Stokes - Fluss durch Scheibe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 04.07.2011 | | Autor: | wurzel88 |
| Aufgabe | Man verifiziere den Satz von Stokes für eine Kreisscheibe K der x - y -Ebene
mit Mitte = Ursprung, die von einem Feld
[mm] \vec{A} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] (0 ,x, 2 y ) durchsetzt wird. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich habe zwar die Lösung der Aufgabe wie unten anzusehen ist. Jedoch habe ich Probleme den Verlauf der Rechnung im allgemeinem zu verstehen.
Da die Ebene ja auf der Kreisscheibe steht, verstehe ich wie der d [mm] \vec{f} [/mm] zu stande kommt.
Könnt ihr mir dann das darauffolgende Integral beschreiben wie man es berechnet, nachdem man es eingesetzt hat?
Im zweiten Bild ist wieder nach der Parametisierung des Kreises alles eingesetzt worden. Jedoch versteh ich den Hergang auch nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen die kryptischen Integrale zu entschlüsseln
[Externes Bild http://img7.imagebanana.com/img/y40fmlpq/l1.JPG]
[Externes Bild http://img7.imagebanana.com/img/9qmuuon0/l2.JPG]
|
|
| |
|
Hallo!
> Man verifiziere den Satz von Stokes für eine Kreisscheibe
> K der x - y -Ebene
> mit Mitte = Ursprung, die von einem Feld
> [mm]\vec{A}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] (0 ,x, 2 y ) durchsetzt wird.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi,
> ich habe zwar die Lösung der Aufgabe wie unten anzusehen
> ist. Jedoch habe ich Probleme den Verlauf der Rechnung im
> allgemeinem zu verstehen.
>
> Da die Ebene ja auf der Kreisscheibe steht, verstehe ich
> wie der d [mm]\vec{f}[/mm] zu stande kommt.
> Könnt ihr mir dann das darauffolgende Integral beschreiben
> wie man es berechnet, nachdem man es eingesetzt hat?
Nun ja, der Satz von Stokes sieht wie folgt aus:
[mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{A}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{rot\vec{A}*d\vec{A}}
[/mm]
Betrachten wir zunächst die rechte Seite des Ausdrucks. Da die Kreisscheibe auf der xy-Ebene liegen soll, besitzt das infinitesimal kleine orientierte Flächenteilstück die Orientierung [mm] \vec{e}_{z} [/mm] (Flächennormalenvektor). Darüber hinaus ergibt sich unter Berücksichtigung der entsprechenden Metrikkoeffizienten des Zylinderkoordinatensystems das Flächenelement insgesamt zu
[mm] d\vec{A}=\vec{e}_{z}\rho{d\rho}d\varphi
[/mm]
Als nächstes geht es darum, die Rotation, bzw. die Wirbel des angegebenen Vektorfeldes zu berechnen; man erhält sie in diesem Fall unter Berücksichtigung von
[mm] rot\vec{A}=\vec{e}_{x}\vektor{\bruch{\partial{A_{z}}}{\partial{y}}-\bruch{\partial{A_{y}}}{\partial{z}}}+\vec{e}_{y}\vektor{\bruch{\partial{A_{x}}}{\partial{z}}-\bruch{\partial{A_{z}}}{\partial{x}}}+\vec{e}_{z}\vektor{\bruch{\partial{A_{y}}}{\partial{x}}-\bruch{\partial{A_{x}}}{\partial{y}}}
[/mm]
Dies entspricht genau dem Vektorprodukt zwischen dem kartesischen Nabla-Operator und dem angegebenen Vektorfeld [mm] \nabla\times\vec{A}. [/mm] Wenn du dann das Skalarprodukt zwischen der Orientierung des Flächenelements und derjenigen des resultierenden Wirbelfeldes berechnest, fallen sowohl die [mm] \vec{e}_{x} [/mm] als auch die [mm] \vec{e}_{y}-Richtung [/mm] heraus, denn es gilt:
[mm] \vec{e}_{m}*\vec{e}_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } m\perp{n} \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } m\parallel{n} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Die verbleibende Auswertung des Integrals dürfte dann keine Schwierigkeiten mehr machen.
> Im zweiten Bild ist wieder nach der Parametisierung des
> Kreises alles eingesetzt worden. Jedoch versteh ich den
> Hergang auch nicht.
Wir sind nun auf der linken Seite. Eine mögliche Parametrisierung eines Kreisrings auf der xy-Ebene lautet wie folgt:
[mm] \vec{r}=Rcos(\varphi)\vec{e}_{x}+Rsin(\varphi)\vec{e}_{y}+z\vec{e}_{z}, [/mm] mit [mm] \rho=R, \varphi\in[0,2\pi) [/mm] und z=0
Diese gewinnst du leicht durch Transformation der Feldkomponenten des kartesischen Ortsvektors in Zylinderkoordinaten. Natürlich kannst du die Rechnung auch gleich mit dem Ortsvektor des Zylinderkoordinatensystems durchführen. Ein infinitesimal kleines orientiertes Wegelement erhälst du jedenfalls durch ableiten der Parametrisierung
[mm] d\vec{s}=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}d\varphi
[/mm]
Nun setzt du das vorgegebene Vektorfeld in die ursprüngliche Parametrisierung ein und multiplizierst dieses dann skalar mit dem berechneten Wegelement. Unter erneuter Berücksichtung von
[mm] \vec{e}_{m}*\vec{e}_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } m\perp{n} \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } m\parallel{n} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
ergibt sich wieder ein überschaubares Integral, das keine Probleme mehr bereiten sollte.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen die kryptischen Integrale
> zu entschlüsseln
>
>
> [Externes Bild http://img7.imagebanana.com/img/y40fmlpq/l1.JPG]
> [Externes Bild http://img7.imagebanana.com/img/9qmuuon0/l2.JPG]
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
|
