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Störungssatz (Matrizennorm): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mi 30.10.2019
Autor: Steve96

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo an alle, wir haben heute in Numerik den "Störungssatz" diskutiert.

Wir haben ihn auch schon bewiesen, nur leider verstehe ich den Beweis nicht wirklich, und ich würde ihn gerne verstehen. Daher würde ich mich freuen, wenn mir jemand beim Verständnis helfen würde.


_________________________________________________________________________________________



Hilfssatz 4.4


Behauptung
______________


Die Matrix $B [mm] \in \mathbb{K}^{n \times n}$ [/mm] habe die Norm [mm] $\vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert [/mm] > 1$.

Dann ist die Matrix $I + B$ regulär und es gilt


[mm] $\vert \vert [/mm] (I + [mm] B)^{-1} \vert \vert \le \frac{1}{1 - \vert \vert B \vert \vert}$ [/mm]



Beweis
_______


Für alle $x [mm] \in \mathbb{K}^{n}$ [/mm] gilt:


[mm] $\vert \vert [/mm] (I + B) x [mm] \vert \vert \ge \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] - [mm] \vert \vert [/mm] Bx [mm] \vert \vert \ge [/mm] (1 - [mm] \vert \vert [/mm] B  [mm] \vert \vert) \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert$. [/mm]

Wegen $1 - [mm] \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert [/mm] > 0$ ist also $I + B$ injektiv und folglich regulär.

Mit der Abschätzung

$1 = [mm] \vert \vert [/mm] I [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert(I [/mm] + B) (I + [mm] B)^{-1} \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] (I + [mm] B)^{-1} [/mm] + B(I + [mm] B)^{-1} \vert \vert \ge \vert \vert [/mm] (I + [mm] B)^{-1} \vert \vert [/mm] - [mm] \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert(I [/mm] + [mm] B)^{-1} \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] (I + [mm] B)^{-1} \vert \vert \cdot [/mm] ( 1- [mm] \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert) [/mm] > 0$

_______________________________________________________________________________________________________


Das war ein Hilfssatz, den wir benötigen, um den Störungssatz zu beweisen. Aber ich verstehe auch schon den Beweis vom Hilfssatz nicht. Dazu habe ich nämlich ein paar Fragen:


1. Frage:
________


Warum gilt die [mm] Ungleichung$\vert \vert [/mm] (I + B) x [mm] \vert \vert \ge \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] - [mm] \vert \vert [/mm] Bx [mm] \vert \vert [/mm] $ ?

Es ist doch [mm] $\vert \vert [/mm] (I + B) x [mm] \vert \vert \ge [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] Ix + Bx [mm] \vert \vert \ge \vert \vert [/mm] I x [mm] \vert \vert [/mm] + [mm] \vert \vert [/mm] b x [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] I [mm] \vert \vert \cdot \vert [/mm] x [mm] \vert [/mm] + [mm] \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \cdot \vert [/mm] x [mm] \vert [/mm] = [mm] \sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \vert \vert [/mm] I x [mm] \vert \vert \cdot \vert [/mm] x [mm] \vert [/mm] + [mm] \sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \vert \vert [/mm] B x [mm] \vert \vert \cdot \vert [/mm] x [mm] \vert$ [/mm]


Aber warum kann man wie im Beweis abschätzen? Ich sehe es nicht.



2. Frage:
________


Warum folgert man aus der Injektivität von $I + B$, dass $I + B$ regulär ist? Ich dachte, $ I + B$ muss dafür bijektiv sein. Oder liegen in diesem Fall andere Gründe vor?



Die restliche Ungleichung verstehe ich vermutlich dann, wenn die 2 Fragen beantwortet sind.


Ich lasse den Störungssatz aus Zeitgründen gerade weg. Ich schaue ihn mir heute Abend noch mal an und poste meine Fragen dazu dann morgen hier rein.

Ich bin für jede Beteiligung dankbar.


Ich wünsche euch allen noch einen schönen Abend!

        
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Mi 30.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1. Frage:
> ________
>  
>
> Warum gilt die Ungleichung[mm]\vert \vert (I + B) x \vert \vert \ge \vert \vert x \vert \vert - \vert \vert Bx \vert \vert[/mm]
> ?
>  
> Es ist doch [mm]\vert \vert (I + B) x \vert \vert = \vert \vert Ix + Bx \vert \vert \ge \vert \vert I x \vert \vert + \vert \vert B x \vert \vert[/mm]

Das folgt nicht… es gilt die umgekehrte Ungleichung gemäß Dreiecksungleichung.
[mm]\vert \vert Ix + Bx \vert \vert \le \vert \vert I x \vert \vert + \vert \vert B x \vert \vert[/mm]


Ebenso gilt für Normen die umgekehrten Dreiecksungleichung:
[mm] $\big| [/mm] ||x|| - ||y|| [mm] \big| \le [/mm] ||x + y||$

Insbesondere gilt die Ungleichung also ohne Betragsstriche:
$||x|| - ||y||  [mm] \le [/mm] ||x + y||$

D.h. es folgt:
$||(I + B)x|| = ||x + Bx|| [mm] \ge [/mm] ||x|| - ||Bx||$ wie benötigt

> 2. Frage:
> ________
>  
>
> Warum folgert man aus der Injektivität von [mm]I + B[/mm], dass [mm]I + B[/mm]
> regulär ist? Ich dachte, [mm]I + B[/mm] muss dafür bijektiv sein.
> Oder liegen in diesem Fall andere Gründe vor?

Nein. Für lineare Abbildungen [mm] $\IR^n \to \IR^n$ [/mm] gilt injektiv [mm] \gdw [/mm] surjektiv [mm] \gdw [/mm] bijektiv was sofort aus dem Rangsatz (aka Dimensionssatz) folgt.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Do 31.10.2019
Autor: Steve96

Okay, danke. Mir ist das jetzt etwas klarer geworden.

Dann habe ich ja:


[mm] $\vert \vert [/mm] (I + B) x [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] I x +  Bx [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] x + Bx [mm] \vert \vert \ge \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] - [mm] \vert \vert [/mm] B x [mm] \vert \vert \ge (\vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B  [mm] \vert \vert \vert \cdot \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert) [/mm] = ( 1 - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] $


Hier in der letzten Ungleichung haben sie [mm] $\vert \vert [/mm] B x [mm] \vert \vert \le \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert \cdot \vert \vert [/mm]  x [mm] \vert \vert$ [/mm] . Meine Frage ist, warum diese hier gilt?


Diese Eigenschaft wird für eine Norm doch nicht gefordert und ich habe eine Dreiecksungleichung für eine Matrixvektormultiplikation auch noch nicht gesehen. Daher wollte ich fragen, warum diese Gleichung gilt. Im Internet habe ich gestern Abend nicht wirklich etwas brauchbares dazu gefunden...



Weiter unten im Beweis steht dann: "Da $1 - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert [/mm] > 0$, ist $I + B$ injektiv".


Ist die Begründung dafür die folgende? :


Um zu zeigen , dass $(I + b)$ regulär ist, reicht es zu zeigen, dass die zugehörige lineare Abbildung $f: [mm] \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}^{n}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (I + B) x $ injektiv ist.

Dasheißt, wir müssen zeigen, dass aus $(I + B) x = 0$ folgt, dass $x = 0$.



Nun haben wir   [mm] $\vert \vert [/mm] (I + B) x [mm] \vert \vert \ge [/mm] ( 1 - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert$ [/mm] für alle $x [mm] \in \mathbb{K}^{n}$. [/mm]


Da nach Voraussetzung $1 - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert [/mm] > 0$ ist, ist das Produkt $( 1 - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] > 0$ (also wirklich echt größer als Null). Das gilt für alle $x [mm] \in \mathbb{K}^{n} \setminus{ \{0 \}}$. [/mm]



Wir haben also [mm] $\vert \vert [/mm] (I + B) x [mm] \vert \vert \ge [/mm] ( 1 - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \mathbb{K}^{n} \setminus{ \{0 \}}$. [/mm]

Für $x = 0$ (und nurfür $ = 0$) gilt dann [mm] $\vert \vert [/mm] (I + B) x [mm] \vert \vert [/mm]  = ( 1 - [mm] \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] = 0$

Damit ist $(I + B)$ injektiv.

Passt das als Begründung?



Freue mich auf eine Rückmeldung!


Schönen Tag noch!

Bezug
                        
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Do 31.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hier in der letzten Ungleichung haben sie [mm]\vert \vert B x \vert \vert \le \vert \vert \vert B \vert \vert \vert \cdot \vert \vert x \vert \vert[/mm]
> . Meine Frage ist, warum diese hier gilt?

Diese Ungleichung gilt immer für Matrixnormen. Man nennt diese Eigenschaft []Verträglichkeit der Matrixnorm mit ihrer Vektornorm.

> Diese Eigenschaft wird für eine Norm doch nicht gefordert

Doch, für eine Matrixnorm (damit ist $|||B|||$ gemeint) gilt diese Eigenschaft immer.

> Da nach Voraussetzung [mm]1 - \vert \vert \vert B \vert \vert \vert > 0[/mm]
> ist, ist das Produkt [mm]( 1 - \vert \vert \vert B \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert x \vert \vert > 0[/mm]
> (also wirklich echt größer als Null). Das gilt für alle
> [mm]x \in \mathbb{K}^{n} \setminus{ \{0 \}}[/mm].
> Wir haben also [mm]\vert \vert (I + B) x \vert \vert \ge ( 1 - \vert \vert \vert B \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert x \vert \vert > 0[/mm]
> für alle [mm]x \in \mathbb{K}^{n} \setminus{ \{0 \}}[/mm].
>  
> Für [mm]x = 0[/mm] (und nurfür [mm]= 0[/mm]) gilt dann [mm]\vert \vert (I + B) x \vert \vert = ( 1 - \vert \vert \vert B \vert \vert \vert) \cdot \vert \vert x \vert \vert = 0[/mm]
>  
> Damit ist [mm](I + B)[/mm] injektiv.
>  
> Passt das als Begründung?

Korrekt, faktisch ist das der Beweis von fred…

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Do 31.10.2019
Autor: fred97


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Hallo an alle, wir haben heute in Numerik den
> "Störungssatz" diskutiert.
>  
> Wir haben ihn auch schon bewiesen, nur leider verstehe ich
> den Beweis nicht wirklich, und ich würde ihn gerne
> verstehen. Daher würde ich mich freuen, wenn mir jemand
> beim Verständnis helfen würde.
>  
>
> _________________________________________________________________________________________
>  
>
>
> Hilfssatz 4.4
>  
>
> Behauptung
>  ______________
>  
>
> Die Matrix [mm]B \in \mathbb{K}^{n \times n}[/mm] habe die Norm
> [mm]\vert \vert B \vert \vert > 1[/mm].


Hier hast Du Dich wohl verschrieben. Gemeint ist $||B||<1.$


Gono hat eigentlich alles zu Deinen Fragen gesagt. Ich möchte nur erwähnen, dass man die Injektivität von $I+B$ einfacher so bekommt:

Sei x so, dass $(I+B)x=0$ ist, also $Bx=-x.$ Es folgt $||x||=||Bx|| [mm] \le [/mm] ||B|| [mm] \cdot [/mm] ||x||.$ Wäre nun $x [mm] \ne [/mm] 0$, so würde $||B|| [mm] \ge [/mm] 1$ folgen



Bezug
                
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Do 31.10.2019
Autor: Steve96


>
> Hier hast Du Dich wohl verschrieben. Gemeint ist [mm]||B||<1.[/mm]
>  

Entschuldige, du hast Recht.



>
> Gono hat eigentlich alles zu Deinen Fragen gesagt. Ich
> möchte nur erwähnen, dass man die Injektivität von [mm]I+B[/mm]
> einfacher so bekommt:
>  
> Sei x so, dass [mm](I+B)x=0[/mm] ist, also [mm]Bx=-x.[/mm] Es folgt
> [mm]||x||=||Bx|| \le ||B|| \cdot ||x||.[/mm] Wäre nun [mm]x \ne 0[/mm], so
> würde [mm]||B|| \ge 1[/mm] folgen
>  
>  


Das macht Sinn! Vielen Dank. Aber ich habe eine kurze Frage dazu:

Wenn $Bx = - x$ gilt, warum gilt dann [mm] $\vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm]  Bx [mm] \vert \vert$ [/mm] ?


Damit implizierst du ja, dass $ [mm] \vert \vert [/mm] - x [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm]  x [mm] \vert \vert$, [/mm] oder ?


Aber diese Gleichheit muss nicht gelten, wenn man die Supremumsnorm betrachtet. Oder irre ich mich?



Und warum genau gilt [mm] $\vert \vert [/mm] B x [mm] \vert \vert \le \vert \vert \vert [/mm] B [mm] \vert \vert \vert \cdot \vert \vert [/mm]  x [mm] \vert \vert$? [/mm]


mfg, Steve

Bezug
                        
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Do 31.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Damit implizierst du ja, dass [mm]\vert \vert - x \vert \vert = \vert \vert x \vert \vert[/mm], oder ?
>  
> Aber diese Gleichheit muss nicht gelten, wenn man die
> Supremumsnorm betrachtet. Oder irre ich mich?

Autsch!!
Es ist $||-x|| = ||(-1) [mm] \cdot [/mm] x ||$
Was sagt jetzt die Homogenitätseigenschaft der Norm dazu?

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:03 Sa 02.11.2019
Autor: Steve96


Hi, ich bitte um Verzeihung für die späte Antwort. Ich melde mich unter dieser Frage wieder, wenn ich dazu komme, mir  den Beweis zum Störungssatz noch einmal anzuschauen. Momentan lassen die aktuellen Übungsaufgaben das nicht zu.


Ich bedanke mich schon mal für deine Hilfe beim Verstehen von diesen Hilfssatz.



Lg, Steve

Bezug
                
Bezug
Störungssatz (Matrizennorm): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Sa 02.11.2019
Autor: Steve96

Hi, vielen Dank für dein Beweis. Den habe ich tatsächlich sofort verstanden.


lg, Steve

Bezug
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