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| Aufgabe | Es sei [mm] F_{n} [/mm] eine Filtration, T Stoppzeit.
a) Zeige, dass [mm] \{T \ge n\} \in F_{n-1} [/mm] ;
b) Zeige, dass [mm] C_{n}(w) [/mm] := [mm] 1_{[0,T(w)]}(n) [/mm] messbar bzgl. [mm] F_{n-1} [/mm] |
Kann jemand mir helfen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 So 14.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo connie00929,
> Es sei [mm]F_{n}[/mm] eine Filtration, T Stoppzeit.
> a) Zeige, dass [mm]\{T \ge n\} \in F_{n-1}[/mm] ;
>
> b) Zeige, dass [mm]C_{n}(w)[/mm] := [mm]1_{[0,T(w)]}(n)[/mm] messbar bzgl.
> [mm]F_{n-1}[/mm]
>
>
> Kann jemand mir helfen....
Zu a) solltest du eigentlich sofort einen Ansatz hinbekommen, wenn du dir nur mal die Definitionen der beteiligten Begriffe (Filtration, Stoppzeit, [mm] $\sigma$-Algebra) [/mm] ansiehst. Probier' das mal und melde dich mit deinem Ansatz/konkreten Fragen.
Zu b): Hier ist folgendes zu zeigen:
[mm] $B\in\mathcal{B}\ \Rightarrow\ C_n^{-1}(B)\in\mathcal{F}_{n-1}$
[/mm]
Dies ist die Definition einer [mm] $\mathcal{B}-\mathcal{F}_{n-1}$-messbaren [/mm] Abbildung (dabei ist [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra).
[/mm]
Es reicht allerdings, die obige Implikation für einen Erzeuger der [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}$ [/mm] zu überprüfen, also z.B. für alle nach links halboffene Intervalle [mm] $(-\infty,b]$:
[/mm]
z.z. [mm] $C_n^{-1}((-infty,b])\in\mathcal{F}_{n-1}$ [/mm] für alle [mm] $b\in\IR$
[/mm]
Um dies z.z. würde ich eine Fallunterscheidung danach machen, ob [mm] $0\in(-\infty,b]$ [/mm] oder [mm] $1\in(-\infty,b]$ [/mm] ist, also
Fall 1: $b<0$ ...
Fall 2: [mm] $0\le [/mm] b<1$ ...
Fall 3: [mm] $1\le [/mm] b$ ...
Ich mache mal Fall 1 vor:
[mm] $C_n^{-1}((-\infty,b])
[/mm]
[mm] $=C_n^{-1}(\emptyset)$, [/mm] da [mm] $(-\infty,b]$ [/mm] keinen Wert enthält, den [mm] $C_n$ [/mm] annehmen könnte [mm] (C_n$ [/mm] nimmt nur den Wert 0 oder 1 an).
[mm] $=\emptyset$ [/mm] (das Urbild der leeren Menge ist die leere Menge)
Die leere Menge ist in jeder [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] enthalten, also [mm] $C_n^{-1}((-\infty,b])\in\mathcal{F}_{n-1}$
[/mm]
Probiere den Rest mal selbst.
Mich würde auch interessieren, ob es nicht noch eine elegantere Lösung gibt.
Viele Grüße,
Marc
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Vielen Dank für Ihre Antwort.
Für b) habe ich so gemacht:
1.Fall: [mm] n\not\in[0,T(w)]
[/mm]
[mm] {C_{n}(w)=0} [/mm] = {T(w)<n} [mm] \in F_{n-1}
[/mm]
2.Fall: [mm] n\in[0,T(w)]:
[/mm]
{T(w) [mm] \ge [/mm] n} [mm] \in F_{n-1} [/mm] wegen a)
Ist das richtig?
Aber für Teil a) kriege ich noch nicht hin...
Also, Stoppzeit ist definiert durch {T [mm] \le [/mm] n} [mm] \in F_{n} \forall n\in \IN_{0}
[/mm]
Wie kann man dann {T [mm] \ge [/mm] n} umformulieren ?
Viele Grüße,
Connie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 15.11.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo,
du darfst hier ruhig duzen. ;)
Zur Aufgabenstellung a) solltest du dir überlegen, was für Eigenschaften eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] hat (und somit auch deine Filtration), inbesondere was Komplemente betrifft.
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Alles klar!
Also {T<n} [mm] \in F_{n-1}, [/mm] daraus folgt das Komplement auch [mm] \in F_{n-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 15.11.2010 | | Autor: | DesterX |
Ja, vollkommen richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Dester
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