\;0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> In der Schule hattest Du bestimmt eine Lösungsformel für
> quadratische Gleichungen gelernt: die pq-Formel oder die
> Mitternachtsformel ...


Ich mach dann mal weiter:

$\lambda_{1,2}\;=\;-D*\omega_0 \pm \sqrt{D^2*\omega_0^2-\omega_0^2\;}\;=\;-D*\omega_0 \pm\omega_0*\sqrt{D^2-1\;}$   damit:

$x_h(t)\;=\;C_1*e^{-(D*\omega_0 +\omega_0*\sqrt{D^2-1\;})*t}+C_2*e^{(-D*\omega_0 +\omega_0*\sqrt{D^2-1\;})*t}}$


Was nun Folgendes betrifft:


$A\;=\;\frac{F_0}{m*\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4D^2\omega_0^2\Omega^2}}$


so will ich mich nicht mit fremden Federn schmücken - auch habe ich im Moment wenig Zeit um das alles abzutippen. Du findest die (im Komplexen getätigte) Rechnung ausführlich mit allen Zwischenschritten in:

Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, 10. Auflage 2001, Seite 520 - 524.

Ich bin mir sicher, dass das Buch in jeder Berliner Hochschulbibliothek steht - zumindest in solchen Hochschulen, welche technische / naturwissenschaftliche Fächer anbieten.


Da Du schreibst, dass Du Dich erfolgreich im Bachelorstudium um DGLen herumgemogelt hast, würde ich Dir empfehlen, doch zumindest das DGL-Kapitel im Papula durchzuarbeiten. Viel einfacher geht es (meiner Meinung nach) nicht.


LG, Martinius

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Bezug
Störfunktion cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Mi 26.09.2018
Autor: Spirik

Ich habe hier die Lösung der inhomogenen DGL angegeben für 0<D<1. Bei der Lösung für D>1 komme ich auf das Gleiche. Vielen Dank für den Hinweis mit dem Buch. Ich werde mir das dort nochmal anschauen, dann sollte eigentlich alles klar sein.

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Bezug
        
Bezug
Störfunktion cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mi 19.09.2018
Autor: chrisno


> ....  
> Lösung der homogenen DGL:
>  
> [mm]x=e^{-D*\omega_{0}*t}*(a*sin(i*\omega_{0}*\wurzel{1-D^{2}}*t)+b*cos(i*\omega_{0}*\wurzel{1-D^{2}}*t))[/mm]
>  Hier weiß jedoch auch nicht wie ich das a und b
> bestimme.

Ich habe es nicht nachgerechnet. Das i irritiert mich.
a und b ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. Wenn keine gegeben sind, kannst Du a und b nicht bestimmen.

>  
> Nun stecke ich jedoch bei der Lösung der Störfunktion
> vollkommen fest.
>  
> Lösung der Störfunktion:
>  Lösungsansatz: [mm]x_{p}(t)=X*cos(\Omega*t-\phi)[/mm]
>  
> Nun bilde ich doch die 1. und 2. Ableitung des
> Lösungsansatzes und setze diese in die homogene DGL.

Es ist so schrecklich lange her bei mir. Aber ich erinnere, dass Du mit diesem Ansatz eine Lösung für die inhomogene Gleichung bestimmst.

> Anschließend fasse ich zusammen und bekomme die Lösung
> über den Koeffizientenvergleich.
>  
> Bei dem Zusammenfassen komme ich jedoch auf keinen grünen
> Zweig.
>  
> Warum verwende ich nicht als Lösungsansatz:
> [mm]x_{p}(t)=A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x)[/mm]

Kannst Du machen. Du kannst auch ausrechnen, wie A und B in Omega und phi umrechnen lassen.

Bezug
        
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Störfunktion cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Do 20.09.2018
Autor: leduart

Hallo
da man [mm] Acos(\Omega*t+\phi) [/mm] umformen kann in deine Form spricht nichts gegen den Ansatz.
warum probierst diu es nicht einfach?
in deiner Lösung ist das i in sin und cos falsch.
die Konstanten  kannst du erst aus den anfangsbed. bestimmen, wenn du die gesamtlösung hast.
Gruß leduart


Bezug
        
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Störfunktion cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Do 27.09.2018
Autor: Spirik

Habe nun versucht mit dem Ansatz
[mm] x_{p}(t)=X\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi) [/mm]
die partikuläre Lösung zu berechnen.

Ich denke, dass ich auch alles verstanden habe.
Der rot markierte Teil stimmt aber aus irgendeinem Grund nicht.
Hier möchte ich Euch nochmal um Hilfe bitten.

[mm] x_{p}(t)=X\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi) [/mm]
[mm] \dot{x_{p}}(t)=-X\cdot\Omega\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi) [/mm]
[mm] \ddot{x_{p}}(t)=-X\cdot\Omega^{2}\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)-X\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi) [/mm]

[mm] -X\cdot\Omega^{2}\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)-X\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi)-2*D*\omega_{0}\cdot{}X\cdot\Omega\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi) [/mm]
[mm] +\omega_{0}^{2}*X\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)=\bruch{F_{0}}{m}*cos(\Omega*t) [/mm]

[mm] (-X*\Omega^{2}+\omega_{0}^{2}*X)*cos(\Omega*t-\phi) [/mm]
[mm] +[red](-X-2*D*\omega_{0}*X*\Omega)[/red]*sin(\Omega*t-\phi)=\bruch{F_{0}}{m}*cos(\Omega*t)+0*sin(\Omega*t) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Störfunktion cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Do 27.09.2018
Autor: fred97


> Habe nun versucht mit dem Ansatz
>  [mm]x_{p}(t)=X\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)[/mm]
>  die partikuläre Lösung zu berechnen.
>  
> Ich denke, dass ich auch alles verstanden habe.
>  Der rot markierte Teil stimmt aber aus irgendeinem Grund
> nicht.
>  Hier möchte ich Euch nochmal um Hilfe bitten.
>  
> [mm]x_{p}(t)=X\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)[/mm]
>  
> [mm]\dot{x_{p}}(t)=-X\cdot\Omega\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi)[/mm]
>  
> [mm]\ddot{x_{p}}(t)=-X\cdot\Omega^{2}\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)-X\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi)[/mm]
>  

Diese 2. Ableitung ist nicht  richtig.  Wo kommt  der 2. Summand her ?


> [mm]-X\cdot\Omega^{2}\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)-X\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi)-2*D*\omega_{0}\cdot{}X\cdot\Omega\cdot{}sin(\Omega\cdot{}t-\phi)[/mm]
>  
> [mm]+\omega_{0}^{2}*X\cdot{}cos(\Omega\cdot{}t-\phi)=\bruch{F_{0}}{m}*cos(\Omega*t)[/mm]
>  
> [mm](-X*\Omega^{2}+\omega_{0}^{2}*X)*cos(\Omega*t-\phi)[/mm]
>  
> [mm]+[red](-X-2*D*\omega_{0}*X*\Omega)[/red]*sin(\Omega*t-\phi)=\bruch{F_{0}}{m}*cos(\Omega*t)+0*sin(\Omega*t)[/mm]
>  


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